寒假作业7 第四章指数函数与对数函数 基础巩固卷-2021-2022学年高一人教A版（2019）数学（新高考）

寒假作业7 第四章指数函数与对数函数基础巩固卷

一、单选题

1．函数在区间上最小值是（    ）

A．1 B．3 C．6 D．9

2．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

3．已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

4．函数的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程在内近似解的过程可得，，，则方程的解所在区间为（     ）

A． B．

C． D．不能确定

5．果农采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度，若某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为.若采摘后5天，这种水果失去的新鲜度为5%，采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%.则采摘下来的这种水果失去20%新鲜度大概是（    ）后

A．第12天 B．第13天 C．第15天 D．第18天

6．设函数，（    ）

A．3 B．6 C．9 D．12

7．已知函数，则（    ）

A．函数是奇函数，在区间上单调递增

B．函数是奇函数，在区间上单调递减

C．函数是偶函数，在区间上单调递减

D．函数非奇非偶，在区间上单调递增

8．函数的图象恒过定点，若在直线上，其中，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ）

A． B．

C． D．

10．设，则下列结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．

11．若关于x的方程的两根为正数包含等根，则m的取值可以是（    ）

A． B．

C． D．

12．对于函数（且），，在同一直角坐标系下的图象可能为（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

13．若，则的值是___________.

14．设函数，若在区间上存在零点，则实数a的取值范围是______.

15．=_____________.

16．为了提升生活质量，保护环境，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改､设企业的污水排放量与时间的关系为，定义为“绝对斜率”，用“绝对斜率”的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲､乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；

②从时刻往后，乙企业的污水排放量比甲企业的污水排放量小；

③在时刻，甲､乙两企业的污水排放都未达标；

④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强.

其中不正确结论的序号是___________.

四、解答题

17．计算下列各式：

（1）；

（2）.

18．已知，，．

（1）求的定义域；

（2）求的最大值以及取得最大值时的值．

19．指数函数图像经过点．

（1）求函数的解析式；

（2）解不等式．

20．2020年，全世界范围内都受到“新冠"疫情的影响，了解某些细菌､病毒的生存条件､繁殖习性等对于预防疾病的传播､保护环境有极其重要的意义.某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究，发现其蔓延速度越来越快.经过2分钟菌落的覆盖面积为18，经过3分钟覆盖面积为27，现菌落的覆盖面积y（单位；）与经过时间x（单位∶）的关系有两个函数模型与可供选择.（参考数据∶36=729，37=2187，38=6561，39=19683，，.）

（1）试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；

（2）在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过200？（计算结果保留到整数）

21．已知函数.

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由;

（2）画出函数的图象，并讨论方程的解的个数.

22．设函数且是定义域为的奇函数；

（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；

（2）若，且，求在上的最小值．

参考答案

1．B

【分析】

根据指数函数的单调性，结合给定区间求最小值即可.

【详解】

∵在上单调递增，

∴.

故选：B.

2．B

【分析】

由题意，列不等式组，即可求解.

【详解】

由题意，可列不等式组，可得.

故选：B

3．A

【分析】

根据指数与对数函数的单调性比大小.

【详解】

由已知得，

，且，所以，

，

所以，

故选：A.

4．A

【分析】

利用二分法可得结论.

【详解】

因为，故方程的解所在区间为.

故选：A.

5．C

【分析】

根据题设条件先求出、，从而得到，据此可求失去20%新鲜度对应的时间.

【详解】

由题可得，

解得，

故，故，

由可得，.

故选：C.

6．C

【分析】

根据函数解析式分别求出的值，从而可求得结果

【详解】

由，

由，

所以，

故选：C.

7．A

【分析】

先判断的奇偶性，然后结合复合函数的单调性判断的单调性，由此确定正确选项.

【详解】

，故是奇函数.

又，由复合函数单调性可知单调递增.

故选：A

8．A

【分析】

先得出，再由基本不等式得出答案.

【详解】

当时，，即

因为在直线上，所以

当且仅当时，取等号，即的最小值为

故选：A

9．CD

【分析】

计算得选项AB错误；计算得选项CD错误.

【详解】

解：对于选项A，因为，而，所以A错误；

对于选项B，因为，所以B错误；

对于选项C，因为成立，所以C正确；

对于选项D，当时，，所以D正确.

故选：CD.

10．AC

【分析】

由已知结合对数的运算性质分别判断各选项即可．

【详解】

对于A，因为，所以A正确；

对于B，因为，，所以B错误；

对于C，因为，所以，而ab＜0，所以a+b<0，所以C正确；

对于D，，

所以D错误；

故选：AC．

11．BCD

【分析】

由一元二次函数零点的分布可得答案.

【详解】

由题意，构建函数，

因为关于x的方程的两根为正数包含等根， 所以，

解得， 

故选：BCD.

12．AD

【分析】

分，两种情况进行讨论，结合指数函数的单调性和二次函数的图象的对称轴即可选出正确答案.

【详解】

当时，为增函数，的对称轴，

B错误，A正确，当时，为减函数，的对称轴，C错误，D正确.

故选：AD.

13．##

【分析】

先解出，得到,计算即可求解.

【详解】

由，可得，则，

所以.

故答案为：.

14．

【分析】

根据函数的解析式，结合零点的存在性定理，列出不等式，即可求解.

【详解】

由题意，函数在区间上存在零点，

当时，可得，显然不合题意；

当时，则满足，

即，解得或，

所以实数a的取值范围是.

故答案为：.

15．

【分析】

根据对数的运算以及指数运算求解即可.

【详解】

，，

原式

故答案为：

16．①②③

【分析】

根据“绝对斜率”的定义对四个选项进行分析，由此确定不正确结论的序号.

【详解】

①，在这段时间内，甲企业污水排放量减少的值比乙企业污水排放量减少的值要大，所以甲企业的污水治理能力比乙企业强，所以①错误.

②，从时刻往后，乙企业的污水排放量比甲企业的污水排放量大，所以②错误.

③，在时刻，甲､乙两企业的污水排放都达标，所以③错误.

④，甲企业在，，这三段时间中，在的污水排放量减少得最快，所以在的污水治理能力最强，所以④正确.

故答案为：①②③

17．

（1）19；

（2）.

【分析】

(1)根据指数幂的运算性质运算即可；

(2)根据对数的运算性质运算即可.

（1）

原式＝；

（2）

原式＝.

18．

（1）

（2）时，函数取得最大值13

【分析】

（1）要使有意义，必须满足，解不等式即可得到的定义域.

（2）根据（1）中所求的定义域，将看成整体求出其范围是，然后将看成关于的二次函数求出最大值即可.

（1）

∵的定义域为，

∴要使函数g(x)＝(f(x))2＋f(x2)有意义，必须满足，

∴，即的定义域为．

（2）

由得，

.

∵的定义域为，即，

∴，

∴时，即时，函数取得最大值．

故.

19．

（1）

（2）

【分析】

（1）设，（且），将点代入计算可得；

（2）根据函数单调性即可求出不等式的解集．

（1）

解： 指数函数的图象经过点，设，（且），

，

解得，

；

（2）

解：由于函数为上增函数，且，

，

解得，

则不等式的解集为．

20．

（1）合适，该函数模型解析式为；

（2）至少经过培养基中菌落面积能超过200.

【分析】

（1）根据函数的单调性可知选哪个模型更合适；

（2）解指数函数不等式可求得答案.

（1）

的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢

根据题意应选

于是，解得：

（2）

根据函数模型可得不等式，解得

，故至少经过培养基中菌落面积能超过200

21．

（1）偶函数，理由见解析

（2）答案见解析

【分析】

（1）根据奇偶性的定义判断即可；

（2）将函数写成分段函数型，即可画出函数图象，方程的解的个数，即与的交点个数，结合函数图象可知得解；

（1）

解：的定义域为R，关于原点对称，且，所以为偶函数；

（2）

解：因为，所以函数的图象如下所示：

方程的解的个数，即与的交点个数，结合函数图象可知：

当时，有0个解

当或时，有2个解；

当时，有4个解；

当时，有3个解

22．

（1）是增函数，解集是

（2）

【分析】

（1）根据函数为奇函数，求得，得到，由，求得，得到是增函数，把不等式转化为，结合单调性，即可求解；

（2）由，求得，得到，得出，

令，结合指数函数的性质和换元法，即可求解.

（1）

解：因为函数且是定义域为的奇函数，

可得，即，

可得，所以，即，

由，可得且且，解得，

所以是增函数，

又由，可得，

所以，解得，所以不等式的解集是．

（2）

解：由函数，

因为，即且，解得，所以，

由，

令，则由（1）得在上是增函数，故，

则在单调递增，

所以函数的最小值为，

即在上的最小值为