高一寒假数学自学 专题05 三角函数（共13大考点）（原卷版）

这是一份高一寒假数学自学 专题05 三角函数（共13大考点）（原卷版），共25页。

【考点1】任意角的三角函数
【考点2】同角三角函数基本关系
【考点3】三角函数单调性
【考点4】三角函数周期性
【考点5】三角函数奇偶性
【考点6】三角函数对称性
【考点7】三角函数图象变化
【考点8】根据图象求解析式
【考点9】与取值范围有关的问题
【考点10】三角函数综合（解答题）
【考点11】三角函数中的零点问题
【考点12】三角函数中的恒成立问题
知识点 1 ：任意角的三角函数定义
1、单位圆定义法：
如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点
①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即
②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即
③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
2、终边上任意一点定义法：
在角终边上任取一点，设原点到点的距离为
①正弦函数：②余弦函数： ③正切函数：()
知识点2：同角三角函数的基本关系
1、平方关系：
2、商数关系:（，）
知识点3：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
知识点4：正弦、余弦型函数的常用周期
知识点5：根据图象求解析式
形如的解析式求法：
1、求法：
①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置.
②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解.
2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出.
3、求法：
①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解.
（第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近）
②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解.
③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案.
题型归纳
【考点1】任意角的三角函数
1．（2024·福建·三模）在平面直角坐标系中，将角的终边顺时针旋转后经过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·吉林·模拟预测）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·福建福州·模拟预测）以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·山东·一模）已知时，当时， ．
【考点2】同角三角函数基本关系
1．（2024·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·广东韶关·一模）已知为方程的两个实数根，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·浙江金华·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知，则
【考点3】三角函数单调性
1．（2024·河北·模拟预测）已知函数在区间单调递增，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·二模）如图，已知函数，点A，B是直线与函数的图象的两个交点，若，则函数的单调递减区间为（ ）

A．B．
C．D．
3．（23-24高一下·江西赣州·期中）函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·湖南长沙·二模）已知函数的最小正周期为，直线是图象的一条对称轴，则的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数m的取值范围是 .
6．（2024·全国·二模）已知函数，，则函数的单调递减区间为 .
7．（2024·辽宁本溪·一模）已知函数.
(1)求的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的值；
(2)讨论在上的单调性.
【考点4】三角函数周期性
1．（2024·河北·三模）已知函数在区间内没有零点，则周期的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知函数的最小正周期为10，则（ ）
A．B．C．D．1
3．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·湖北荆州·三模）函数的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·福建龙岩·模拟预测）函数的最小正周期是 .
【考点5】三角函数奇偶性
1．（2024·贵州铜仁·模拟预测）将函数的图象向右平移，个单位长度后，所得函数为偶函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川乐山·三模）已知，若存在常数，使得为奇函数，则的可能值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）若函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·内蒙古赤峰·三模）将函数的图象向左平移个单位后， 所得图象关于y轴对称，则实数 m的值为 .
5．（2024·辽宁·模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，则的最小值为 ．
【考点6】三角函数对称性
1．（2024·湖北·模拟预测）函数图像的一条对称轴为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川南充·一模）已知函数的图象关于直线对称，若方程在上恰有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·天津河西·二模）若函数满足对于， ，，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
4．（多选）（23-24高三上·重庆·期末）下列函数中，其图象关于点对称的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·河南开封·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为 ．
【考点7】三角函数图象变化
1．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向右平移φ个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·福建厦门·三模）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）若函数的图象向左平移个单位长度后，其图象与函数的图象重合，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·安徽蚌埠·三模）已知函数，则要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
5．（2024·河南·模拟预测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【考点8】根据图象求解析式
1．（2024·四川自贡·三模）函数（，）的部分图象如图所示，的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在图象上，点M、N关于点C对称，下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为奇函数
2．（多选）（2024·辽宁大连·模拟预测）函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）．

A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称轴方程为，
C．该函数的单调递增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
3．（多选）（2024·云南大理·模拟预测）如图是函数（，，）的部分图象，是图象的一个最高点，是图象与轴的交点，，是图象与轴的交点，且，的面积等于，则下列说法正确的是（ ）

A．函数的图象关于点对称
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D．函数的单调递减区间是，
4．（多选）（2024·全国·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．该图像向右平移个单位长度可得的图象
B．函数y=fx的图像关于点对称
C．函数y=fx的图像关于直线对称
D．函数y=fx在上单调递减
5．（2024·海南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，点，
(1)求的解析式；
(2)将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的最值.
【考点9】与取值范围有关的问题
1．（2024·广东·二模）已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ).
A．B．C．D．
2．（2024·河北·模拟预测）已知函数（）在上有三个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数满足，则的取值可能为（ ）
A．6B．8C．10D．12
4．（2024·广东河源·模拟预测）在函数的图象与直线的交点中，任取两点与原点组成三角形，这些三角形的面积的最小值为，则 ．
5．（2024·广东佛山·一模）已知函数在上单调，且，则的最大值为 ．
【考点10】三角函数综合（解答题）
1．（2024·山西临汾·三模）已知函数的图象可由函数的图象平移得到，且关于直线对称．
(1)求的值；
(2)求函数的单调递增区间．
2．（2024·北京延庆·一模）已知函数，的最大值为.
(1)求的值；
(2)将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．
3．（2024·山东济宁·二模）已知函数．
(1)求函数在上的单调递增区间;
(2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图象关于点成中心对称，在上的值域为，求的取值范围．
4．（24-25高三上·江苏常州·开学考试）已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标缩短到原来的，再向右平移，得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
5．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数的部分图像如图所示.
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)求函数在上的值域.
(3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数y=gx在上的单调减区间.
【考点11】三角函数中的零点问题
1．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
(3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数.
(1)若时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位，得到函数的图象.若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围.
3．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图为函数的部分图象，且，．
(1)求，的值；
(2)将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在区间的零点个数．
4．（2023·安徽亳州·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数的取值范围.
5．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称且；②函数的图象的一个对称中心为且.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围.
【考点12】三角函数中的零点代数和
1．（23-24高三上·吉林白城·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
2．（23-24高一下·江西萍乡·期中）函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值．
3．（23-24高二上·陕西咸阳·开学考试）已知函数为奇函数，且其图像的相邻两对称轴间的距离为．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，记方程在上的根从小到大依次为，试确定的值，并求的值．
4．（23-24高二上·江苏苏州·开学考试）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式及单调减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和.
【考点13】三角函数中的恒（能）成立问题
1．（23-24高一上·重庆北碚·期末）已知函数，，函数的图象上两相邻对称轴之间的距离为，_________.请从以下三个条件中任选一个补充至横线上.
①函数的图象的一条对称轴为直线；
②函数的图象的一个对称中心为点；
③函数的图象经过点.
(1)求函数的解析式；
(2)将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图象，若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
2．（23-24高一上·吉林长春·期末）已知函数的部分图象如图所示．

(1)求的解析式并求出的增区间；
(2)先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若且关于的方程在上有解，求的取值范围．
3．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：
(1)请利用上表中的数据，写出、的值，并求函数的解析式；
(2)若，求函数的单调增区间；
(3)将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恒成立，求实数m的取值范围．
4．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，其相邻的两个最值点P，Q的距离为，且
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将函数f(x)的图象向左平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象，关于x的不等式在[0，2]上恒成立，求a的取值范围.
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一、单选题
1．（2024·海南·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·广西柳州·一模）设函数，已知，，且的最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·山东·一模）已知，且是第二象限角，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江西景德镇·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·四川内江·一模）函数的部分图象如图所示，若、，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·山东威海·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则（ ）
A．-2B．C．D．
9．（2024·广东佛山·一模）函数是（ ）
A．偶函数，且最小值为－2B．偶函数，且最大值为2
C．周期函数，且在上单调递增D．非周期函数，且在上单调递减
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴可以为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2024·贵州六盘水·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（ ）
A．为函数图象的一条对称轴
B．
C．函数在上单调递增
D．函数的图象与函数的图象交点个数为5
12．（2024·福建·三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，的最小正周期为
B．函数过定点
C．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则的最小值为
D．函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
13．（2024·甘肃白银·一模）若将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．
B．
C．与的图像关于直线对称
D．与的图像在上有公共点
14．（2024·吉林长春·一模）函数的最小正周期为，则（ ）
A．是的一条对称轴
B．与函数相等
C．在区间上单调递减
D．在区间上的取值范围是
三、填空题
15．（2024·四川成都·二模）若函数对恒成立，则的取值范围是 .
16．（2024·山东威海·一模）已知函数，若将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则 .
17．（2024·广东东莞·模拟预测）若的部分图象如图，则 .

18．（2024·陕西西安·二模）已知函数的部分图象如图所示，为图象上的点且满足四边形为平行四边形，若，则 ．
19．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知，函数在上单调递增，则的最大值为 .
20．（2024·陕西·一模）已知函数的图象经过点，且在轴右侧的第一个零点为，当时，曲线与的交点有 个，
四、解答题
21．（2024·辽宁·模拟预测）如图，函数的图象与轴相交于点，且在轴右侧的第一个零点为.
(1)求和的值；
(2)已知，，，求的值.
22．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值，并求出取得最大值时自变量x的值.
23．（2024·湖北黄冈·一模）函数，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间以及对称中心；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象，在函数图象上从左到右依次取点，该点列的横坐标依次为，其中，，求.
24．（2024·上海·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的在上单调递减区间；
(2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．
25．（2024·重庆·三模）如果存在实数对使函数，那么我们就称函数为实数对的“型正余弦生成函数”，实数对为函数的“型正余弦生成数对”.
(1)已知函数的“4型正余弦生成数对”为，求方程在区间上所有实根之和；
(2)若实数对的“2型正余弦生成函数”在处取最大值，其中，求的取值范围.
考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢
重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺
难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升
提升专练：真题感知+精选专练，全面突破
函数
奇偶性
奇函数
偶函数
当时，为奇函数；
当时，为偶函数；
当时，为奇函数；
当时，为偶函数；
函数
最小正周期
或（）
或
或（）
无周期
x
0
0
1
0
－1
0
0
0
0