备战高二数学上学期期末（苏教版）专题06 抛物线（原卷版）

这是一份备战高二数学上学期期末（苏教版）专题06 抛物线（原卷版），共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

利用抛物线的定义求轨迹
一、单选题
1．（23-24高二上·重庆·期末）已知点满足，则点的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
2．（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·河南南阳·期末）在正方体中，点在底面所在的平面上运动.下列说法不正确的是（ ）
A．若点满足，则动点的轨迹为一条直线
B．若，动点满足，则动点的轨迹是圆
C．若点到点与点的距离比为，则动点的轨迹是椭圆
D．若点到直线的距离与到直线的距离相等，则动点的轨迹为抛物线
4．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知正方体的棱长为，点是平面内的动点，若点P到直线的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹为（ ）

A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．圆
二、多选题
5．（23-24高二上·河南·期末）已知正方体的棱长为分别是棱和的中点，是棱上的一点，是正方形内一动点，且点到直线与直线的距离相等，则（ ）
A．
B．点到直线的距离为
C．存在点，使得平面
D．动点在一条抛物线上运动
6．（23-24高二下·湖北武汉·期末）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小1.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）
A．点的轨迹曲线是线段
B．是“最远距离直线”
C．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则以为直径的圆与轴相交
D．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则的最小值为
三、填空题
7．（23-24高二上·江西·期末）已知正方体的棱长为1，点P在平面内，若P到直线的距离与到直线的距离相等，则P到的距离的最小值为 ．
8．（23-24高三上·西藏林芝·期末）若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ．
四、解答题
9．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程．
利用抛物线的定义求最值
一、单选题
1．（23-24高二上·山西太原·期末）设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．5
2．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．（23-24高二下·安徽·期末）在直角坐标系中，已知点，动点满足线段的中点在曲线上，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（23-24高二下·广东深圳·期末） 分别是抛物线 和 轴上的动点， ，则 的最小值为（ ）
A．5B．C．D．2
5．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（ ）
A．6B．4C．3D．2
6．（23-24高二上·山东青岛·期末）设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．5
7．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
8．（23-24高二上·湖北荆州·期末）抛物线：的焦点为，，为抛物线上的点，则三角形周长的最小值为（ ）
A．5B．8C．D．9
二、多选题
9．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一动点，点，则（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．的最小值为5
C．当时，则抛物线在点处的切线方程为
D．过的直线交抛物线于两点，则弦的长度为16
10．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．焦点到准线的距离是4
C．若点的坐标为，则的最小值为6
D．若为线段的中点，则的坐标可以是
11．（23-24高二上·山西大同·期末）已知点是焦点为的抛物线上的一个动点，，则（ ）
A．的最小值为1B．的最小值为4
C．的最小值为3D．的最大值为
12．（23-24高二上·江西·期末）已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴的交点为为C上一动点，点，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．的最小值为5D．的最大值为
三、填空题
13．（23-24高二下·上海宝山·期末）抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 .
14．（23-24高二上·山西·期末）已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为 .
15．（23-24高二下·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ．
16．（23-24高二下·广东湛江·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为 ．
17．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ．
求抛物线的标准方程
一、单选题
1．（23-24高二上·贵州毕节·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
5．（23-24高二上·全国·期末）已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
6．（23-24高二上·河北保定·期末）若数列为等比数列，则以为焦点的抛物线标准方程为 ．
7．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为 .
8．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知抛物线，过其焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则抛物线的方程为 ．
9．（23-24高二上·江苏盐城·期末）请写出一条与直线无公共点的抛物线的标准方程： .（写出一个即可）
抛物线的焦点准线问题
一、单选题
1．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知函数过定点，则抛物线的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·广东·期末）已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（ ）
A．B．C．4D．2
3．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（ ）
A．5B．6C．7D．
4．（23-24高二下·河南洛阳·期末）经过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二上·山东青岛·期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高二上·江西九江·期末）抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高二上·河南驻马店·期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）若抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．4B．C．2D．1
9．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是B．抛物线关于轴对称
C．抛物线的准线方程为D．抛物线的焦点到准线的距离为8
11．（23-24高二上·江西景德镇·期末）设抛物线的焦点为，点是上不同的两点，则（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．若，那么点的横坐标为
C．若，则线段的中点到轴距离为4
D．以线段为直径的圆与轴相切
12．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．焦点到准线的距离是4
C．若点的坐标为，则的最小值为6
D．若为线段的中点，则的坐标可以是
三、填空题
13．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知抛物线的方程为，则其准线方程为 ．
14．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知是抛物线上纵坐标为4的点，则与的焦点的距离为 .
15．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）抛物线的准线方程为 ．
抛物线的焦半径问题
一、单选题
1．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（ ）
A．B．5C．6D．
2．（23-24高二下·湖南·期末）设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（ ）
A．6B．4C．3D．2
4．（23-24高二上·江西·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），过的中点作直线的垂线交轴于点，则（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（ ）
A．4B．C．或D．或4
6．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为4，到轴的距离为3，则（ ）
A．1B．2C．3D．6
7．（23-24高二上·云南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的交点，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高二上·辽宁大连·期末）从抛物线上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，若是正三角形，则（ ）
A．B．1C．D．2
二、多选题
9．（23-24高二下·河南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是上位于第一象限的动点，点为与轴的交点，则下列说法正确的是（ ）
A．到直线的距离为2
B．以为圆心，为半径的圆与相切
C．直线斜率的最大值为2
D．若，则的面积为2
10．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为线段中点B．若，则
C．存在直线，使得D．面积的最小值为8
三、填空题
11．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则 .
12．（23-24高二下·海南·期末）已知直线与抛物线在第一象限交于点，若点到的准线的距离为，则 .
13．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知抛物线的焦点为，是上一点，的面积为2，则 .
生活中的抛物线问题
一、单选题
1．（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（ ）
A．B．C．1mD．
2．（23-24高二上·广东·期末）如图1，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则到该抛物线顶点的距离为（ ）

A．2B．3C．4D．6
3．（23-24高二上·山东滨州·期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽.当水面上升后，水面宽为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（23-24高二上·山西长治·期末）如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是，灯深，则（ ）
A．远光灯光线按照路径射向远处
B．光源到反光镜顶点的距离是
C．与抛物线对称轴垂直的光线长度为
D．灯口上任意一点到焦点的距离是
三、填空题
5．（23-24高二上·广东广州·期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水面下降0.5米后，水面宽 米．
6．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）如图所示的拋物线型拱桥，设水面宽米，拱顶距水面8米，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形，若米，则不超过 米时，才能使货船通过拱桥．
7．（23-24高二上·北京通州·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于，已行车道AB总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为 m．
四、解答题
8．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米.
(1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程；
(2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？
(3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？
9．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）如图，是抛物线型拱桥，当水面在时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米.
(1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？
(2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？（计算结果保留至小数点后一位，参考数据：）
抛物线的对称性及应用
一、单选题
1．（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A．2B．C．4D．
2．（23-24高二上·福建厦门·期末）抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是B．抛物线关于轴对称
C．抛物线的准线方程为D．抛物线的焦点到准线的距离为8
三、填空题
4．（23-24高二上·广东广州·期末）抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，为坐标原点，抛物线，一条平行于轴的光线射向抛物线上的点（不同于点），反射后经过抛物线上另一点，再从点处沿直线射出.若直线的倾斜角为，则入射光线所在直线的方程为 ；反射光线所在直线的方程为 .
直线与抛物线的位置关系
一、单选题
1．（23-24高二下·陕西安康·期末）已知是抛物线的准线，与轴交于点是上一点，直线的斜率的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
2．（23-24高二上·河南信阳·期末）直线与抛物线交于A，B两点，则（O为抛物线顶点）的值为（ ）
A．B．C．4D．12
3．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）抛物线在点处的切线的斜率为（ ）
A．－1B．C．D．1
二、多选题
4．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知抛物线过点，则（ ）
A．拋物线的标准方程可能为
B．挞物线的标准方程可能为
C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条
5．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．点F的坐标为
C．直线AQ与抛物线相切D．
6．（23-24高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点的坐标为2,0，则（ ）
A．准线的方程为
B．焦点到准线的距离为4
C．过点A−2,0只有2条直线与拋物线有且只有一个公共点
D．抛物线与圆交于两点，则
7．（23-24高二上·江西景德镇·期末）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知抛物线的准线为，焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，于，则下列说法正确的是（ ）
A．以为直径的圆与准线相切
B．若，则
C．设，则
D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条
三、填空题
9．（23-24高二上·辽宁·期末）已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 .
四、解答题
10．（23-24高二下·云南玉溪·期末）在平面直角坐标系xOy中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)直线与相切于点，若点的纵坐标为2，求直线的方程.
11．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与相交于两点，且，求直线的方程.
抛物线的弦长问题
一、单选题
1．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（ ）
A．B．5C．D．
2．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的长为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·宁夏固原·期末）直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点､，若，则弦的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知直线与抛物线相交于，两点，若，则的最小值为（ ）
A．4B．C．8D．16
5．（24-25高二上·北京朝阳·期末）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则（ ）
A．B．4C．D．
6．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（ ）
A．准线的方程是B．以AB为直径的圆与轴相切
C．的最小值为D．的面积最小值为
7．（23-24高二上·江西萍乡·期末）抛物线：（）的焦点为，准线为，过的直线与相交于，两点，且满足，在上的射影为，若的面积为，则的长为（ ）
A．B．C．D．9
二、多选题
8．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，O为坐标原点，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
9．（23-24高二上·福建福州·期末）已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．若直线的斜率为，则
B．的最小值为
C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为
D．若点，则的周长最小值为
10．（23-24高二上·山西吕梁·期末）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（ ）
A．B．以线段为直径的圆必与准线相切
C．线段的长为定值D．线段的中点到轴的距离为定值
三、填空题
11．（23-24高二上·浙江台州·期末）已知抛物线和.点在上（点与原点不重合），过点作的两条切线，切点分别为，直线交于两点，则的值为 .
四、解答题
12．（23-24高二上·四川成都·期末）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是双曲线的右顶点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线相交于A、B两点，解决下列问题：
（i）求弦长；
（ii）求证：.
13．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知抛物线的焦点为，点是曲线上一点．
(1)若，求点的坐标；
(2)若直线与抛物线交于两点，且以为直径的圆过点，求.
14．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为．
(1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程．
(2)斜率为2的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，若，求．
抛物线的中点弦问题
一、单选题
1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·湖南·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、多选题
3．（23-24高二下·湖南·期末）已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（ ）
A．的准线方程为
B．线段的长度的最小值为4
C．存在唯一直线，使得为线段的中点
D．以线段为直径的圆与的准线相切
4．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．焦点到准线的距离是4
C．若点的坐标为，则的最小值为6
D．若为线段的中点，则的坐标可以是
5．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．焦点到准线的距离是2
C．若点的坐标为，则的最小值为2
D．若为线段中点，则的坐标可以是
6．（23-24高二上·宁夏银川·期末）抛物线的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，点M(2，2)，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：
B．抛物线的准线方程为：
C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D．以M为中点的弦的直线方程为：
7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）经过抛物线：（）的焦点的直线交于两点，为坐标原点，设，（），的最小值是4，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若点是线段的中点，则直线的方程为
D．若，则直线的倾斜角为60°
三、填空题
8．（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则 .
四、解答题
9．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知抛物线，为上的两个动点，直线的斜率为，线段的中点为.
(1)证明：；
(2)已知点，求面积的最大值.
焦点弦问题
一、单选题
1．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（ ）
A．B．5C．D．
2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（ ）
A．准线的方程是B．以AB为直径的圆与轴相切
C．的最小值为D．的面积最小值为
3．（23-24高二上·浙江台州·期末）已知抛物线的焦点为,两点在抛物线上，并满足，过点作轴的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．B．1C．2D．4
4．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二上·湖北武汉·期末）过抛物线焦点的直线与此抛物线交于两点，且．抛物线的准线与轴交于点，过点作于点．若四边形的面积为，则的值为（ ）
A．2B．4C．D．
二、多选题
6．（23-24高二下·河南驻马店·期末）点是抛物线的焦点，过点的直线与交于两点.分别在两点作的切线与，记，则下列选项正确的是（ ）
A．为直角三角形
B．
C．
D．若，则
7．（23-24高二下·湖南·期末）已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（ ）
A．的准线方程为
B．线段的长度的最小值为4
C．存在唯一直线，使得为线段的中点
D．以线段为直径的圆与的准线相切
8．（23-24高二上·安徽黄山·期末）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．直线的斜率之积为定值
B．直线交抛物线的准线于点，若，则直线l的斜率为
C．若，则抛物线的准线方程为
D．直线交抛物线的准线于点，则直线轴
9．（23-24高二上·江西景德镇·期末）设抛物线的焦点为，点是上不同的两点，则（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．若，那么点的横坐标为
C．若，则线段的中点到轴距离为4
D．以线段为直径的圆与轴相切
10．（23-24高二上·山西吕梁·期末）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（ ）
A．B．以线段为直径的圆必与准线相切
C．线段的长为定值D．线段的中点到轴的距离为定值
11．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），，则（ ）
A．
B．
C．最小值为4
D．当直线的倾斜角为时，与面积之比为3
三、填空题
12．（23-24高二下·贵州铜仁·期末）已知抛物线的焦点为，则 ；若斜率为的直线过焦点且与抛物线交于两点，的中垂线交轴于点，则 ．
13．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知点M在抛物线上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，若，则 ． ．
抛物线中的最值范围问题
一、单选题
1．（23-24高二上·安徽六安·期末）抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·江西·期末）已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的最大值是（ ）
A．B．C．1D．
4．（23-24高二上·辽宁大连·期末）抛物线上有三点，且直线的斜率大于零，，点为三角形的重心，若直线横截距的范围为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（23-24高二上·山西大同·期末）已知点是焦点为的抛物线上的一个动点，，则（ ）
A．的最小值为1B．的最小值为4
C．的最小值为3D．的最大值为
6．（23-24高二上·重庆·期末）已知抛物线上存在两个不同的点关于直线对称，直线与轴交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标为B．
C．D．
三、填空题
7．（23-24高二下·湖南岳阳·期末）抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点，则的最小值为 .
8．（23-24高二上·浙江舟山·期末）曲线上动点与构成，若，则实数的取值范围为 ．
9．（23-24高二上·湖北·期末）如图所示，抛物线的焦点为，过点的直线与分别相交于和，直线过点，当直线垂直于轴时，，则的方程为 ；设直线的倾斜角分别为，则的最大值为 .
四、解答题
10．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点到直线的距离为为直线上的动点，过点作直线分别与相切于点.
(1)求的方程；
(2)证明：直线过定点；
(3)若直线分别交轴于点，求的最小值.
11．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线（斜率为正数）与由左至右交于、两点，连接并延长交于点．
(1)证明：；
(2)当的内切圆半径时，求的取值范围．
12．（23-24高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，.
(1)求的值；
(2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围.
抛物线中的定点定值问题
一、单选题
1．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知抛物线C：内有一点，过点A作直线l与该抛物线交于P、Q两点，经过点和点Q的直线与该抛物线交于另一点T，则直线PT过定点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于抛物线交于点，．设直线，的斜率分别为，，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（23-24高二上·上海·期末）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于,，且直线OA,OB的斜率分别为,，则,,中有（ ）个值为定值
A．0B．1C．2D．3
二、多选题
4．（23-24高二上·安徽黄山·期末）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．直线的斜率之积为定值
B．直线交抛物线的准线于点，若，则直线l的斜率为
C．若，则抛物线的准线方程为
D．直线交抛物线的准线于点，则直线轴
5．（23-24高二上·山西吕梁·期末）设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（ ）
A．B．以线段为直径的圆必与准线相切
C．线段的长为定值D．线段的中点到轴的距离为定值
6．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知、为抛物线 上两点，以 为切点的抛物线的两条切线交于点 ，设以 为切点的抛物线的切线斜率为，，过 的直线斜率为 ，则以下结论正确的有（ ）
A．，，成等差数列
B．若点在抛物线的准线上，则不是直角三角形
C．若点在直线上，则直线恒过定点
D．若点在抛物线上，则面积的最大值为2
7．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知为抛物线的焦点，直线过点且与交于两点，为坐标原点，则（ ）
A．的最小值为
B．以线段为直径的圆与的准线相离
C．的面积为定值
D．
三、解答题
8．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知抛物线经过点．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点．
9．（23-24高二下·安徽亳州·期末）已知为坐标原点，是抛物线上与点不重合的任意一点．
(1)设抛物线的焦点为，若以为圆心，为半径的圆交的准线于两点，且的面积为，求圆的方程；
(2)若是拋物线上的另外一点，非零向量满足，证明：直线必经过一个定点．
10．（23-24高二下·湖南郴州·期末）已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，已知，
(1)求抛物线的方程及的值；
(2)当在第一象限时，为坐标原点，是抛物线上一点，且的面积为1，求点的坐标；
(3)满足第（2）问的条件下的点中，设平行于的两个点分别记为，问抛物线的准线上是否存在一点使得，.
11．（23-24高二下·福建福州·期末）已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，求证：直线AB过定点；
12．（23-24高二下·广东·期末）设点为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与交于两点（为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条斜率分别为的直线，它们分别与抛物线交于点和．已知，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
13．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知P是抛物线的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为．
(1)若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程；
(2)设直线的斜率分别为，求证：为定值．
抛物线中的定直线问题
一、解答题
1．（23-24高二下·甘肃·期末）已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3．
(1)求拋物线的标准方程；
(2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为．
①证明：点在定直线上；
②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围．
2．（23-24高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为．
(1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；
(2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上．
3．（23-24高二上·四川眉山·期末）已知斜率为2的直线交抛物线于、两点，求证：
(1)线段AB的中点在一条定直线上
(2)为定值（O为坐标原点，、分别为直线OA、OB的斜率）