备战高二数学上学期期末（苏教版）专题05 双曲线（原卷版）

这是一份备战高二数学上学期期末（苏教版）专题05 双曲线（原卷版），共31页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

根据双曲线的定义求方程
一、单选题
1．（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（ ）

A．射线B．椭圆C．双曲线D．圆
3．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二上·湖北·期末）已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（ ）
A．（）B．
C．（）D．（）
5．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
6．（23-24高二上·山东聊城·期末）若平面内的动点Px,y满足，则（ ）
A．时，点的轨迹为圆
B．时，点的轨迹为圆
C．时，点的轨迹为椭圆
D．时，点的轨迹为双曲线
三、填空题
7．（23-24高二上·湖南益阳·期末）的坐标满足方程：，则M的轨迹方程为 .
四、解答题
8．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与交于两点，且，求直线的方程.
焦点三角形问题
一、单选题
1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知为双曲线左支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心若，则点到焦点的距离是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二上·山东菏泽·期末）如图，分别为双曲线的左，右焦点，在左支上，在右支上，且，，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高二上·河北保定·期末）已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（ ）
A．2B．C．D．
7．（23-24高二上·贵州黔南·期末）已知点，分别为双曲线C：（）的左、右焦点，点到渐近线的距离为2，过点的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，且，则下列说法正确的为（ ）
A．的面积为8
B．双曲线C的离心率为2
C．
D．
二、多选题
8．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．过点且垂直于的直线平分
C．若，则
D．若，则
9．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线右支上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若的内切圆圆心为，直线的斜率为
B．若的内切圆圆心为的外接圆半径为
C．若且，则
D．若且，则
10．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，则下列说法正确的是（ ）
A．若的周长为24，则的面积为48
B．
C．
D．若为锐角，则点的纵坐标范围是
11．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是（ ）
A．直线与直线的斜率之积为
B．的最小值为
C．若，则的周长为
D．点P到两条渐近线的距离之积
12．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知双曲线C：，（），的左、右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线右支上一动点，记直线，的斜率分别为，，若，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则的面积为
C．若，则的内切圆半径为
D．以为直径的圆与圆相切
三、填空题
13．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上一点，且，则的面积为 .
14．（23-24高二下·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ．
15．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，，为双曲线C的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点，若的周长为108，则双曲线C的方程为 ．
焦半径及最值问题
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（ ）
A．13B．10C．1D．13或1
2．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（ ）
A．8或20B．20C．6或22D．22
3．（23-24高三上·四川成都·期末）双曲线：（，）的一条渐近线过点，，是的左右焦点，且焦点到渐近线的距离为，若双曲线上一点满足，则（ ）
A．3或7B．7C．5D．3
4．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（ ）
A．7B．6C．5D．
5．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）若双曲线上一点到其右焦点的距离是8,则点到其左焦点的距离是（ ）
A．4B．10C．2或10D．4或12
6．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
7．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高二上·天津·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为（ ）
A．B．
C．D．
9．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知点是双曲线的左焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（ ）
A．8B．5C．3D．2
二、多选题
10．（23-24高二上·山东青岛·期末）若双曲线方程为，为双曲线的一个焦点，点在该双曲线上，为坐标原点，则（ ）
A．双曲线的离心率为B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的焦距为D．的最小值为
11．（23-24高二上·江苏泰州·期末）下列结论正确的是（ ）
A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8
B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6
C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为
D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1
12．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知双曲线（，），实轴长为8，虚半轴长为，，分别为双曲线左右焦点，点，P为双曲线在第一象限上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．内切圆圆心的横坐标为定值
C．若直线l交双曲线于A，B两点，且Q为中点，则直线l的方程为
D．的最小值为
三、填空题
13．（23-24高二下·上海长宁·期末）设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则 .
14．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ．
15．（23-24高二上·湖北十堰·期末）是双曲线的左焦点，是右支上一点，过作与直线夹角为的直线，并与相交于点，则的最小值为 ．
根据方程求参数（范围）
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高二上·河南许昌·期末）若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．
3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（ ）
①若曲线为椭圆，则且焦距为常数
②曲线不可能是焦点在轴的双曲线
③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线C为椭圆
B．若曲线C为双曲线，则
C．曲线C不可能是圆
D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则
5．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线的焦距为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知曲线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是圆，其半径为
B．若，，则是两条直线
C．若时，则是椭圆，其焦点在轴上
D．若时，则是双曲线，其渐近线方程为
7．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知曲线，下列命题错误的是（ ）
A．若，则是双曲线B．若，则是椭圆
C．若，则是圆D．若，则是两条直线
8．（23-24高二上·福建福州·期末）若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（ ）
A．若，则为椭圆
B．若为椭圆，且焦点在轴上，则
C．曲线可能是圆
D．若为双曲线，则
9．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知曲线C：，则（ ）
A．存在m，使C表示圆
B．当时，则C的渐近线方程为
C．当时，则C的焦点是，
D．当C表示双曲线时，则或
三、填空题
10．（23-24高二下·广东惠州·期末）双曲线的一个焦点是，则 ．
11．（23-24高二上·北京西城·期末）若方程表示的曲线为双曲线，则实数的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数的取值范围是 .
求椭圆的标准方程
一、单选题
1．（23-24高二下·河南商丘·期末）已知双曲线的顶点为椭圆的焦点，的离心率与的离心率之积为1，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·福建福州·期末）双曲线的一个顶点为，渐近线方程为，则双曲线方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
4．（23-24高二上·陕西西安·期末）双曲线的一个顶点为，虚半轴长为，则双曲线的标准方程是（ ）.
A．B．C．D．
5．（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
6．（23-24高二下·北京东城·期末）已知双曲线的焦点为和，一条渐近线方程为，则的方程为 .
7．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知双曲线的右焦点为，实轴长为8，则该双曲线的标准方程为 .
8．（23-24高二上·宁夏银川·期末）双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，已知点为抛物线C：的焦点，且到双曲线E的一条渐近线的距离为，又点P为双曲线E上一点，满足.则:
（1）双曲线的标准方程为 ；
（2）的面积为 .
双曲线焦点焦距问题
一、单选题
1．（23-24高三下·四川·期末）双曲线的左，右焦点分别是，，已知到双曲线H的一条渐近线的距离为，则为（ ）
A．4B．C．6D．8
2．（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·安徽·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦点坐标分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．（23-24高二上·福建三明·期末）双曲线的焦距为（ ）
A．B．C．2D．4
5．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则该双曲线的焦距为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高二上·江西景德镇·期末）共轭双曲线与，有（ ）
A．相同的离心率B．公共焦点
C．公共顶点D．公共渐近线
二、多选题
7．（23-24高二上·山东青岛·期末）若双曲线方程为，为双曲线的一个焦点，点在该双曲线上，为坐标原点，则（ ）
A．双曲线的离心率为B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的焦距为D．的最小值为
8．（23-24高二上·四川自贡·期末）已知双曲线，则双曲线（ ）
A．焦点坐标为和
B．渐近线方程为和
C．离心率为
D．与直线有且仅有一个公共点
三、填空题
9．（23-24高二下·广东惠州·期末）双曲线的一个焦点是，则 ．
10．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为 .
11．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是 ．
双曲线实轴虚轴问题
一、单选题
1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的实轴长为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为米时，水面宽为米，则此双曲线的虚轴长为（ ）

A．B．2C．3D．6
3．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知双曲线的左右顶点分别为，右焦点为F，以为直径作圆，与双曲线C的右支交于两点．若线段的垂直平分线过，则的数值为（ ）
A．3B．4C．8D．9
4．（23-24高二上·安徽·期末）已知双曲线：与：，则（ ）
A．与的实轴长相等B．与的渐近线相同
C．与的焦距相等D．与的离心率相等
5．（23-24高二上·天津河东·期末）双曲线的实半轴长为（ ）
A．16B．8C．4D．3
6．（23-24高二上·河南开封·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的实轴长为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知双曲线：，则（ ）
A．双曲线的离心率为B．双曲线的虚轴长为
C．双曲线的实半轴长为D．双曲线的渐近线方程为
8．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知双曲线的右焦点为，右顶点为A，离心率为e，直线轴，且与C的左、右两支分别交于P，Q两点，О为坐标原点，则下列命题正确的是（ ）．
A．若，则C的虚轴长为
B．若，则
C．若存在l使，则
D．若存在l使，则
三、填空题
9．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）若方程表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为 .
10．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）双曲线的虚轴长为 ．
11．（23-24高二上·安徽·期末）若双曲线的焦点分别为，，且点在上，则的实轴长为 ．
渐近线离心率问题
一、单选题
1．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
3．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知双曲线E :x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线 E的一条渐近线交于A，B两点，若OB=3OA，则双曲线 E的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
5．（23-24高二下·云南普洱·期末）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数的值为：（ ）
A．B．4C．D．2
6．（23-24高二下·湖南·期末）已知双曲线E：（）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
7．（23-24高二下·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
8．（23-24高二下·江苏盐城·期末）若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．（23-24高二上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，其中且双曲线渐近线的斜率绝对值小于，则下列关系不正确的是（ ）
A．B．C．D．.
二、多选题
10．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（ ）
A．渐近线方程为B．离心率为
C．D．
11．（23-24高二下·海南·期末）已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．直线的斜率为
B．直线是的一条渐近线
C．若，则的离心率为
D．若，则的渐近线方程为
12．（23-24高二下·河北·期末）如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，,且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．若，则
C．若，则的最小值为2
D．
三、填空题
13．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ．
14．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作渐近线的垂线，垂足为，直线的斜率为，则双曲线的离心率为 ．
15．（23-24高二下·贵州安顺·期末）已知椭圆和双曲线在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为，在方向上的投影向量为，则椭圆的离心率为 ；双曲线的渐近线方程为 .
16．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，.过点的直线与轴交于点，与交于点，且，点在以为直径的圆上，则的渐近线方程为 .
直线与双曲线的位置关系
一、单选题
1．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二上·上海·期末）设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）条.
A．0B．1C．2D．3
3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，，则下列结论中错误的是（ ）
A．的标准方程为B．的离心率等于
C．与双曲线的渐近线不相同D．直线与有且仅有一个公共点
4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知点为双曲线右支上的一个动点，则点到直线的距离的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知点F是双曲线的一个焦点，直线，则“点F到直线l的距离大于1”是“直线l与双曲线C没有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（23-24高三上·湖南常德·期末）设圆的圆心为M，双曲线C：的左右焦点分别，已知圆M与双曲线C相交于A，B两点，且，则下列说法正确的（ ）
A．双曲线C的焦距为
B．双曲线C的渐近线方程为
C．双曲线C的焦点到渐近线距离为2
D．过点M且与双曲线C的右支有2个交点的直线的斜率的取值范围是
8．（23-24高二上·河南·期末）已知曲线，则（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线
C．存在实数，使得过点
D．当时，直线总与曲线相交
9．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，圆上任意一点处的切线交双曲线于两点M、N（ ）
A．或2
B．若与双曲线左、右两支相交，则的斜率的取值范围是
C．满足的直线有且仅有一条
D．为定值，且定值为2
10．（23-24高二上·江西景德镇·期末）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（23-24高二上·福建福州·期末）已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为 .
12．（23-24高二上·浙江宁波·期末）若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是 .（写出符合条件的一个方程即可）
13．（23-24高二上·海南·期末）已知双曲线的右焦点为，点，且直线与仅有一个交点，写出一个满足条件的方程：
14．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是 .
四、解答题
15．（23-24高二下·江西新余·期末）已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2.
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）.
16．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线有唯一的公共点，求的值．
弦长及弦中点问题
一、单选题
1．（23-24高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·重庆·期末）已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知双曲线，直线与C交于A，B两点，点P是C上异于A，B的一点，则（ ）
A．C的焦点到其渐近线的距离为
B．直线与的斜率之积为2
C．过C的一个焦点作弦长为4的直线只有1条
D．点P到两条渐近线的距离之积为
5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．若，则的面积为2
C．过P点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条
D．存在直线与双曲线交于M，N两点，且点P为中点
6．（23-24高二上·广东佛山·期末）设是双曲线上的两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高二上·重庆·期末）已知点M，N是双曲线上不同的两点，则（ ）
A．当M，N分别位于双曲线的两支时，直线的斜率
B．当M，N均位于双曲线的右支上时，直线的斜率
C．线段的中点可能是
D．线段的中点可能是
三、填空题
8．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ．
9．（23-24高三上·北京东城·期末）已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是 ；直线与双曲线相交于，两点，则 .
10．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 .
11．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知过点的直线与双曲线：交于A、B两点，若点P是线段的中点，则双曲线C的离心率取值范围是 .
四、解答题
12．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值．
13．（23-24高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线.
(1)求的方程，并说明是什么曲线：
(2)若直线和曲线相交于两点，求.
14．（23-24高二上·福建福州·期末）已知标准双曲线的焦点在轴上，且虚轴长，过双曲线的右焦点且垂直轴的直线交双曲线于两点， 的面积为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程.
15．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率.
双曲线中的最值范围问题
一、单选题
1．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·辽宁·期末）为双曲线上一点，，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
二、多选题
3．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线，点为双曲线右支上的一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．存在点，使得四边形为正方形
C．四边形的面积为
D．四边形的周长最小值为
4．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知，分别为双曲线：的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于，交轴于点，则下列说法中正确的有（ ）
A．的渐近线方程为B．过点作，垂足为，则
C．点的坐标为D．四边形面积的最小值为
5．（23-24高二上·江西吉安·期末）双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（ ）
A．
B．
C．平行四边形各边所在直线斜率均不为
D．
三、填空题
6．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知以为左、右焦点的双曲线的一条渐近线为.点是双曲线上异于顶点的动点，若是的平分线上的一点，且，则的取值范围是 .
7．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是 .
四、解答题
8．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值．
9．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线的离心率为，点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于P，A两点，点P在第一象限，当直线PA的斜率不存在时，．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)线段交圆于点B，记的面积分别为，求的最小值．
10．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知点，动点满足.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)记动点的轨迹为，若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.
11．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知椭圆，离心率为，点在曲线上，过双曲线上一点P（点P在第一象限）的切线交于AB两点，直线OP交于C，D两点，点A，D在x轴上方．
(1)求，的方程；
(2)设AC与BD交于点Q，记的面积分别为，求的最大值．
12．（23-24高二上·福建福州·期末）若双曲线的一个焦点是，且离心率为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，过焦点的直线与双曲线的两支相交于A，B两点，求直线MA和MB的斜率之和的最大值．
13．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知点在双曲线C：上，
(1)求C的方程；
(2)如图，若直线l垂直于直线OA，且与C的右支交于P、Q两点，直线AP、AQ与y轴的交点分别为点M、N，记四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为与，求的取值范围．
双曲线中的定点定值问题
一、单选题
1．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点是双曲线上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为E，过的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，与两条渐近线交于点P，Q（其中点A，点P在第一象限内），设M，N分别为与的内心，则（ ）
A．点M的横坐标为2B．当时，
C．D．为定值
3．（23-24高二上·湖北·期末）已知双曲线的离心率为，且双曲线的左焦点在直线上，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上异于两点的一个动点，记的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的方程为B．双曲线的渐近线方程为
C．点到双曲线的渐近线距离为2D．为定值
4．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的右支上，过点P的直线l与C的两条渐近线分别交于点M，N，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为4
B．与C仅有公共点P的直线共有三条
C．若，且P为线段MN的中点，则l的方程为
D．若l与C相切于点，则M，N的纵坐标之积为
三、填空题
5．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知双曲线，为坐标原点，不经过点的直线交双曲线于两点，且直线的斜率之和为0，则的斜率为 ．
6．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点是离心率为2的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ．
四、解答题
7．（23-24高二下·陕西延安·期末）已知双曲线经过点．
(1)求的离心率；
(2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点．
8．（23-24高二下·甘肃·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．
9．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
10．（23-24高二上·浙江·期末）已知离心率为的双曲线与x轴交于A，B两点，B在A的右侧．在E上任取一点，过点B作直线QB垂直PA交于点Q，直线PB、QA分别交y轴于不同的两点M，N．
(1)求双曲线E的方程；
(2)求证：直线与直线的斜率乘积为定值；
(3)三角形MNB的外接圆是否过x轴上除B点之外的定点，若是，求出该定点坐标：若不是，请说明理由．
11．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线过点，左右焦点分别为，且．
(1)求的标准方程．
(2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值：若不存在，请说明理由．
12．（23-24高二上·江西·期末）在平面直角坐标系中，双曲线C：的渐近线的方程为，焦距为．
(1)求的方程；
(2)如图，点为的下顶点，点在轴上（位于原点与上顶点之间），过作轴的平行线，过的另一条直线交于两点，直线分别交于两点，若，求的坐标．
13．（23-24高二上·山东枣庄·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为.
(1)求双曲线的方程；
(2)记双曲线的上、下顶点为、，为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
双曲线中的定直线问题
1．（23-24高二上·云南·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
2．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为）
(1)求证：点E恒在一条定直线L上；
(2)若两直线与L交于点N，，求的值；
(3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
3．（22-23高二下·陕西西安·期末）已知曲线上任意一点满足，且.
(1)求的方程；
(2)设，若过的直线与交于两点，且直线与交于点.证明：点在定直线上.
4．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，为坐标原点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为，证明：为定值；
(3)直线y=4x-6与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点P1，过点P1且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，⋯，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线．
双曲线中的向量问题
一、单选题
1．（23-24高二下·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
2．（23-24高二上·贵州黔南·期末）已知点，分别为双曲线C：（）的左、右焦点，点到渐近线的距离为2，过点的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，且，则下列说法正确的为（ ）
A．的面积为8
B．双曲线C的离心率为2
C．
D．
二、多选题
3．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（ ）
A．B．
C．双曲线的渐近线方程为D．直线的斜率为4
4．（23-24高二上·江西萍乡·期末）双曲线：的左右焦点分别为，，两条渐近线分别为，，过坐标原点的直线与的左右两支分别交于，两点，为上异于，的动点，下列结论正确的是（ ）
A．若以为直径的圆经过，则
B．若，则或9
C．过点作的垂线，垂足为，若（），则
D．设，的斜率分别为，，则的最小值为2
三、填空题
5．（22-23高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线的方程为，其左右焦点分别为，已知点坐标为，双曲线上的点满足，设内切圆半径为，则 ， ．
四、解答题
6．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标．
7．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与交于两点，且，求直线的方程.
8．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线．
(1)求上焦点的坐标；
(2)若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标；
(3)若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值．
9．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线，抛物线的焦点F是双曲线M的右顶点，且以F为圆心，以b为半径的圆与直线相切．
(1)求双曲线M的标准方程；
(2)已知直线与双曲线M交于A、B两点，且双曲线M是否存在上存在点P满足，若存在，求出m的值，若不存在请说明理由．
10．（23-24高二上·云南大理·期末）已知是双曲线上的一点，分别是的左、右焦点，若．
(1)求双曲线的离心率；
(2)当时，求的取值范围．
11．（23-24高二上·河南·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的的距离为3，离心率为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)经过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点为坐标原点，求的取值范围.