备战高二数学上学期期末（苏教版）专题08 等差数列与等比数列（原卷版）

这是一份备战高二数学上学期期末（苏教版）专题08 等差数列与等比数列（原卷版），共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

等差数列的定义及应用
一、单选题
1．（23-24高二上·广东深圳·期末）若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ）
A．B．
C．（为常数）D．
2．（23-24高二上·吉林·期末）已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知等差数列，则下列属于该数列的项的是（ ）
A．-23B．-31C．-33D．-43
二、多选题
4．（23-24高二下·辽宁·期末）等比数列的公比为，则下列说法正确的是（ ）
A．为等差数列B．若且，则递增
C．为等比数列D．为等比数列
5．（23-24高二下·山西长治·期末）已知数列，满足，且，则（ ）
A．B．当时，是等比数列
C．当时，是等差数列D．当时，是递增数列
6．（23-24高二下·云南昆明·期末）等比数列的公比为，前项和为，为等差数列，则（ ）
A．B．C．为等差数列D．为等比数列
7．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知数列的前项和，则下列说法中正确的是（ ）
A．一定为等差数列
B．可能为等比数列
C．若，则一定为递增数列
D．若，则存在，使得
8．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（ ）
A．可能为等差数列B．不可能为等比数列
C．是等差数列D．是等比数列
9．（23-24高二上·江苏南通·期末）下列结论正确的是（ ）
A．若是等差数列，则是等比数列
B．若是等比数列，则是等比数列
C．若是等比数列，则是等比数列
D．若是等差数列，则是等比数列
10．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列满足，，则数列（ ）
A．有可能是常数数列
B．有可能是等差数列
C．有可能是等比数列
D．有可能既不是等差数列，也不是等比数列
三、解答题
11．（23-24高二下·北京顺义·期末）已知各项均为正数的等比数列满足=8，，设.
(1)证明：数列bn是等差数列；
(2)记数列bn的前项和为，求的最大值．
12．（23-24高二下·广东揭阳·期末）给定数列，若首项且，对任意的，都有，则称数列为“指数型数列”.
(1)已知数列为“指数型数列”，若，求；
(2)已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
(3)若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列.
13．（23-24高二下·江西南昌·期末）若数列 满足 ，且 ，则称数列 为 “正余弦错位数列”.已知数列 为 “正余弦错位数列”.
(1)若 ，求 ；
(2)证明： 数列 为等差数列.
等差数列基本量的计算
一、单选题
1．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）记为等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·福建福州·期末）在等差数列中，，则（ ）
A．7B．11C．14D．16
3．（23-24高二下·河南开封·期末）已知等差数列中，，，则（ ）
A．B．C．0D．1
4．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（23-24高二下·北京顺义·期末）已知等差数列的前项和为，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高二下·山东淄博·期末）设等差数列，则（ ）
A．-5B．18C．23D．28
7．（23-24高二下·北京西城·期末）在等差数列中，，，则（ ）
A．8B．10C．12D．14
8．（23-24高二下·河南·期末）已知等差数列满足，且，则首项（ ）
A．B．0C．1D．3
二、多选题
9．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
10．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．为递减数列
C．D．
11．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知等差数列的公差为，且，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．（23-24高二下·海南海口·期末）已知等差数列的首项，前项和为，若，则公差 .
14．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知等差数列满足，，则通项公式为 .
15．（23-24高二下·上海浦东新·期末）等差数列中，，则 ．
16．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）在等差数列中.若，则 ．
四、解答题
17．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）设是等差数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)写出数列的前项和.
等差数列项的性质
一、单选题
1．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．20B．15C．10D．5
2．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列满足，已知，则的前19项和（ ）
A．0B．8C．10D．19
3．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．13B．45C．65D．130
4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）在等差数列中，，则（ ）
A．9B．10C．11D．14
5．（23-24高二下·四川绵阳·期末）设等差数列的前项和为，已知，则（ ）
A．32B．64
C．84D．108
6．（23-24高二下·贵州遵义·期末）已知等差数列的公差为1，，则（ ）．
A．10B．12C．14D．16
7．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则此数列的项数是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的有（ ）
A．B．C．D．最小
9．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知是公差为d的等差数列，其前n项和是，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24高二上·福建三明·期末）等差数列的前n项和为，若，则下列各项的值一定为m的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．（23-24高二下·青海·期末）已知等差数列的前项和为，且，则 .
12．（23-24高二下·上海金山·期末）在等差数列中，已知，则 ．
13．（23-24高二上·西藏拉萨·期末）在等差数列中，，则 .
等差数列和的性质
一、单选题
1．（23-24高二下·海南·期末）记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．144B．120C．108D．96
2．（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．12
3．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三上·山东淄博·期末）设为等差数列的前n项和，则“对，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（21-22高二上·云南曲靖·期末）记为等差数列的前项和，首项为，公差为，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，则
三、填空题
10．（23-24高二上·天津·期末）设为等差数列的前项和，且，，则 .
11．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列的前项和分别为，且，则 .
等差数列的应用
一、单选题
1．（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（ ）
A．27B．31C．35D．39
2．（23-24高二上·河南洛阳·期末）周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
3．（23-24高二上·山东临沂·期末）中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰:“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂,遂千百五二十岁”，即1遂为1520岁.某疗养中心恰有57人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为三遂，则最年轻者的年龄为（ ）
A．52B．54C．58D．60
4．（22-23高二上·湖南岳阳·期末）小方是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读《红楼梦》和《三国演义》，假设他读完这两本书共需40个小时，第1天他读了10分钟，从第2天起，他阅读的时间比前一天增加10分钟，恰好阅读完这两本书的时间为（ ）
A．第20天B．第21天C．第22天D．第23天
5．（23-24高二上·广西玉林·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（ ）
A．561B．595C．630D．666
二、多选题
6．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某公司为入职员工实行每月加薪，小王入职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月比上个月增加100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增加50元，已知小王前3个月的工资之和为9300元，则（ ）
A．
B．小王第3个月与第13个月工资之和等于第2个月与第14个月工资之和
C．小王入职后第20个月的工资为4550元
D．小王入职后前15个月的工资之和是55350元
7．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，第六章《均输》中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，问五人各得多少钱？”（注：“均输”即按比例分配，此处指的是甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列；“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（ ）
A．戊得钱是甲得钱的一半
B．乙得钱比丁得钱多钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍
D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱
三、填空题
8．（2023·山东·模拟预测）某学校报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是 .
9．（23-24高三上·上海静安·期末）在国家开发西部的号召下，某西部企业得到了一笔400万元的无息贷款用做设备更新．据预测，该企业设备更新后，第1个月收入为20万元，在接下来的5个月中，每月收入都比上个月增长20%，从第7个月开始，每个月的收入都比前一个月增加2万元．则从新设备使用开始计算，该企业用所得收入偿还400万无息贷款只需 个月．（结果取整）
等比数列及其应用
一、单选题
1．（22-23高二下·辽宁抚顺·期末）已知数列，则“”是“为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·北京大兴·期末）若数列是等比数列，则实数的值为（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知数列的前n项和为，若，且（），则（ ）
A．为等比数列B．为等差数列C．为等比数列D．为等差数列
5．（22-23高二上·广东深圳·期末）在数列中，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（23-24高二上·湖南长沙·期末）设数列的前n项和为，下列命题正确的是（ ）
A．若为等差数列，则，，仍为等差数列
B．若为等比数列，则，，仍为等比数列
C．若为等差数列，则为等差数列
D．若为正项等比数列，则为等差数列
7．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知是等差数列，是等比数列，下列说法正确的是（ ）
A．是等比数列
B．是等差数列
C．若，则为递减数列
D．若，则为递增数列
8．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）在数列中，已知，，则（ ）
A．B．是等差数列
C．D．是等比数列
9．（23-24高二下·云南昆明·期末）等比数列的公比为，前项和为，为等差数列，则（ ）
A．B．C．为等差数列D．为等比数列
10．（23-24高二上·浙江杭州·期末）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为1的线段AB上取两个点C、D，使得，以CD为边在线段AB的上方做一个正方形，然后擦掉CD，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段EF作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，…，图n，各图中的线段长度和为，数列的前n项和为，则（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．恒成立
D．存在正数，使得恒成立
三、填空题
11．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列满足：，其前项和为，若，则 .
四、解答题
12．（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列的首项，且满足．
(1)判断数列是否为等比数列；
(2)若，记数列的前n项和为，求．
13．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知数列满足：，，设.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.
14．（23-24高二上·河南开封·期末）已知数列的首项，且．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
等比数列基本量的计算
一、单选题
1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）记为等比数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）递增等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．72D．144
3．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知等比数列的前n项和为，，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（23-24高二下·吉林松原·期末）设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的公比 为（ ）
A．1或 B．1或3C．或 D．或3
5．（23-24高二下·辽宁大连·期末）记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知等比数列满足，，则（ ）
A．1B．C．3D．
7．（23-24高二下·北京海淀·期末）若等比数列的前项和，则公比（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知等比数列是其前项和，，则（ ）
A．B．8C．7D．14
二、多选题
9．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知等比数列中，，公比，其前项和为，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知等比数列的公比为，，，数列的前项和为，则（ ）
A．B．
C．数列是等比数列D．
11．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）在等比数列中，满足的通项公式可能是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．（23-24高二下·安徽淮北·期末）若是首项和公比均为3的等比数列，且，则 ．
13．（23-24高二下·江西景德镇·期末）记为等比数列的前项和，若，则公比为 .
14．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列满足：，其前项和为，若，则 .
15．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知等比数列的前项和为，数列的前项和为．若，则 ．
等比数列项的性质
一、单选题
1．（23-24高二下·青海·期末）在等比数列中，，，则（ ）
A．64B．128C．D．
2．（23-24高二下·贵州毕节·期末）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（23-24高二下·山东日照·期末）已知等比数列，，为函数的两个零点，则（ ）
A．B．C．D．3
4．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知是单调递增的等比数列，且，则公比的值是（ ）
A．3B．－3C．2D．－2
6．（23-24高二下·广西钦州·期末）在等比数列中，，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
7．（23-24高二下·北京西城·期末）在等比数列中，若，，则（ ）
A．4B．6C．2D．±6
8．（23-24高二下·江西赣州·期末）正项等比数列中，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
9．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等比数列的公比为，前项积为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24高二上·内蒙古·期末）已知公比为的正项等比数列的前项积为，则（ ）
A．
B．当时，
C．
D．当，且取得最小值时，只能等于6
三、填空题
11．（23-24高二上·上海宝山·期末）已知数列是等比数列，且，，则 ．
12．（23-24高二下·福建福州·期末）在等比数列中，，，则
13．（23-24高二下·陕西榆林·期末）在各项均为正数的等比数列中，，则 ．
14．（23-24高二下·辽宁·期末）在等比数列中，，则 .
15．（23-24高二下·四川达州·期末）在等比数列中，，，则 ．
16．（23-24高二下·上海·期末）已知数列为正项等比数列，，，则 ．
等比数列和的性质
一、单选题
1．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知正项等比数列满足，则数列的公比为（ ）
A．2B．1C．D．或
2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A．2B．C．D．
3．（23-24高二上·河南开封·期末）记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．21B．18C．15D．12
4．（23-24高三上·山西·期末）已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．8B．26C．80D．54
5．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等比数列满足，则（ ）
A．24B．36C．48D．108
6．（23-24高二上·河北保定·期末）设等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A．144B．324C．400D．364
7．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）等比数列中，为的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题
8．（23-24高二下·辽宁大连·期末）下列关于数列与其前项和的命题，表述正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若是等比数列，，则D．若，则数列单调递增
9．（23-24高二下·广东·期末）已知数列，其前项和记为，则（ ）
A．若是等差数列，且，则
B．若是等差数列，且，则
C．若是等比数列，且，其中为常数，则
D．若是等比数列，则也是等比数列
三、填空题
10．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）设是等比数列的前项和，若，，则= .
11．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则的值为 ．
12．（23-24高二下·吉林长春·期末）设等比数列的前n项和是.已知，则 .
等比数列的应用
一、单选题
1．（23-24高二下·海南海口·期末）小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（ ）
A．第一种B．第二种C．第三种D．无法判断
2．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到3333大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）
A．42B．43C．35D．49
3．（23-24高三下·山东济南·开学考试）已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取）
A．第6天B．第7天C．第8天D．第9天
4．（23-24高二上·安徽黄山·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其大意是：有一个人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到达该关口，则此人第三天走的路程为（ ）
A．48里B．45里C．43里D．40里
5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）一个弹性小球从10米高处自由落到地面后弹起到原来的一半高度，再自由落到地面后又弹起到上一次的一半高度，如此反复进行下去，则小球第五次落地时经过的路程为（ ）
A．29.375米B．19.375米
C．38.75米D．28.75米
6．（23-24高二上·重庆·期末）古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（ ）
A．兔尘B．羊尘C．兔尘D．羊尘
二、填空题
7．（23-24高二上·广东深圳·期末）一个乒乓球从 高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的 ，在第3次着地时，乒乓球经过的总路程为 .
8．（23-24高三上·辽宁大连·期末）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为 .
（参考数据：）
9．（23-24高二上·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为2cm，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，如果这个作图过程可以一直继续下去，当操作次数无限增大时，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于常数 ．
三、解答题
10．（23-24高二上·浙江金华·期末）在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作．
(1)若此人选择在一家公司连续工作年，第年的月工资是分别为多少？
(2)若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）．
11．（23-24高二上·山东威海·期末）甲、乙两家企业同时投入生产，第年的利润都为万元（），由于生产管理方式不同，甲企业前年的总利润为万元，乙企业第年的利润比前一年的利润多万元，设甲、乙两家企业第年的利润分别为万元，万元.
(1)求，；
(2)当其中某一家企业的年利润不足另一家企业同年的年利润的时，该家企业将被另一家企业兼并收购. 判断哪一家企业有可能被兼并收购，如果有这种情况，出现在第几年.
等比数列前n项和的最值问题
一、单选题
1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（ ）
A．12B．13C．24D．25
3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，且,，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·广东·期末）已知数列的通项公式，其前项和为，则取最小值时的值为（ ）
A．1012B．1013C．1014D．1015
5．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知等差数列的前项和为．若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高二上·天津和平·期末）若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（23-24高二下·云南·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．当时，取得最小值
D．当时，满足的最大整数的值为25
8．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．最小值为
9．（23-24高二下·四川成都·期末）等差数列 的前 项和为 ，则（ ）
A．B．
C．D．当 时， 的最小值为 16
10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．当取得最大值时，D．
三、填空题
11．（23-24高二下·北京怀柔·期末）已知等差数列的前项和，若，则 ；前项和的最大值为 ．
12．（23-24高二上·山东济南·期末）已知等差数列首项，公差，则前n项和的最大值为 ．
13．（23-24高二上·江苏南京·期末）设 为数列 的前项和，若 ，则 的最小值为
14．（23-24高二上·吉林·期末）已知为等差数列的前n项和，为其公差，且，给出以下命题：
①；②；③使得取得最大值时的n为8；④满足成立的最大n值为17
其中正确命题的序号为 .
四、解答题
15．（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，；
(1)求等差数列的前项和及的最大值；
(2)求数列的前项和.
16．（23-24高二上·新疆·期末）已知等差数列中，，
(1)求的通项公式
(2)求数列的前n项和的最小值．
等比数列前n项积的最值问题
一、单选题
1．（23-24高二上·广东肇庆·期末）数列的前n项和为，满足，则数列的前n项积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（ ）
A．1012B．1013C．2022D．2023
3．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
二、多选题
4．（23-24高二上·江苏常州·期末）在等比数列中，，为数列的前项积，下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．若，则的最大项为
D．若，则的最小项为
5．（23-24高二下·河南开封·期末）已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前n项积，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高二上·江苏南京·期末）设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．的值是中最大的
D．使成立的最大自然数等于4044
7．（23-24高二下·陕西渭南·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．数列中的最大值是D．数列无最大值
8．（23-24高二上·福建福州·期末）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．的最小值为
三、填空题
9．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知数列满足，，且.若是数列的前项积，求的最大值为 .
10．（23-24高二下·北京顺义·期末）已知各项均为正数的等比数列，，，则 ；前项积的最小值为 .
数列的新定义问题
一、单选题
1．（23-24高二下·北京房山·期末）已知数列：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推. 是数列的前项和，若，则的值可以等于（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·北京顺义·期末）对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”．给出以下四个结论：
① 若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于0；
② 若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比q的取值范围是0,1；
③ 若数列是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”；
④ 若数列是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”；
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（23-24高二下·江西抚州·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二下·河南南阳·期末）设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列.现有下列3个命题：
①数列是可分数列；
②数列是可分数列；
③数列是可分数列.
其中真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（23-24高二下·江西新余·期末）数列，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
6．（23-24高二下·甘肃·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为，其前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（23-24高二下·山东淄博·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列. 如数列，它的前后两项之差组成新数列，新数列为等差数列， 则数被称为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其前6项分别为，设其通项公式则下列结论中正确的是（ ）
A．数列的公差为2B．
C．数列的前7项和最大D．
8．（23-24高二下·云南曲靖·期末）为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概念，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个常数（不为0）.已知数列是一个“等积数列”，，其前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的一个通项公式为D．
9．（23-24高二下·湖北武汉·期末）冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列从左往右，依次对相邻两个元素比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换1次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列最终完成了冒泡排序，同样地，序列需要依次交换完成冒泡排序.因此，和均是交换2次的序列.现在对任一个包含个不等实数的序列进行冒泡排序，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换1次的序列个数为，只需要交换2次的序列个数为，则（ ）
A．序列是需要交换3次的序列B．
C．D．
三、填空题
10．（23-24高二下·辽宁·期末）设高斯函数x表示不超过的最大整数（如），已知，则 ； ．
11．（23-24高二下·上海·期末）在数列中，若存在两个连续的三项与相同（），则称是“3阶可重复数列”．已知给定项数为m（）的数列，其中一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是 ．
四、解答题
12．（23-24高二下·河北·期末）设n为正整数，数列是首项为1，公比为的等比数列.从中任意选取两项和，若它们的和大于，则称该选取为“有效选取”.
(1)当时，求所有“有效选取”的种数；
(2)若，证明：对于任意的n，都存在“有效选取”；
(3)若，证明：对于任意的n，数列中存在两项和，使得它们的差的绝对值大于.
13．（23-24高二下·北京房山·期末）若数列满足：对任意，都有，则称是“数列”．
(1)若，，判断，是否是“数列”；
(2)已知是等差数列，，其前项和记为，若是“数列”，且恒成立，求公差的取值范围；
(3)已知是各项均为正整数的等比数列，，记，若是“数列”，不是“数列”，是“数列”，求数列的通项公式．