专题2 平面向量-高一数学下学期期末必考重点题型技法突破（人教A版必修第二册）

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平面向量
★★★★★★期末导航★★★★★★
★★★★★★知识回顾★★★★★★
1． 向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫作向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为零的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度为单位1的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2、向量的数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则
①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb.
3． 向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
减法
求两个向量差的运算

三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
4、向量共线的判定定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
5．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．
6．平面向量的坐标表示
(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作＝a.由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得＝xi＋yj.因此a＝xi＋yj.
我们把实数对(x，y)叫作向量a的坐标．记作a＝(x，y)．
(2)设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O为坐标原点)
7．平面向量坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
8．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b共线．
9．两个向量的夹角

(1)已知两个非零向量a和b(如图)，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
(2)规定：零向量可与任一向量垂直．
10．两个向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
11．向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的数量积．
12．向量数量积的性质
设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
(2)a⊥b⇔a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别的，a·a＝|a|2或者|a|＝；
(4)cos θ＝；
(5)|a·b|≤|a||b|.
13．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
14．平面向量数量积的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；
(2)|a|＝；
(3)cos〈a，b〉＝；
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
15．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝a，则|a|＝(平面内两点间的距离公式)．
16．直线l的方向向量
给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的向量m称为直线l的方向向量．
17.正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可
以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．
18. 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余
弦定理可以变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
3.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，
并可由此计算R、r.
19.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsin A
bsin A a≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解
20.实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．

(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．
(3)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．

★★★★★★掌握题型★★★★★★
考点一 平面向量有关的概念
1．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
2．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
3．给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是________．
【方法技巧】向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．
考点二 向量的线性运算
【例1】(1)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b B．a＋b
C.a－b D.a－b
(2)(一题多解)(2020·广东一模)已知A，B，C三点不共线，且点O满足16－12－3＝0，则(　　)
A.＝12＋3 B．＝12－3
C.＝－12＋3 D.＝－12－3
【例2】在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　)
A．1 B．
C. D.
【方法技巧】
看个性
向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：
一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.
根据向量线性运算求参数是向量的线性运算的逆运算．解决此类问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.
找共性
(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
【跟踪训练】
1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A.－ B．－
C.＋ D.＋
2.如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝________.
考点三 共线向量定理的应用
【例3】设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【方法技巧】利用向量共线定理证明三点共线
若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．

[提醒]　(1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量．
(2)证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
【跟踪训练】
1．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．矩形　　　　　　　　 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
2．已知O为△ABC内一点，且＝(＋)，＝t，若B，O，D三点共线，则t＝(　　)
A. B．
C. D.
3．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)
A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上
考点四 平面向量基本定理及其应用
【例3】(1)(2020·郑州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　)
A.－　　　　　 B.－
C．－＋ D．－＋
(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为________．
【方法技巧】平面向量基本定理的实质及应用思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【跟踪训练】1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ等于________．
2．如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.

考点五 平面向量的坐标运算
【例4】(1)已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为(　　)
A．(－8,1) B．
C. D．(8，－1)
(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
【方法技巧】
求解向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化
向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标
向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
(3)妙用待定系数法求系数
利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．
【跟踪训练】1．已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为________．
2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
考点六 平面向量的坐标表示
【例5】已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
【方法技巧】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
【跟踪训练】
1．设向量＝(1，－2)，＝(2m，－1)，＝(－2n,0)，m，n∈R，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则m＋n的最大值为(　　)
A．－3　　　　　　　　 B．－2
C．2 D．3
【答案】A
【解析】由题意易知，∥，其中＝－＝(2m－1,1)，＝－＝(－2n－1,2)，所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，得2m＋1＋2n＝1,2m＋1＋2n≥2，所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3.
2．已知梯形ABCD中，AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．
3．已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝(1，－1)共线，若＝λ＋(1－λ)，则λ＝________.
4．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
考点七 平面向量的数量积的运算
【例2】(1)(2019·全国卷Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)
A．－3　　 B．－2　　　
C．2　　　 D．3
(2)(2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.
【方法技巧】
求非零向量a，b的数量积的3种方法
方法
适用范围
定义法
已知或可求两个向量的模和夹角
基底法
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解
坐标法
①已知或可求两个向量的坐标；
②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积
【跟踪训练】
1．设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于(　　)
A．－　　　　　　　　　 B．－
C. D.
2．已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1,2)，则向量b在a方向上的投影为(　　)
A. B．－
C．－ D．－
3．(2022·湖北汉阳模拟)在△ABC中，|BC|＝4，(＋)·＝0，则·＝(　　)
A．4 B．－4
C．－8 D．8

考点八 平面向量数量积的应用
【例6】(1)已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a|＝3，且a与a＋b的夹角为，则|b|＝(　　)
A．6　　　　　　　　　 B．3
C．2 D．3
(2)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为(　　)
A．1 B．
C. D.
【方法技巧】
求平面向量模的2种方法
公式法
利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算
几何法
利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解
【例7】(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A. B．
C. D.
(2)(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.
【方法技巧】
求平面向量夹角的2种方法
定义法
当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ＝求得
坐标法
若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos 〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]
【例8】(1)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
【跟踪训练】
1．(2022·湖北恩施2月质检)已知平面向量a，b满足(a－2b)⊥(3a＋b)，且|a|＝|b|，则向量a与b的夹角为(　　)
A. B．
C. D.
2．(2022·福建厦门一模)已知a＝(1,1)，b＝(2，m)，a⊥(a－b)，则|b|＝(　　)
A．0 B．1
C. D．2
3．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)且b在a方向上的投影为－3，则向量a与b的夹角为________．
题型九 利用正余弦定理解三角形
【例9】在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.
(1)求边长a；
(2)求AB边上的高CD的长．
【例10】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sin C.
【跟踪训练】
1．已知△ABC中的某些条件(a，b，c和A，B，C中至少含有一条边的三个条件)求边长时可用公式a＝，b＝，c＝，a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
2．已知△ABC的外接圆半径R及角，可用公式a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
[提醒] 已知△ABC的两边及其一边的对角求边时可用正弦定理，但要对解的个数作出判断，也可用余弦定理解一元二次方程求得．
涉及解三角形中的最值(范围)问题时若转化为边求解可利用基本不等式或二次函数；若转化为角求解可利用三角函数的有界性、单调性．
1．已知△ABC中某些条件求角时，可用以下公式sin A＝，sin B＝，sin C＝，cos A＝，cos B＝，cos C＝.
2．已知△ABC的外接圆半径R及边，可用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝.
[提醒]　(1)注意三角形内角和定理(A＋B＋C＝π)的应用．
(2)解三角形中经常用到两角和、差的三角函数公式．
题型十 判断三角形形状
【例11】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形　　　　 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【例12】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
【方法技巧】
[解题技法]
1．判定三角形形状的2种常用途径

2．判定三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
【跟踪训练】
1．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
2．[在△ABC中，已知＝且还满足①a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)；②bcos A＋acos B＝csin C中的一个条件，试判断△ABC的形状，并写出推理过程．
题型十一 三角形面积问题
【例13】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．

【方法技巧】
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
【跟踪训练】
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(2b－a)cos C＝ccos A.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝3，△ABC的面积S＝，求△ABC的周长．
题型十二 解三角形的实际应用
【例14】如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.

【例15】如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m.

【例16】游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于________．
【方法技巧】
测量距离问题的2个策略
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
测量高度问题的基本思路
高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度．
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
[提醒]　方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．
题型十三 正余弦定理在平面几何中的应用
【例17】如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．
(1)求sin∠CED；
(2)求BE的长．

【方法技巧】
与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
[提醒]　做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
【跟踪训练】
1.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为________．
2.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.
(1)求AD的长；
(2)求△CBD的面积．

题型十四 解三角形与三角函数的综合问题
【例18】已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)cos(π＋x)－.
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsin C＝asin A，求△ABC的面积．
【方法技巧】
解三角形与三角函数综合问题的一般步骤

【跟踪训练】
1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cos B－bcos C＝0.
(1)求角B的大小；
(2)设函数f(x)＝2sin xcos xcos B－cos 2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．

★★★★★★题组训练★★★★★★
一、单选题
1．在中，，则一定是（       ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
2．在中，那么（       ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．已知平面向量＝(1，2)，＝(－2，m)，且∥，则2＋3＝(　　)
A．(－4，－8) B．(－8，－16)
C．(4，8) D．(8，16)
4．下列说法正确的是（       ）
A．向量与向量是相等向量
B．与实数类似，对于两个向量有，，三种关系
C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
5．在△ABC中，若其面积为S，且=2S，则角A的大小为（       ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．已知向量，，若，则（       ）
A． B． C． D．
7．已知向量，，满足，，，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
8．在中，，，分别为内角，，的对边，且，则的大小为（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选题）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（　　）
A．－2 B． C．1 D．－1
10．在中，角的对边分别为，若，则角可为（       ）
A． B． C． D．
11．（多选）已知向量，，在下列命题中正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．是的重心，，，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（       ）
A．
B．在方向上的投影向量等于
C．
D．的最小值为-1
三、填空题
13．已知，为单位向量，且，则向量与的夹角为______.
14．已知，且，则实数___________.
15．在直角坐标系中，为原点,O、A、B不共线，，则________
16．已知，且，，则向量与的夹角为________．
四、解答题
17．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
18．如图所示，在中，，，与交于点M．过M点的直线l与、分别交于点E，F．

（1）试用，表示向量；
（2）设，，求证：是定值．
19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角所对的边分别为，面积为，且，_____________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
20．已知中是直角，，点是的中点，为上一点．

（1）设，，当，请用，来表示，；
（2）当时，试求．
21．在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知．（1）求角A的值；
（2）若，，求的周长；
（3）若，求面积的最大值．
22．铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链可由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成.合页主要安装于门窗上，而铰链更多安装于橱柜上.如图所示，就是一个合页的抽象图，可以在变化，其中，正常把合页安装在家具上时，的变化范围是.根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以为边长的正三角形区域内不能有障碍物.

（1）若时，求的长；
（2）当是多大时，求面积的最大值.