备战高二数学上学期期末（人教A）专题01 空间向量与立体几何（原卷版）

这是一份备战高二数学上学期期末（人教A）专题01 空间向量与立体几何（原卷版），共62页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

空间向量的线性运算
一、单选题
1．（23-24高二上·河南驻马店·期末）在平行六面体中，是平行四边形的对角线的交点，为的中点，记，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·福建福州·期末）在平行六面体中，为延长线上一点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二上·安徽·期末）如图，三棱柱中，，，，点为四边形的中心点，则（ ）

A．B．
C．D．
4．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在三棱柱中，分别是的中点，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）如图，在四面体中，，，，点M、 N分别在线段、上，且，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高二上·山西运城·期末）如图，空间四边形OABC中，，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
7．（23-24高二上·江西·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，若，则（ ）

A．B．
C．D．
8．（23-24高二上·山西长治·期末）在三棱锥中，，，，点在直线上，且，是的中点，则下列结论可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
9．（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则
10．（23-24高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示 .
共线定理与共面定理
一、单选题
1．（23-24高二上·江西上饶·期末）有下列四个命题：
（1）已知A，B，C，D是空间任意四点，则；
（2）若两个非零向量与满足，则；
（3）分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量；
（4）对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若当时，（x，y，），则P，A，B，C四点共面．
其中正确命题的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
2．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知向量，，若，，三点共线，则（ ）
A．B．C．2D．3
3．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知空间向量，，且，则（ ）
A．B．C．1D．17
4．（23-24高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，若向量与向量共线，则的值为（ ）
A．0B．C．1D．
5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（ ）
A．16B．-13C．3D．-3
6．（23-24高二下·福建漳州·期末）已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（23-24高二下·江苏南京·期末）给出下列四个命题，其中真命题是（ ）
A．若向量与向量，共面，则存在实数x，y，使
B．若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面
C．直线a的方向向量为，平面的法向量为，则
D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
8．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知是三个不共面的向量，，且四点共面，则实数的值为（ ）.
A．1B．2C．3D．4
9．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
二、多选题
11．（23-24高二上·广东汕头·期末）下面四个结论正确的是（ ）
A．空间向量，若⊥，则
B．若对平面中任意一点，有 则，，三点共线.
C．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底.
D．任意向量，满足.
12．（23-24高二上·湖北荆州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若有空间非零向量，，则存在唯一的实数，使得
B．A，B，C三点不共线，空间中任意点O，若，则P，A，B，C四点共面
C．，，若，则
D．若是空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面，但不共线
13．（23-24高二上·安徽·期末）已知构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．，，共面
B．存在不全为零的实数x，y，z，使得
C．若，，则
D．若，则
14．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知三棱锥如图所示，G为重心，点M，F为中点，点D，E分别在上，，（），以下说法正确的是（ ）

A．若，则平面∥平面
B．
C．
D．若M，D，E，F四点共面，则
.
空间向量运算的坐标表示
一、单选题
1．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知空间向量，，若两个向量互相垂直，则（ ）
A．1.5B．1C．0.5D．2
2．（23-24高二下·福建宁德·期末）已知向量，，若∥，则实数（ ）
A．B．C．1D．2
3．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知空间向量,若,则（ ）
A．6B．C．36D．5
4．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知空间向量，，若，则（ ）
A．B．3C．D．2
5．（23-24高二下·江苏泰州·期末）设是实数，已知，若，则的值为（ ）
A．B．C．3D．6
6．（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知，，且，则（ ）
A．2B．3C．D．
7．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知空间中三点，若，则（ ）
A．B．4C．3D．
二、多选题
8．（23-24高二上·广东深圳·期末）若向量，，则下列结论正确的为（ ）
A．B．
C．∥D．
9．（23-24高一下·吉林通化·期末）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．的最小值为D．的最大值为4
10．（23-24高二上·青海西宁·期中）向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（23-24高二下·上海虹口·期末）若向量与平行，则实数的值为 .
12．（23-24高二上·安徽合肥·期末）设，，，，则 .
求空间向量的数量积
一、单选题
1．（23-24高二上·江西吉安·期末）在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知向量，，则（ ）
A．B．0C．2D．10
3．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知正四面体的棱长为2，是的中点，在上，且，则（ ）
A．B．C．0D．
4．（23-24高二下·江苏泰州·期末）从棱长为的正方体的八个顶点中任意取四个点，则值的不同种数为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正方体的棱长为1，设，，，则（ ）

A．1B．C．0D．2
6．（23-24高二上·云南昆明·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为，则（ ）
A．B．1C．D．2
7．（23-24高二上·河南·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为棱的中点，且，则（ ）

A．6B．8C．9D．10
8．（23-24高二上·广东河源·期末）如图，在正三棱锥中，高，，点分别为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
9．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）在空间直角坐标系中，若对应点，，若关于平面的对称点为，则（ ）
A．2B．C．5D．
10．（23-24高二上·四川成都·期末）如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（ ）
A．1B．C．D．2
二、多选题
11．（23-24高二上·广东深圳·期末）在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点.则下列各式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（23-24高二上·河北沧州·期末）在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．在上的投影向量为D．
13．（23-24高二上·广东深圳·期末）如图所示，平行六面体中，，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．平面D．
三、填空题
14．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知，，则 ．
15．（23-24高二上·四川宜宾·期末）在棱长为2的正四面体中，为的中点，则．
16．（23-24高二上·广东广州·期末）在棱长为2的正四面体中，是的中点，则 .
17．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知正方体的棱长为1，与平面的交点为，则 ．
四、解答题
18．（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.

(1)用向量表示向量，并求；
(2)求.
19．（23-24高二上·浙江温州·期末）如图，在平行六面体中，，，，，设，，．
(1)用向量表示；
(2)求．
求空间向量的投影向量
一、单选题
1．（23-24高二下·湖北·期末）空间向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·福建宁德·期末）在标准正交基下，已知向量，则在上的投影等于（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·广东佛山·期末）在棱长为的正方体中，点是的中点．设在上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·吉林·期末）已知向量，，则向量在向量上的投影向量（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高二上·广西百色·期末）已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
二、多选题
6．（23-24高二上·河北沧州·期末）在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．在上的投影向量为D．
7．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知向量，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则向量在向量上的投影向量
三、填空题
8．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量为 .
9．（23-24高二上·福建福州·期末）已知为单位向量.，若，则在上的投影向量为 .
空间向量模的问题
一、单选题
1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（ ）
A．B．C．85D．97
2．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．或
3．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（ ）
A．B．14C．D．2
4．（23-24高二上·河南信阳·期末）如图，在平行六面体中，，，，，则等于（ ）
A．B．C．D．10
5．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知是平行六面体，， ，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高二上·江苏·期末）如图，平行六面体的各棱长均为，，，则（ ）

A．B．
C．D．
7．（23-24高二上·新疆和田·期中）已知、、均为单位向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（23-24高二上·福建南平·期末）如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知向量，，，则（ ）
A．B．在上的投影向量为
C．D．向量共面
三、填空题
10．（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．

11．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知空间向量的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为，点为的重心，则 ．
空间向量的夹角问题
一、单选题
1．已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
2．已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．如图，平行六面体的校长均为3，且两两向量的夹角都是，过的平面与分别交于点，则（ ）

A．截面的面积为9
B．
C．的夹角是
D．平行六面体的体积为
4．如图，在三棱柱中，M，N分别是线段上的点，且．设，且均为单位向量，若，则下列说法中正确的是（ ）

A．与的夹角为B．
C．D．
三、填空题
5．已知向量.若，则与的夹角为 .
6．已知，则向量与的夹角为 ．
7．若空间向量，，向量、夹角为锐角，则的取值范围是
8．已知圆台的高为2，上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，，两点分别在圆、圆上，若向量与向量的夹角为60°，则直线与直线所成角的大小为 ．
9．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 .
空间位置关系的向量证明
一、单选题
1．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知分别是平面的法向量，若，则（ ）
A．B．C．7D．1
2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ）
A．或B．或
C．D．
3．（23-24高一下·吉林通化·期末）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ）
A．B．C．D．4
4．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
5．（23-24高二下·广东茂名·期末）如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列说法不正确的是（ ）
A．时，平面
B．时，四面体的体积为定值
C．时，，使得平面
D．若三棱锥的外接球表面积为，则
6．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（ ）.
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
7．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点Q为的中点，点P是棱上一动点（与C，不重合），过点P作，点E为垂足，再过点E作，点为垂足．则（ ）

A．平面B．三棱锥体积的最大值为
C．存在点P使得平面D．存在点P使得
8．（23-24高二上·浙江·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，面，，点E是棱上一点（不包括端点），F是平面内一点，则（ ）
A．一定不存在点E，使平面
B．一定不存在点E，使平面
C．以D为球心，半径为2的球与四棱锥的侧面的交线长为
D．的最小值
9．（23-24高二上·山东聊城·期末）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点，则（ ）．

A．平面
B．平面
C．平面平面
D．直线与ED所成角的余弦值为
三、填空题
10．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）若，且为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则实数的值为 .
11．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知，平面的法向量，若，则 ．
12．（23-24高二上·上海·期末）设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是 ．（填“平行”，“相交”，“线在面上”中的一个或两个）
四、解答题
13．（23-24高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，．
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．
异面直线所成角的求法
一、单选题
1．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知M，N 分别是正四面体中棱AD，BC的中点，若点 P 满足则DP与AB夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·福建厦门·期末）在四面体中，，，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·山西晋城·期末）如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二下·江苏淮安·期末）正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高二上·河南驻马店·期末）在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）如图，把正方形纸片沿对角线进行翻折，点，满足，，是原正方形的中心，当，直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
8．（23-24高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，点E，F分别是棱的中点，则异面直线与CF所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
9．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且，为线段的中点.则直线与的所成的角为（ ）

A．B．C．D．
10．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知梯形中，，，，，.如图，将沿对角线翻折至，使得，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
11．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知正方体的棱长为1，且E为AB的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．直线与夹角的余弦值为
D．点到平面的距离为
12．（23-24高二下·甘肃白银·期末）如图，在直四棱柱中，四边形为正方形，为面对角线上的一个动点，则下列说法正确的有（ ）

A．平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的正切值为1
D．异面直线与所成角的余弦值为
13．（23-24高二上·江西九江·期末）已知正方体的棱长为2，点分别为棱的中点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为
B．直线平面
C．异面直线与所成的角的余弦值为
D．过点作正方体的截面，所得截面的面积是
三、填空题
14．（23-24高二上·广东茂名·期末）长方体中，，，点F是底面的中心，则直线与直线所成角的余弦值为 ．
15．（23-24高二上·河北承德·期末）在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
16．（23-24高二上·江西上饶·期末）在正四棱柱中，，点是的中点，则与所成角的余弦值 ．
17．（23-24高二上·天津·期末）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是 .
四、解答题
18．（23-24高二下·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与所成角的余弦值．
19．（23-24高二上·上海·期末）在长方体中（如图），，点是棱的中点．
(1)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．试问四面体是否为鳖臑？并说明理由；
(2)求直线与直线所成角的大小．
20．（23-24高二上·安徽·期末）如图在平行六面体中，，．

(1)求证：直线平面；
(2)求直线和夹角的余弦值．
线面角的向量求法
一、单选题
1．（23-24高二下·陕西西安·期末）在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知如图所示的几何体中，底面是边长为4的正三角形，侧面是长方形，，平面平面为棱上一点，，且，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·福建龙岩·期末）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，则直线与平面所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二下·甘肃白银·期末）在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．1
6．（23-24高二上·山东滨州·期末）如图，长方体中，，点是棱的中点，设直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，则（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高二上·河南郑州·期末）人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，设是平面内的任意一点，由，可得，此即平面的点法式方程．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高二上·湖南郴州·期末）正方体中，与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知点，，，平面经过线段的中点，且与直线垂直，下列选项中叙述正确的有（ ）
A．线段的长为36
B．点在平面内
C．线段的中点的坐标为
D．直线与平面所成角的正弦值为
10．（23-24高二下·安徽滁州·期末）如图，四棱锥中，面面，且，是棱的中点，，则（ ）
A．平面
B．平面
C．和平面所成角的正弦值为
D．四面体外接球的表面积为
11．（23-24高二下·河南洛阳·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，点F满足，则（ ）
A．三棱锥的体积是定值
B．当时，平面BDF
C．存在，使得AC与平面BDF所成的角为
D．当时，平面BDF截该正方体的外接球所得到的截面的面积为
三、填空题
12．（23-24高二下·陕西安康·期末）设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 .
13．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角的大小为 ．
14．（23-24高二下·江苏南京·期末）在正方体中，F是BC的中点，点E在棱上，且，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
15．（23-24高二上·江西南昌·期末）在棱长为2的正方体中，在线段上运动，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 .
16．（23-24高二上·河北保定·期末）在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程可写为．已知直线的方向向量为，平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
四、解答题
17．（23-24高二上·云南迪庆·期末）如图形中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
18．（23-24高二下·北京海淀·期末）在五面体中，平面，平面.
(1)求证：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
19．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）如图，在三棱柱中，底面，点到平面的距离为2.

(1)证明：.
(2)若直线与之间的距离为4，求直线与平面所成角的正弦值.
20．（23-24高二下·海南海口·期末）如图1，在边长为2的正方形中，为的中点，分别将，沿，所在直线折叠，使、两点重合于点，如图2.在三棱锥中，为的中点.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
二面角的向量求法
一、单选题
1．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为60°，则t等于（ ）
A．1B．－1C．－1或1D．2
4．（23-24高二上·天津西青·期末）在正方体中，点E为的中点，则平面与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（23-24高二下·河北衡水·期末）如图，已知正方体的边长为2,、、、分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．平面
C．二面角的大小为
D．点到平面的距离为2
6．（23-24高二下·福建福州·期末）如图，在正方体中，M是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面
C．异面直线与所成的角的取值范围是
D．二面角的正弦值为
7．（23-24高二下·福建漳州·期末）如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则下列正确的有（ ）
A．
B．直线与直线所成角的余弦值为
C．平面与平面所成角的余弦值为
D．当时，动点到平面的距离的最小值为1
8．（23-24高二上·河南洛阳·期末）三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（ ）
A．B．C．D．
9．（23-24高二上·河南信阳·期末）如图，在正四棱柱中，M是的中点，，则（ ）
A．B．平面
C．二面角的余弦值为D．到平面的距离为
三、填空题
10．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知矩形中，将矩形沿着对角线对折，形成一个空间四边形，当时，二面角的余弦值为 .
11．（23-24高二上·广东汕尾·期末）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的余弦值为 .

12．（23-24高二上·安徽亳州·期末）在正方体中，设，若二面角的平面角的正弦值为，则实数的值为 ．
四、解答题
13．（23-24高二下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面，平面，.

(1)证明：平面.
(2)若，，且直线与直线所成角的正切值为，求二面角的余弦值.
14．（23-24高二下·内蒙古·期末）如图，在正四棱柱中，，，分别为的中点，为四边形的中心．
(1)证明：∥平面．
(2)求二面角的余弦值．
15．（23-24高二下·浙江温州·期末）在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
16．（22-23高三上·江苏·开学考试）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点，
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
点到直线距离的求法
一、单选题
1．（23-24高二下·河南南阳·期末）在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，，则B点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知直线过点和点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．3C．D．
4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知，，，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．2D．3
5．（23-24高二上·广东·期末）在三棱锥中，，，且，若满足，则到的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高二上·北京昌平·期末）如图，在长方体中，，，，分别是棱和上的两个动点，且，则的中点到的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高二上·广东深圳·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（23-24高二上·浙江·期末）已知空间四点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．以为邻边的平行四边形的面积为
C．点O到直线的距离为D．O，A，B，C四点共面
9．（23-24高二上·山西运城·期末）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G为线段上的动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点G，使得平面EFG
C．G为中点时，直线EG与所成角最小
D．点F到直线EG距离的最小值为
10．（23-24高二上·湖北十堰·期末）在正四棱柱中，分别是的中点，是棱上一点，则下列结论正确的有（ ）
A．若为的中点，则B．若为的中点，则到的距离为
C．若，则平面D．的周长的最小值为
三、填空题
11．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知，，三点，则到直线的距离为 .
12．（23-24高二上·河南驻马店·期末）在空间直角坐标系中，，则点B到直线的距离为 ．
13．（23-24高二上·广东江门·期末）如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，动点在线段上，则面积的最小值为 .
14．（23-24高二上·广东广州·期末）在棱长为的正方体中，点、分别是梭、的中点，是侧面上的动点，且平面，则点的轨迹长为 ，点到直线的距离的最小值为 .
15．（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，正方体的棱长为是的中点，则点到直线的距离为 .
四、解答题
16．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知三棱柱的棱长均为.
(1)证明：平面平面；
(2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离.
17．（23-24高二上·山东青岛·期末）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.

(1)求点到直线的距离；
(2)求证：面.
18．（23-24高二上·江苏·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，且点E，F分别为AB和PD中点.
(1)求异面直线AF与EC所成角的余弦值；
(2)求点F到直线EC的距离.
点到平面距离的求法
一、单选题
1．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知，是平面的一个法向量，且是平面内一点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·江苏徐州·期末）在棱长为4的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·江苏泰州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若点到平面的距离为，则点的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知正方体的棱长为2，则四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二上·山东日照·期末）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．1
6．（23-24高二上·河北石家庄·期末）在如图所示的直四棱柱中，底面是正方形，是的中点，点N是棱上的一个动点，则点到平面的距离的最小值为（ ）

A．1B．C．D．
7．（23-24高二上·安徽滁州·期末）如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
8．（23-24高二下·河北衡水·期末）如图，已知正方体的边长为2,、、、分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．平面
C．二面角的大小为
D．点到平面的距离为2
9．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，，则（ ）
A．B．
C．异面直线与夹角的余弦值为D．点到平面的距离为
10．（23-24高二下·四川凉山·期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）

A．直线与平面所成角的余弦值的取值范围为
B．点到平面的距离为
C．四面体的体积为
D．若线段的中点为，则一定平行于平面
11．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）如图，棱长均为2的正三棱柱中，分别是的中点，则（ ）
A．平面
B．
C．到平面的距离为
D．直线与所成角的余弦值为
三、填空题
12．（23-24高二下·江苏南京·期末）平面过点，其法向量为，则点到平面的距离为 .
13．（23-24高二下·安徽·期末）在棱长为2的正方体中，E，F分别为正方形和正方形的中心，则点到平面的距离为 .
14．（23-24高二上·河北沧州·期末）在棱长为3的正方体中，点到平面的距离为 ．
四、解答题
15．（23-24高二下·江西萍乡·期末）如图，在平行六面体中，，
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
16．（23-24高二下·河北唐山·期末）在三棱锥P-ABC中，，，E为AC的中点，．

(1)求证：平面平面ABC；
(2)求点C到平面PAB的距离．
17．（23-24高二下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.

(1)证明：；
(2)当为线段的中点时，求点到面的距离.
数量积中的最值范围问题
一、单选题
1．（23-24高二下·福建漳州·期末）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·辽宁大连·期末）边长为2的正三角形所在平面为平面，平面外有一点，且三棱锥的体积为，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．18
3．（23-24高二上·辽宁·期末）正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为（ ）
A．24B．25C．48D．50
二、多选题
4．（23-24高二下·湖南郴州·期末）如图，正方体的边长为为的中点，动点在正方形内（包含边界）运动，且.下列结论正确的是（ ）
A．动点的轨迹长度为；
B．异面直线与所成角的正切值为2；
C．的最大值为2；
D．三棱锥的外接球表面积为.
5．（23-24高二上·广东清远·期末）如图，在正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，的值最小
B．当时，
C．若平面上的动点满足，则点的轨迹是椭圆
D．直线与平面所成角的正弦值是
三、填空题
6．（23-24高二下·河北唐山·期末）如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为 .
7．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是 ．
8．（23-24高二上·广东茂名·期末）正四面体的棱长为6，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，的面积为 .
9．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 .
10．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知，，点在直线上运动，则的最大值为 .
空间角中的最值问题
一、单选题
1．（23-24高二下·河南开封·期末）在棱长为1的正四面体ABCD中，M是BC的中点，且，，则直线AM与CN夹角的余弦值的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论：
①存在点满足；
②存在点满足与平面所成角的大小为；
③存在点满足；
其中正确的个数是（ ）．
A．0B．1C．2D．3
3．（23-24高二上·北京顺义·期末）如图，在正方体中，E是棱上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与所成角的范围是
B．直线与平面所成角的最大值为
C．二面角的大小不确定
D．直线与平面不垂直
4．（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二上·重庆·期末）在正方体中，是中点，点在线段上（含端点），若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高二上·重庆·期末）正三棱柱的所有棱长均相等，E，F分别是棱上的两个动点，且，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题
7．（23-24高二下·福建福州·期末）如图，在正方体中，M是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面
C．异面直线与所成的角的取值范围是
D．二面角的正弦值为
8．（23-24高二下·江苏常州·期末）在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方形内部及其边界上运动，则下列说法正确的有（ ）
A．当时，点的轨迹长度为
B．若平面，则长度的最小值为2
C．当时，二面角的余弦值的最小值是
D．记直线与平面所成角为，则的取值范围是
三、填空题
9．（23-24高二上·山东潍坊·期末）在直三棱柱中，，，平面经过点A，且直线与平面所成的角为30°，过点作平面的垂线，垂足为H，则点到平面的距离为 ，直线与BH所成角的范围为 .
10．（23-24高二上·湖南长沙·期末）正三棱柱中，，是的中点，点在上，且满足，当直线与平面所成的角取最大值时，的值为 ．
11．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，，，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的余弦值的最大值为 ．
12．（23-24高二上·江苏苏州·期末）已知圆台的高为2，上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，，两点分别在圆、圆上，若向量与向量的夹角为60°，则直线与直线所成角的大小为 ．
四、解答题
13．（23-24高二下·江苏徐州·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，，.
(1)若点为棱的中点，求二面角的余弦值；
(2)若，设直线与平面，平面所成的角分别为，求的最大值.
14．（23-24高二下·福建宁德·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，为的中点，点在线段上运动.

(1)线段上是否存在点，满足∥平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由；
(2)当直线与平面所成的角最大时，求线段的长度.
空间中的存在问题
一、单选题
1．（23-24高二下·上海嘉定·期末）空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、；满足：，，且存在实数，使得成立，则向量确定时，由构成的空间几何体的侧面积是（ ） ．
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·上海·期末）在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足．点P满足，其中，则下列说法不正确的是（ ）
A．当时，的面积S的最大值为
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点P，使得
D．当时，存在点P，使得平面
3．（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论：
①存在点满足；
②存在点满足与平面所成角的大小为；
③存在点满足；
其中正确的个数是（ ）．
A．0B．1C．2D．3
二、多选题
4．（23-24高二下·河南洛阳·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，点F满足，则（ ）
A．三棱锥的体积是定值
B．当时，平面BDF
C．存在，使得AC与平面BDF所成的角为
D．当时，平面BDF截该正方体的外接球所得到的截面的面积为
5．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点Q为的中点，点P是棱上一动点（与C，不重合），过点P作，点E为垂足，再过点E作，点为垂足．则（ ）

A．平面B．三棱锥体积的最大值为
C．存在点P使得平面D．存在点P使得
6．（23-24高二下·河南漯河·期末）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，是上的动点.则（ ）

A．为的中点时，平面平面
B．为的中点时，平面
C．存在点，使得三棱锥体积是8
D．存在点，使得直线与平面所成的角为
7．（23-24高二上·陕西西安·期末）如图，在正方体 ，，是正方形 内部（含边界）的一个动点，则（ ）
A．存在唯一点，使得
B．当点在上移动时，直线与直线所成角不变
C．直线与平面所成角的最小值为
D．当时，点的轨迹为圆的一部分
8．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）如图，正方体的棱长为2，为的中点，为棱上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ）

A．存在点，使B．存在点，使
C．四面体的体积为定值D．点到直线的距离为
三、填空题
9．（23-24高二上·北京石景山·期末）如图，在正四棱柱中，为棱上的一个动点，给出下列四个结论：
①；
②三棱锥的体积为定值；
③存在点，使得平面；
④存在点，使得平面.
其中所有正确结论的序号是 .
10．（23-24高二上·北京西城·期末）如图，在正方体中，为棱的中点，为棱（含端点）上的一个动点.给出下列四个结论：
①存在符合条件的点，使得平面；
②不存在符合条件的点，使得；
③异面直线与所成角的余弦值为；
④三棱锥的体积的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题
11．（23-24高二下·浙江宁波·期末）如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面.
(1)求证：：
(2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由.
12．（23-24高二下·贵州毕节·期末）如图1，已知直角梯形AEFD中，，点B，C分别在AE，DF上，且，，，，将图1沿BC翻折，使平面平面BEFC得图2．

(1)在线段CF上是否存在一点M，使得A、E、M、D四点共面．若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由；
(2)当时，求平面AEF与平面CEF的夹角的正切值．
13．（23-24高二下·广西桂林·期末）如图，已知边长为的正方形，以边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成一个几何体．设是上的一点，，分别为线段，的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在（2）的条件下，线段上是否存在点，使平面，证明你的结论．
14．（23-24高二下·福建宁德·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，为的中点，点在线段上运动.

(1)线段上是否存在点，满足∥平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由；
(2)当直线与平面所成的角最大时，求线段的长度.
15．（23-24高二上·山东青岛·期末）如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面分别在梭上，为的中点.

(1)若为中点，证明：面；
(2)若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
空间中的动点问题
一、单选题
1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在正方体中，过作一垂直于的平面交平面于直线，动点在直线上，则直线与所成角余弦值的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
2．（23-24高二上·山西朔州·期末）如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·福建漳州·期末）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·广西·期末）如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高二上·北京顺义·期末）如图，在正方体中，E是棱上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与所成角的范围是
B．直线与平面所成角的最大值为
C．二面角的大小不确定
D．直线与平面不垂直
二、多选题
6．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点Q为的中点，点P是棱上一动点（与C，不重合），过点P作，点E为垂足，再过点E作，点为垂足．则（ ）

A．平面B．三棱锥体积的最大值为
C．存在点P使得平面D．存在点P使得
7．（23-24高二上·陕西西安·期末）如图，在正方体 ，，是正方形 内部（含边界）的一个动点，则（ ）
A．存在唯一点，使得
B．当点在上移动时，直线与直线所成角不变
C．直线与平面所成角的最小值为
D．当时，点的轨迹为圆的一部分
8．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）如图，正方体的棱长为2，为的中点，为棱上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ）

A．存在点，使B．存在点，使
C．四面体的体积为定值D．点到直线的距离为
9．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面平面
B．的最小值为
C．若直线与所成角的余弦值为，则
D．若是的中点，则到平面的距离为
10．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）如图，在长方体中，，点E为的中点，点F为侧面（含边界）上的动点，则下列说法正确的是 （ ）
A．不存在点F，使得
B．的最小值为
C．满足的点F的轨迹长度为
D．若平面，则线段长度的最小值为
11．（23-24高二上·福建福州·期末）已知棱长为2的正方体中，为的中点，动点在平面内的轨迹为曲线．则下列结论正确的是（ ）
A．当时，是圆
B．当动点到直线的距离之和等于4时，是椭圆
C．当直线与平面所成的角为时，是双曲线
D．当动点到点的距离等于点到直线的距离时，是抛物线
12．（23-24高二上·广西南宁·期末）已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A．二面角的大小为
B．
C．若在正方形内部，且，则点的轨迹长度为
D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题
13．（23-24高二上·广东茂名·期末）正四面体的棱长为6，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，的面积为 .
14．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 .
15．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且相等，为的中点，为平面内一动点，则的最小值为 .

16．（23-24高二上·广东广州·期末）在棱长为的正方体中，点、分别是梭、的中点，是侧面上的动点，且平面，则点的轨迹长为 ，点到直线的距离的最小值为 .
17．（24-25高二上·北京朝阳·期末）如图，在长方体中，为棱的中点，点是侧面上的动点，满足，给出下列四个结论：
①动点的轨迹是一段圆弧；
②动点的轨迹长度为；
③动点的轨迹与线段有且只有一个公共点；
④三棱锥的体积的最大值为.
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题
18．（23-24高二下·湖南郴州·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为线段的中点，为线段（不含端点）上的动点.
(1)证明：平面平面；
(2)是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
19．（23-24高二上·辽宁大连·期末）如图，三棱柱中，侧面为菱形，为中点，且平面，，，，为平面上一动点．
(1)若与平面成角的正切值为，求的最小值．
(2)若点在线段上，平面与所成角的正弦值为，求的值．