山西省吕梁市2025年高考数学二模试卷（含解析）

这是一份山西省吕梁市2025年高考数学二模试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={x|−2≤x≤2}，N={x∈Z|(x−1)(x−2)≤0}，则M∩N=( )
A. {1,2}B. {0,1,2}C. {−1,0,1,2}D. {−2,−1,0,1,2}
2.设复数z=i1−i，则z的共轭复数z−=( )
A. −12+12iB. 12+12iC. −12−12iD. 12−12i
3.若抛物线C：x2=16y上的点P的纵坐标为1，则P到C的准线的距离为( )
A. 5B. 8C. 54D. 98
4.已知向量p=(1, 3)，q=( 3,1)，则2p在q上的投影向量是( )
A. (2 3,2)B. (3, 3)C. (− 3,−1)D. (−3,− 3)
5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x+2)=f(−x)，且当0≤x≤1时，f(x)=x，则不等式f(x)≥−12的解集可以表示为( )
A. [4k+12,4k+52](k∈Z)B. [4k+12,4k+32](k∈Z)
C. [4k−12,4k+32](k∈Z)D. [4k−12,4k+52](k∈Z)
6.在△ABC中，A(−1,0)，C(1,0)，且|AB|= 3|BC|，则△ABC的面积的最大值是( )
A. 2 3B. 3C. 2 5D. 5
7.一只纸箱中装有4双不同鞋码的运动鞋，售货员从中随机取出4只鞋子凑成了X双相同鞋码的鞋，则X的数学期望E(X)=( )
A. 835B. 2435C. 67D. 3835
8.数列{an}的前n项和与前n项积分别为Sn，Tn，已知a1=a，a2=1+a1−a，Sn+1=Tn−1+TnTn−1−Tn+Sn(n≥2,n∈N*)，若T2023=3，则S2025=( )
A. −76B. −17713C. −20253D. −17653
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机事件A，B满足P(A∪B)=1，P(AB−)=14，P(A−B)=13，则下列结论正确的是( )
A. P(AB)=512B. P(A)0)，过点A，C分别作两坐标轴的垂线得到矩形ABCD，矩形与坐标轴的交点分别记为A1，A2，C1，C2.将图象沿x轴折叠，得到一个60°的二面角A−A1C1−C，此时|AC|2的最小值记作mx；将图象沿y轴折叠，得到一个60°的二面角A−A2C2−C，此时|AC|2的最小值记作my.则下列结论正确的是( )
A. mx=2 5+2
B. 若x0= 2，当图象沿x轴折叠时，|AC|2=172
C. my=4 5−8
D. 若x0= 2，当图象沿y轴折叠时，|AC|2=4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.轴截面是等边三角形的圆锥称为等边圆锥.若某等边圆锥的母线长为4，过圆锥高的中点作平行于底面的平面，该平面将圆锥分割成一个小圆锥和一个圆台，则该圆台的体积为______．
13.若函数f(x)=axlgax(a>0,a≠1)，∀x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0，则a的最大值为______．
14.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点分别是A(−2,0)，B(2,0)，离心率为 32，直线y=12x+m(m≠±1)与该椭圆交于点P，Q，直线PA，PB，BQ的斜率分别为k1，k2，k3，则k1k2的值为______；若k1=2k3，则m= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某市甲、乙两支足球俱乐部各有注册球员100名，下表是两支俱乐部在冬训期间训练一小时的跑动数据信息：
其中a1，a2，a3，9四个数据成等差数列，11，b1，b2成公比为正整数的等比数列．
(1)以每组数据的区间中点估计本组数据的平均值，求甲俱乐部队员跑动步数的平均数x−，并估计乙俱乐部队员跑动步数的75%分位数y(结果保留两位小数)；
(2)两队比赛半场休息期间，4名队员A，B，C，D围圈传球热身，球从A脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，记第n次传球之前球在A脚下的概率为pn，求数列{pn}的通项公式．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,π20)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为C，D.过F1作以实轴为直径的圆的切线，在第二象限的切点为A，直线AF1与一条渐近线的交点B在第一象限，且|AB|= 3|AO|(O为坐标原点)．
(1)求双曲线的离心率．
(2)双曲线经过点(2, 3)，动点P，Q在双曲线的右支上，且直线PQ经过右焦点F2，△PF1F2，△QF1F2的内心分别是I1，I2．
(i)求证：点I1，I2在定直线l上；
(ii)求|I1D|−|I2D|的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意得M=[−2,2]，N={x∈Z|(x−1)(x−2)≤0}={1,2}，
所以M∩N={1,2}．
故选：A．
结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：复数i1−i=i(1+i)(1−i)(1+i)=−12+12i，故它的共轭复数为−12−12i，
故选：C．
利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数i1−i 为−12+12i，由此求得它的共轭复数．
本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为抛物线C：x2=16y上的点P的纵坐标为1，准线为y=−4，
故P到C的准线的距离为：1−(−4)=5．
故选：A．
由抛物线的定义即可求解结论．
本题主要考查抛物线的性质应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：向量p=(1, 3)，q=( 3,1)，
则2p⋅q=4 3，
故2p在q上的投影向量是2p⋅q|q|×q|q|= 3q=(3, 3)．
故选：B．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的运算，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+2)=f(−x)，
所以f(x)关于x=1对称，
又f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，所以f(x)的周期为4，
又当0≤x≤1时，f(x)=x，
所以作出f(x)的图象如下：
数形结合可得不等式f(x)≥−12的解集为[4k−12,4k+52](k∈Z)．
故选：D．
根据题意可得是定义在R上的奇函数，关于x=1对称，周期为4，再数形结合，即可求解．
本题考查抽象函数的综合应用，属中档题．
6.【答案】B
【解析】解：设B(x,y)(y≠0)，因为|AB|= 3|BC|，所以(x+1)2+y2=3(x−1)2+3y2(y≠0)，
故点B的轨迹方程为(x−2)2+y2=3(y≠0)，
所以当点B的坐标为(2, 3)或(2,− 3)时，△ABC的面积取得最大值，最大值为 3．
故选：B．
根据|AB|= 3|BC|，求出点B的坐标满足的方程，得到点B的轨迹，当点B的纵坐标绝对值最大时，△ABC的面积有最大值．
本题主要考查直接法求轨迹方程，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X=0)=1212C21CC21CC84=835，P(X=1)=1223C41CC21CC84=2435，P(X=2)=C42C84=335，
所以E(X)=0×835+1×2435+2×335=67．
故选：C．
由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，再结合期望公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：数列{an}的前n项和与前n项积分别为Sn，Tn，
已知a1=a，a2=1+a1−a，Sn+1=Tn−1+TnTn−1−Tn+Sn(n≥2,n∈N*)，
可得Sn+1−Sn=Tn−1+TnTn−1−Tn，
故an+1=Tn−1(1+an)Tn−1(1−an)=1+an1−an，
因为a1=a,a2=1+a1−a，
所以a3=1+a21−a2=−1a，a4=1+a31−a3=a−1a+1，
a5=1+a41−a4=a，…，所以数列{an}的周期为4，
且相邻四项的乘积为1，
所以T2023=a1a2a3=1+aa−1=3，
解得a=2，
所以a1=2，a2=−3，a3=−12，a4=13，
故S4=−76，
则S2025=506S4+a1=−17713+2=−17653．
故选：D．
由an与Sn，Tn的关系，推得数列{an}的周期为4，且相邻四项的乘积为1，由T2023=3，可得a=2，进而得到所求值．
本题考查数列的递推式和数列的周期性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：因为P(A∪B)=1，P(AB−)=14，P(A−B)=13，
所以P(AB)=P(A∪B)−P(AB−)−P(A−B)=1−14−13=512，故A正确；
所以P(A)=P(AB−)+P(AB)=14+512=23，
P(B)=P(A−B)+P(AB)=13+512=34，
所以P(A)0，当x∈(−∞,−2a)∪(0,+∞)时，f′(x)>0，当x∈(−2a,0)时，f′(x)0}，由f(x1)−f(x2)x1−x2>0，得f(x)=axlgax单调递增，
又f′(x)=ax(lnalgax+1xlna)⋅ax>0，只需lnalgax+1xlna=lnx+1xlna≥0，
即1xlna≥−lnx，所以1lna≥−xlnx，
设g(x)=−xlnx，则g′(x)=−(lnx+1)，所以当x=1e时，g(x)有最大值，最大为g(1e)=1e，
故1lna≥1e，解得1