山西省吕梁市2025届高三下学期第二次模拟考试数学试卷（含答案）

这是一份山西省吕梁市2025届高三下学期第二次模拟考试数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M=x−2≤x≤2 ，N=x∈Z(x−1)(x−2)≤0 ，则M∩N=( )
A. 1,2B. 0,1,2C. −1,0,1,2D. −2,−1,0,1,2
2.若复数z=i1−i，则其共轭复数z=( )
A. −12+12iB. 12−12iC. −12−12iD. 12+12i
3.若抛物线C:x2=16y上的点P的纵坐标为1，则P到C的准线的距离为( )
A. 5B. 8C. 54D. 98
4.已知向量p=1, 3，q= 3,1，则2p在q上的投影向量是( )
A. 2 3,2B. 3, 3C. − 3,−1D. −3,− 3
5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x+2)=f(−x)，且当0≤x≤1时，f(x)=x，则不等式f(x)≥−12的解集可以表示为( )
A. 4k+12,4k+52(k∈Z)B. 4k+12,4k+32(k∈Z)
C. 4k−12,4k+32(k∈Z)D. 4k−12,4k+52(k∈Z)
6.在▵ABC中，A(−1,0)，C(1,0)，且|AB|= 3|BC|，则▵ABC的面积的最大值是( )
A. 2 3B. 3C. 2 5D. 5
7.一只纸箱中装有4双不同鞋码的运动鞋，售货员从中随机取出4只鞋子凑成了X双相同鞋码的鞋，则X的数学期望E(X)=( )
A. 835B. 2435C. 67D. 3835
8.数列an的前n项和与前n项积分别为Sn，Tn，已知a1=a，a2=1+a1−a，Sn+1=Tn−1+TnTn−1−Tn+Snn≥2,n∈N∗，若T2023=3，则S2025=( )
A. −76B. −17713C. −20253D. −17653
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机事件A，B满足P(A∪B)=1，PAB=14，PAB=13，则下列结论正确的是( )
A. P(AB)=512 B. P(A)0)，过点A，C分别作两坐标轴的垂线得到矩形ABCD，矩形与坐标轴的交点分别记为A1，A2，C1，C2.将图象沿x轴折叠，得到一个60°的二面角A−A1C1−C，此时|AC|2的最小值记作mx；将图象沿y轴折叠，得到一个60°的二面角A−A2C2−C，此时|AC|2的最小值记作my.则下列结论正确的是( )
A. mx=2 5+2
B. 若x0= 2，当图象沿x轴折叠时，|AC|2=172
C. my=4 5−8
D. 若x0= 2，当图象沿y轴折叠时，|AC|2=4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.轴截面是等边三角形的圆锥称为等边圆锥.若某等边圆锥的母线长为4，过圆锥高的中点作平行于底面的平面，该平面将圆锥分割成一个小圆锥和一个圆台，则该圆台的体积为 ．
13.若函数f(x)=axlgax(a>0,a≠1)，∀x1,x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，满足fx1−fx2x1−x2>0，则a的最大值为 ．
14.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点分别是A(−2,0)，B(2,0)，离心率为 32，直线y=12x+m(m≠±1)与该椭圆交于点P，Q，直线PA，PB，BQ的斜率分别为k1，k2，k3，则k1k2的值为 ；若k1=2k3，则m= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某市甲、乙两支足球俱乐部各有注册球员100名，下表是两支俱乐部在冬训期间训练一小时的跑动数据信息：
其中a1、a2、a3、9四个数据成等差数列，11、b1、b2成公比为正整数的等比数列．
(1)以每组数据的区间中点估计本组数据的平均值，求甲俱乐部队员跑动步数的平均数x，并估计乙俱乐部队员跑动步数的75％分位数y(结果保留两位小数)；
(2)两队比赛半场休息期间，4名队员A、B、C、D围圈传球热身，球从A脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，记第n次传球之前球在A脚下的概率为pn，求数列pn的通项公式．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,π20)的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为C、D.过F1作以实轴为直径的圆的切线，在第二象限的切点为A，直线AF1与一条渐近线的交点B在第一象限，且|AB|= 3|AO|(O为坐标原点)．
(1)求双曲线的离心率．
(2)双曲线经过点2, 3，动点P、Q在双曲线的右支上，且直线PQ经过右焦点F2，▵PF1F2、▵QF1F2的内心分别是I1、I2．
(i)求证：点I1、I2在定直线l上；
(ii)求I1D−I2D的取值范围．
参考答案
1.A
2.C
3.A
4.B
5.D
6.B
7.C
8.D
9.ABC
10.ABD
11.BCD
12.7 33π
13.ee
14.−14或−0.25 ； 13
15.解：(1)因为a1、a2、a3、9四个数据成等差数列，结合表格中的数据可得a1+a2+a3=3a2=75，解得a2=25，
故其公差为d=9−a22=−8，
所以，a1=a2−d=33，a3=a2+d=17，
因为11、b1、b2成公比为正整数的等比数列，由表格中的数据可得b1+b2=66，
由题意可得b1+b2=66b12=11b2b111∈N∗，解得b1=22b2=44,
补充表格中的数据得下表：
所以，x=12×2.5+33×3.5+25×4.5+17×5.5+9×6.5+4×7.5100=4.4，
对于乙俱乐部，数据落在区间(2,4)的频率为14+44100=0.58，
数据落在区间(2,5)的频率为14+44+22100=0.8，所以，y∈(4,5)，
由百分位数的定义可得0.58+(y−4)×0.22=0.75，解得y≈4.77．
(2)记事件En:第nn∈N∗次传球之前求在A的脚下，则PEn=pn，且p1=1，
由题意可得PEn+1En =0，PEn+1En =13，
由全概率公式可得PEn+1=PEnPEn+1En +PEnPEn+1En ，
即pn+1=0+131−pn=−13pn+13，可得pn+1−14=−13pn−14，且p1−14=34，
所以，pn−14是首项为34，公比为−13的等比数列，故pn−14=34⋅−13n−1，
因此，pn=14+34⋅−13n−1．
16.解：(1)将0, 32代入解析式得sinφ= 32，
又π20x≠0，解得x> −1且x≠0，
所以函数f(x)的定义域为(−1,0)∪(0,+∞)，
由f(x)=ln(x+1)x，则f′(x)=x−(x+1)ln(x+1)(x+1)x2，
令g(x)=x−(x+1)ln(x+1)，x∈(−1,0)∪(0,+∞)，
则g′(x)=−ln(x+1)，
当x∈(−1,0)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(0,+∞)时，g′(x)