辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集的定义，即可求解.
【详解】满足的正整数只有，所以.
故选：A
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据含存在量词的命题的否定方法写出已知命题的否定即可判断.
【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，故命题“”的否定为“，”.
故选：D.
3. 已知 则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数解析式代入计算可得；
【详解】解：因，所以，所以
故选：B
4. 已知向量.若向量与共线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据平面向量的线性坐标运算求得的坐标，然后利用向量共线的坐标运算列式求解即可.
【详解】为，所以，
又，所以，解得.
故选：A
5. 在山西的某个旅游景点内有刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃.某游客从中随机选择3种品尝，则该游客选择了油炸糕和莜面品尝的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用编号，列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解.
【详解】将刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃分别设为，，，，，
根据题意，该游客从中随机选择3种品尝的所有情况有，，，，，，，，，，共10种，
其中该游客选择了油炸糕和莜面品尝的，，，情况有3种，
故所求概率为.
故选：B
6. 如图，E，F分别为平行四边形ABCD边AD的两个三等分点，分别连接BE，CF，并延长交于点O，连接OA，OD，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，根据相似三角形可得，结合平面向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意知，，
由，得，所以，
在中，，
即，
即，整理得.
故选：C
7. 已知，，为坐标原点，点C在∠AOB内，且，设，则的值为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】∵，设，则，
又，，根据向量的坐标运算知，
所以
本题选择C选项.
点睛：应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
8. 设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分第一次甲先投篮与第一次乙先投篮，然后由独立事件的概率的乘法公式求解即可.
【详解】若第一次甲先投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为：，
若第一次乙先投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为：
故前4次中甲恰好投篮3次的概率为：.
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】BD
【解析】
【分析】根据基底的定义，判断所给向量组中的两个向量是否共线，若不共线则可作为基底，若共线则不能作为基底.
【详解】对于A选项，已知，零向量与任意向量共线，所以与共线，不能作为基底，A选项错误.
对于B选项，对于，， ，所以与不共线，可以作为基底，B选项正确.
对于C选项，对于，， ，所以与共线，不能作为基底，C选项错误.
对于D选项，对于，，计算，所以与不共线，可以作为基底，D选项正确.
故选：BD.
10. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ）
A. A与B互斥B. A与C相互独立
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式分析C、D，综合可得答案．
【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则
，
，
，
所以有，
，
对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误；
对于B，，A、C相互独立，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误．
故选：BC．
11. 有如下命题，其中为真命题的是（ ）
A. 若幂函数的图象过点，则
B. 函数（且）的图象恒过定点
C. 函数有两个零点
D. 若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数的取值范围是
【答案】BD
【解析】
【分析】根据幂函数的定义判断选项A，由指数的性质判断选项B，由零点存在性定理的应用判断选项C，由二次函数的图象和性质判断选项D．
【详解】设幂函数，代入，得到，∴，∴，则，故A错误；
由于恒过定点，因此令，即时，恒有，
即图象恒过定点，故B正确；
转化，即，
函数与在同一直角坐标系下的图象如图1所示，
两个函数只有一个交点，故函数只有一个零点，故C错误.
函数中，得，，
如图2所示，可得若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，
则实数的取值范围是，故D正确.
故选：BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．
【答案】60
【解析】
【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.
【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，
∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：.
故答案为60.
13. 已知幂函数在区间上是减函数，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和性质得，由此即可得解.
【详解】因为是幂函数，
所以，即，
解得或，
又幂函数在区间上是减函数，
所以，故，
故答案为：．
14. 如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为_____.
【答案】3
【解析】
【分析】先由题意得，进而由共线定理得，接着结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，，
所以，
因为三点共线，所以，
所以，
当且仅当即时等号成立.
所以的最小值为3.
故答案：3.
【点睛】思路点睛：根据已知条件关系和所求问题的特征，结合向量的环境优先考虑共线定理中的三点共线系数和为1，故先由题意得，从而由共线定理得，接着结合基本不等式可求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及验算步骤．
15. 已知非零向量和不共线．
（1）如果，，，求证：A，B，D三点共线；
（2）若向量与平行，求实数k的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两向量线性关系得出向量共线，再结合公共点B，即可证明.
（2）因为两个向量平行得出向量关系结合平面向量基本定理列式求参.
【小问1详解】
因为，又，
故，又与有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
【小问2详解】
因为与共线，即，
因为与是不共线的两个非零向量，
所以，故综上，k的值为．
16. 学校组织数学知识应用能力测试，测试满分为100分，从测试卷中随机抽取400份作为样本，将样本的成绩（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求a的值，并估计测试成绩的第80百分位数；
（2）现从该样本成绩在与的学生中按分层抽样抽取6人，6人中再随机取2人，求2人的测试成绩来自不同组的概率．
【答案】（1），第80百分位数为86；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出a值，再求出第80百分位数作答.
（2）求出6人中在与的人数，再利用列举法求出古典概率作答.
【小问1详解】
因为，所以，
设知识竞赛成绩的第80百分位数为，
由的频率为0.65，的频率为0.9，则位于，
则，解得，
所以知识竞赛成绩第80百分位数为86.
【小问2详解】
成绩在和内的频率分别为，，
则在内选取2人，记为，在内选取4人，记为，
从这6人中选取2人的所有选取方法：
，，，，，，，，，，，，，，，共15种，
2人的竞赛成绩来自不同组的选取方法：，，，，，，，，共8种，
所以所求概率为.
17. 已知函数是的反函数且，且函数的图象过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由反函数定义可知，结合反函数性质，将代入解析式即可得到结果；
（2）根据对数函数定义域的基本要求和单调性可构造不等式求得结果.
【小问1详解】
是的反函数，且，
又的图象过点，的图象过点，
，解得：，.
【小问2详解】
由得：，
，解得：或，
即实数的取值范围为.
18. 某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课程互不影响.已知学生小张只选修甲的概率为，只选修甲和乙的概率是，至少选修一门的概率是，用表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
（1）求学生小张选修甲的概率；
（2）记“函数为上的偶函数”为事件，求事件的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）设小张选修甲、乙、丙选修课的概率分别为、、，根据独立事件的概率乘法公式列出关于、、的方程组，解出这三个未知数，即可得出小张选修甲的概率；
（2）先判断事件表示的实际事件，再利用互斥事件的概率加法公式以及独立事件的概率乘法公式可求出事件的概率.
【详解】（1）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为、、，
则，解得，
因此，学生小张选修甲的概率为；
（2）若函数为上的偶函数，则.
当时，表示小张选修三门课或三门课都不选.
所以，
因此，事件的概率为.
【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式的应用，解题的关键就是利用方程思想求出相应事件的概率，考查运算求解能力，属于中等题.
19. 如图，在等腰梯形中，，，点为边上靠近点的六等分点，为中点．
（1）用表示；
（2）设为中点，是线段（不含端点）上的动点，交于点，若，，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量线性运算法则求解；
（2）设，将通过用表示，在根据共线，将通过用表示，然后利用平面向量基本定理列方程求出的关系，代入求范围即可.
【小问1详解】
由已知得
；
【小问2详解】
设，
则，，
，
由于共线，设，
则，
所以，所以，
因为是线段（不含端点）上的动点，
所以，所以，
所以，
当时，.