青海省西宁市大通县朔山中学2023−2024学年高一下学期第三次阶段检测 数学试题（含解析）

这是一份青海省西宁市大通县朔山中学2023−2024学年高一下学期第三次阶段检测 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ）
A．至多一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都没中靶
2．一个公司共有名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为的样本.已知某部门有名员工，那么从这一部门抽取的员工人数为（ ）
A．3B．5C．8D．10
3．已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
4．为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6灌这种饮料装一箱，每箱中都放置2灌能中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2灌，能中奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．样本数据的平均数，方差，则样本数据，，，的平均数，方差分别为（ ）
A．9，4B．9，2C．4，1D．2，1
6．如图，一组数据的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
7．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三一班：36.1，36.2，，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），
高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，，37.1（单位：℃）
若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则为（ ）
A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3
8．为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为，该班成绩的方差为，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列抽样方法不是简单随机抽样的是（ ）
A．在机器传送带上抽取30件产品作为样本
B．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
C．箱子里共有100个零件，今从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，每次任意地拿出1个零件进行质量检验，检验后不再把它放回箱子里，直到抽取10个零件为止
D．某可乐公司从仓库中的1000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查
10．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶次，每次命中的环数如下：
甲
乙
在这次射击中，下列说法正确的是（ ）
A．甲成绩的极差比乙成绩的极差大B．甲成绩的众数比乙成绩的众数大
C．甲的成绩没有乙的成绩稳定D．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大
11．下列叙述正确的是（ ）
A．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B．从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
C．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
D．在件产品中，有件一等品和件二等品，从中任取件，那么事件“至多一件一等品”的概率为
三、填空题（本大题共3小题）
12．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.

（1）直方图中x的值为 ；
（2）在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为 .
13．一家水果店的店长为了解本店水果的日销售情况，记录了过去30天苹果的日销售量（单位：），结果如下：
83，96，107，91，70，75，94，80，80，100，75，99，117，89，74，
94，84，85，101，87，93，85，107，99，55，97，86，84，85，104．
一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求（在100天中，大约有80天可以满足顾客的需求），则每天应该进 千克的苹果．
14．二战期间，盟军统计学家将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数.假设德军某月生产的坦克总数是，缴获的该月生产的辆坦克序列号从小到大为，即最大序列号为，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，因为坦克的序列号是连续编号的，所以缴获坦克的序列号，相当于从中随机抽取的个整数，这个数将区间分成个小区间，其中前个区间已知，最右边的区间未知（由于未知）.由于这个数是随机抽取的，所以可以用前个区间的平均长度来估计所有个区间的平均长度，进而得到的估计值.例如，某月盟军缴获坦克的序列号是，则统计学家利用上述方法估计德军该月生产的坦克数约为 辆.
四、解答题（本大题共5小题）
15．高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.
（1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高.
（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？
16．抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果，设A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，C=“红色骰子上的点数大于4”.
（1）求事件A，B，C的概率；
（2）求的概率.
17．如图所示，已知多面体的底面是边长为6的菱形，底面，且．
(1)证明：平面；
(2)若，求异面直线与所成角的余弦值．
18．棉花是我国纺织工业重要的原料.新疆作为我国最大的产棉区，对国家棉花产业发展、确保棉粮安全以及促进新疆农民增收，实现乡村振兴战略都具有重要意义动态，准确掌握棉花质量现状，可以促进棉花产业健康和稳定的发展.棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在新疆某地收购的一批棉花中随机抽测了100根棉花的纤维长度（单位：），得到样本的频数分布表如下：
(1)在图中作出样本的频率分布直方图；
(2)根据（1）作出的频率分布直方图求这一棉花样本的众数，中位数与平均数，并对这批棉花的众数，中位数和平均数进行估计；
(3)从抽取的100根棉花的纤维长度在及的棉花中用分层抽样的方法抽取5根，再从抽取的5根中随机抽取2根，求2根中恰有1根的纤维长度在的概率.
19．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理制度，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了某年100位居民的月均用水量（单位:吨），将数据按照[0，0.5]，（0.5，1]，…，（4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值；
(2)若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值；
(3)已知平价收费标准为4元/吨，议价收费标准为8元/吨.当时，估计该市居民的月平均水费.（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）
参考答案
1．【答案】D
【分析】利用对立事件的定义判断可得出结论.
【详解】对于A项，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，
“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A选项不满足条件；
对于B项，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B选项不满足条件；
对于C项，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C选项不满足条件；
对于D项，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D选项满足条件.
故选D.
2．【答案】B
【分析】根据分层抽样的概念即可计算.
【详解】设一部门抽取的员工人数为，
则，解得.
故选B.
3．【答案】C
【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系逐项分析可得答案.
【详解】对于A项，若，，则或与异面，故A错误；
对于B项，若，，则或与异面或与相交，故B错误；
对于C项，若，过作平面，使得，则，
因为，，则，又，则，故C正确；

对于D项，若，，则或或与相交，故D错误.
故选C.
4．【答案】D
【分析】间接法，中奖的概率两灌都不中奖的概率即可计算.
【详解】6灌饮料机抽出2灌的种类有,
两灌都不中奖的种类有，
两灌都不中奖的概率，
故中奖的概率为.
故选D.
5．【答案】A
【分析】由平均值、方差的性质求新数据的平均数和方差．
【详解】由，得样本数据，，，的平均数为，
由，得样本数据，，，的方差为.
故选A.
6．【答案】D
【分析】根据题中数据结合平均数的定义运算求解，并根据方差的意义理解判断.
【详解】由题意可得：，则，
故，
因为是波幅最大的两个点的值，则去除，这两个数据后，整体波动性减小，
所以.
故选D.
7．【答案】C
【详解】由，可得第25百分位数分别为和，则；
由，可得第90百分位数分别为和，
则，解得；
故.故选C.
8．【答案】D
【分析】借助分层抽样的方差公式计算即可得.
【详解】设该班男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为，，两个班的总的平均分为，
则
，
故选D.
9．【答案】ABD
【分析】根据简单随机抽样的概念即得.
【详解】A项不是，因为传送带上的产品数量不确定；
B项不是，因为个体的数量无限；
C项是，因为满足简单随机抽样的定义；
D项不是，因为它不是逐个抽取的．
故选ABD.
10．【答案】AC
【分析】利用极差的定义可判断A选项的正误；利用众数的定义可判断B选项的正误；利用平均数和方差可判断C选项的正误；利用中位数的定义可判断D选项的正误.
【详解】由题意可知，对于选项A，甲成绩的极差为，乙成绩的极差为，
所以甲成绩的极差比乙成绩的极差大，所以选项A正确；
对于选项B，甲成绩的众数为，乙成绩的众数为，所以选项B错误；
对于选项C，甲成绩的平均数为，
方差为，
乙成绩的平均数为，
方差为，
则甲成绩的方差大于乙成绩的方差，即甲的成绩没有乙的成绩稳定，所以选项C正确；
对于选项D，甲成绩的中位数为，乙成绩的中位数为，所以选项D错误.
故选AC.
11．【答案】ACD
【分析】由互斥和对立事件的概念可判断A，B项；根据概率的基本性质可判断C，D项.
【详解】对于A选项：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，它可以同时不发生，对立事件是必有一个发生的互斥事件，所以A正确；
对于B选项：由给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的两个球这一基本事件，即它们不互斥，所以B错误；
对于C选项：甲不输的事件是下成和棋的事件与甲获胜的事件和，它们互斥，
则甲不输的概率为，所以C正确；
对于D选项：5件产品中任取两件有10个基本事件，
其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰两件一等品”，有3个基本事件，
从而所求概率为，所以D正确．
故选ACD．
12．【答案】0.0044；70.
【解析】（1）由小矩形面积和为1，可求得的值；
（2）计算用电量落在区间内的频率，再乘以100.
【详解】（1）由，得.
（2）户数为.
故答案为：0.0044；70.
【思路导引】本题考查频率分布直方图的应用，应牢记在频率分布直方图中，各小长方形的面积的综合为1；频数等于样本容量乘频率.
13．【答案】99.5
【分析】利用百分位数的定义进行求解.
【详解】过去30天苹果的日销售量按从低到高排列：
55，70，74，75，75，80，80，83，84，84，85，85，85，86，87，89，91，93，94，94，96，97，99，99，100，101，104，107，107，117
因为，
所以第80百分位数：.
故答案为：99.5.
14．【答案】28.
【分析】依题意得，，所以，即可求解.
【详解】由于用前个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度，
而缴获坦克的编号是，即，
所以，所以，
即统计学家利用上述方法估计德军该月生产的坦克数约为28辆.
故答案为：28.
15．【答案】（1）男生49人，女生51人，平均身高165.4cm；（2）见解析.
【解析】（1）先计算抽样比例，得到男生人数和女生人数，再计算平均身高得到答案.
（2）根据（1）的计算公式计算得到答案.
【详解】（1）抽取男生人数为，抽取女生人数为.
高二年级全体学生的平均身高估计为（cm）.
（2）仍按（1）方式进行估计，即（cm）.
【方法总结】分层抽样的定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本.应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.
16．【答案】（1）；；；（2）；.
【解析】(1)求出事件A，B，C的基本事件以及个数，利用古典概型的公式计算概率即可；
(2)求出事件的基本事件以及个数，得出，再由得出.
【详解】该试验的样本空间可表示为，共有36个样本点
（1），有5个样本点，所以；
，有11个样本点，
所以.
，有12个样本点，所以.
（2），有2个样本点，所以；
所以.
【思路导引】本题主要考查了计算古典概型问题的概率.古典概率的定义与基本定义：1.定义：古典概率是指在等可能的条件下，随机试验的所有可能组成的样本空间是有限的，且每个基本事件发生的可能性相同.基本特点：样本空间的有限性；等可能性.
17．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用平行关系，根据面面平行，证明线面平行；
（2）利用平行关系，结合异面直线所成角的定义，先构成异面直线所成的角，再根据几何关系求余弦值.
【详解】（1）证明：如图，因为底面是菱形，所以．
平面平面，
平面．
平面平面，
平面．
又所以平面平面，
平面，
则平面．
（2）取的中点，连接，则，
则四边形为平行四边形，则，
又为异面直线与所成角或其补角．
连接，
为等边三角形，则．
又因为．
又因为，
即异面直线与所成角的余弦值为．
【方法总结】证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理．
(3)利用面面平行的性质定理．
18．【答案】(1)频率分布直方图见解析；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】（1）将表格中的频率都除以组距50，从而得到小矩形的高度，即可得答案；
（2）众数是出现频率最大的，中位数将小矩形面积分成相等两部分，平均数小矩形底边中点值乘以小矩形的面积后再相加，即可得答案；
（3）由分层抽样的概念，在抽取2根，抽取3根，然后根据古典概型计算概率即可.
【详解】（1）样本的频率分布直方图如图所示.
（2）由样本的频率分布直方图，得众数为（）；
前五组的频率之和为，则中位数处于第六组，设中位数为，则
，解得，即中位数为；
设平均数为，则（），
所以平均数为.
所以这批棉花的众数､中位数和平均数的估计值分别为275，252.5和222.
（3）在分组中抽取的根数为2，记为，
在分组中抽取的根数为3，记为，
所以这5根中随机抽取2根的情况有共10种，
其中恰有1根的纤维长度在的情况有6种，
所以2根中恰有1根的纤维长度在的概率为.
19．【答案】(1)；
(2)；
(3)（元）.
【分析】（1）利用频率分布直方图的性质列方程，求出值即可；
（2）首先估算所在的区间，然后再用所有的频率之和为即可求解．
（3）先求用水量和水费的函数关系，由已知求出居民每月的水费的频率分布表,再求水费的平均值即可.
【详解】（1）由已知，
解得；
（2）因为前6组的频率之和是，
前5组的频率之和为，
所以，
所以，
解得.
（3）设该市居民月均用水量为吨，相应的水费为元，
则y=，
即y=，
由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，
得居民每月的水费数据分组与频率分布表如下：
根据题意，估计该市居民的月平均水费为
（元）.纤维长度
频数
4
8
10
10
16
40
12
频率
0.04
0.08
0.10
0.10
0.16
0.40
0.12
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
分组









频率
0.04
0.08
0.15
0.20
0.26
0.15
0.06
0.04
0.02