2022-2023学年辽宁省朝阳市建平县实验中学高一下学期第三次月考（6月）数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省朝阳市建平县实验中学高一下学期第三次月考（6月）数学试题

一、单选题

1．已知复数满足，则的虚部是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由虚部定义可得结果.

【详解】由虚部定义可知：的虚部为.

故选：A.

2．已知，则的值为   

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】两边平方解得，由此可求的值

【详解】由已知，两边平方得

可得 即即

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．

3．如图，在中，为中点，在线段上，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】求得关于、的表达式，利用平面向量的减法法则可得出关于、的表达式.

【详解】为的中点，则，

，，

.

故选：B.

【点睛】本题考查平面向量的基底分解，考查了平面向量减法法则的应用，考查计算能力，属于中等题.

4．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.

【详解】因为可得：

当时，，充分性成立；

当时，，必要性不成立；

所以当，是的充分不必要条件.

故选：A.

5．已知角终边过点，则的值为（    ）

A． B． C．– D．–

【答案】A

【分析】根据三角函数的定义计算可得.

【详解】由题意得，点到原点的距离，

所以根据三角函数的定义可知，，

所以.

故选：A．

6．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的解析式可知，解即可求解.

【详解】由题意得：，故，

故，

即，.

故选：A

7．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据指数、对数函数的单调性，将a，b，c与0或1比较，分析即可得答案.

【详解】由题意得，，所以，

又，

所以.

故选：A

8．在中，角，，的对边分别为，，，已知，的面积为，且，则的值为　　

A．4+2 B．4﹣2 C．1 D．1

【答案】D

【解析】先根据三角形面积公式求得的值，利用正弦定理及题设中，可知的值，代入到余弦定理中求得．

【详解】解：由已知可得：，解得：，

又，由正弦定理可得：，

由余弦定理：

，

解得：，

．

故选：．

【点睛】本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，作为解三角形的常用定理，应用熟练记忆这两个定理及其变式，属于基础题．

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A．是第三象限角

B．若，则

C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为

D．终边经过点的角的集合是

【答案】BCD

【分析】直接利用象限角的定义，同角三角函数关系式，扇形面积公式的计算来判断各选项的结论．

【详解】，是第二象限角，故A错误；

若，则，故B正确；

圆心角为的扇形的弧长为，扇形的半径为，面积为，故C正确；

终边经过点，该终边为第一象限的角平分线，即角的集合是，故D正确；

故选：BCD

10．若则（    ）

A． B．事件A与B不互斥

C．事件A与B相互独立 D．事件A与B不一定相互独立

【答案】BC

【分析】根据互斥与独立事件的定义判断即可.

【详解】因为，所以与能同时发生，不是互斥事件，故B正确；

，所以，故A不正确；

又，故成立，

故事件A与B相互独立，故C正确，D错误

故选：BC.

11．已知函数，对于下列说法正确的有（    ）

A．要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度即可

B．在内的单调递减区间为

C．的图象关于直线对称

D．为奇函数

【答案】CD

【分析】对于A，利用平移变换即可求解；对于B，求出的单调减区间即可；对于C，代入检验即可；对于D，化简即可

【详解】对于A，将的图象向左平移个单位可得函数，故A不正确；

对于B，令，可得，，

取时，减区间为，时，减区间为，

∴在内的单调递减区间为，故B不正确；

对于C，当时，，恰好是函数的最大值，∴的图象关于直线对称，故C正确；

对于D，，

∴为奇函数，故D正确．

故选：CD

12．已知三个内角的对边分别是，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则为钝角三角形

C．若为锐角三角形，则

D．若，则为锐角三角形

【答案】ABC

【分析】对于A：结合大角对大边及正弦定理即可求解；对于B：由向量夹角公式即可判断；对于C：由锐角三角形内角的性质与诱导公式即可求解；对于D：由余弦定理变形式即可求解.

【详解】对于A：由大角对大边及正弦定理可知：

，故A正确；

对于B：因为，所以，

所以为钝角，所以为钝角三角形，故B正确；

对于C：因为为锐角三角形，所以,

所以，故C正确；

对于D：因为，由正弦定理得：

，设，

由余弦定理变形式得：，

所以为钝角，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．已知函数，且，则         .

【答案】

【解析】由题，即，根据正弦函数的奇偶性代值求解.

【详解】由题知，所以，

从而.

故答案为：

【点睛】此题考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性对代数式进行整体代入求值.

14．已知向量，，则在上的投影的数量      ．

【答案】2

【分析】根据投影数量公式计算可得.

【详解】因为向量，，

所以，

则在上的投影的数量是．

故答案为：2

15．，均为锐角，，，则    .

【答案】

【分析】由已知条件确定和的范围，由同角三角函数基本关系求出、的值，利用两角差的余弦公式计算即可求解.

【详解】因为，均为锐角，所以，，

所以，所以

因为，

所以，

因为，所以，

因为，

所以或（舍），所以，

所以，

所以，

可得

，

故答案为：.

16．已知函数，．给出下列三个结论：

①是偶函数；

②的值域是；

③在区间上是减函数．

其中，所有正确结论的序号是       ．

【答案】①③

【分析】计算出可判断①，分、两种情况求出的范围，然后结合其周期性可得其值域，即可判断②，当时，，然后可判断③.

【详解】因为，所以是偶函数，故①正确，

当时，，

当时，

又因为，所以的值域是，故②错误；

当时，，此时，

所以在区间上是减函数，故③正确，

故答案为：①③

四、解答题

17．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用三角函数的定义先求，再利用二倍角公式求解即可；

（2）利用三角函数的定义先求，再利用余弦两角和公式求解即可

【详解】（1）解：角以为始边，终边经过点

所以

所以.

（2）解：角以为始边，终边经过点

所以

所以.

18．在中，角､､C所对的边分别为､､，，.

(1)若，求的值；

(2)若的面积，求，的值.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）由同角三角函数的关系，求得，再由正弦定理求的值

（2）由已知数据结合三角形面积公式，求得的值，再由余弦定理求得的值.

【详解】（1），由，.

由正弦定理得，又，.

（2），.

由余弦定理得，

∴.

19．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，按其数学成绩（均为整数）分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图中的信息，回答下列问题：

(1)补全频率分布直方图；

(2)估计本次考试的数学平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生成绩中抽取一个容量为6的样本，再从这6个样本中任取2人成绩，求至多有1人成绩在分数段[120,130)内的概率．

【答案】(1)补全频率分布直方图见解析；

(2)121；

(3).

【分析】（1）求出分数在[120,130)内的频率，由此补全频率分布直方图．

（2）利用频率分布直方图估计平均分．

（3）求出成绩在分数段[110,120)与[120,130)的学生人数，再利用列举法求出概率作答.

【详解】（1）成绩在分数段[120,130)内的频率，则补充图形的长方形的高为0.03，如图，

（2）数学平均分.

（3）由频率分布直方图知，成绩在分数段[110,120)与[120,130)的学生人数之比为，

依题意，成绩在分数段[110,120)内抽取2人，记为m，n，在分数段[120,130)内抽取4人，记为a，b，c，d，

从6人成绩中任取2人的成绩的结果有：

，共15个，

其中至多有1人成绩在分数段[120,130)内的事件A有：，共9个，

所以至多有1人成绩在分数段[120,130)内的概率.

20．已知向量，．

(1)若向量与垂直，求k的值

(2)若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）由垂直关系列出方程，求出k的值；

（2）根据两向量夹角为锐角，得到不等式，求出k的取值范围.

【详解】（1）依题意得：，，

∵向量与垂直，

∴，解得．

（2）由（1），，

∵向量与的夹角为锐角，

∴且．

解得且.

∴k的取值范围是．

21．已知函数,其中，.

(1)求函数的单调递减区间；

(2)在中，角所对的边分别为，，，且向量与向量共线，求的面积.

【答案】(1)单调递减区间为

(2)

【分析】（1）根据题意，求出的解析式，利用三角函数的图象与性质求出的单调递减区间；

（2）由得到的值，由结合余弦定理得到①，由向量与共线，结合正弦定理可得②，联立①②可得的值，再由三角形的面积公式计算可得答案.

【详解】（1）

令

解得

函数的单调递减区间为

（2），,

即，

，，

又，，

∴由余弦定理得①

∵向量与共线，

∴，由正弦定理得②

由①②解得，

.

22．的内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

【答案】(1) ;(2).

【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.

(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.

【详解】(1)

[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】

由三角形的内角和定理得，

此时就变为．

由诱导公式得，所以．

在中，由正弦定理知，

此时就有，即，

再由二倍角的正弦公式得，解得．

[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】

由解法1得，

两边平方得，即．

又，即，所以，

进一步整理得，

解得，因此．

[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】

根据题意，由正弦定理得，

因为，故，

消去得．

，，因为故或者，

而根据题意，故不成立，所以，

又因为，代入得，所以.

(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】

因为是锐角三角形，又，所以，

则．

因为，所以，则，

从而，故面积的取值范围是．

[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】

由题设及（1）知的面积．

因为为锐角三角形，且，

所以即

又由余弦定理得，所以即，

所以，故面积的取值范围是．

[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】

如图1，在中，过点A作，垂足为，作与交于点．

由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且，

所以点C位于在线段上且不含端点，从而，

即，即，所以，

故面积的取值范围是．

【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；

方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；

方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小.

(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；

方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；

方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.