江苏省海门中学2024−2025学年高一下学期3月质量调研测试数学试题（含解析）

这是一份江苏省海门中学2024−2025学年高一下学期3月质量调研测试数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，，若，则x＝（ ）
A．B．1C．D．－1
2．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
4．设D为ABC所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知终边与单位圆的交点，且是第二象限角，则的值等于
A．B．C．3D．
6．在中，若，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
7．为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动 个单位长度B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度D．向左平行移动 个单位长度
8．我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称之为“水滴”小王是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的“水滴”：由线段和优弧围成，与圆弧分别切于点B、C，直线与水平方向垂直（如图），已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为9∶5，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．对于任意的非零平面向量，，，下列结论正确的是（ ）
A．B．若，则
C．D．
10．已知、，，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是内部（包括边界）的动点，则（ ）
A．
B．
C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为
D．的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，，若与为共线向量，则实数k＝ ．
13．已知，则 .
14．如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，，的夹角是60°，计算
(1)计算，；
(2)求和的夹角的余弦值.
16．在①，②，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.
已知，且 .
(1)求的值；
(2)若，求.
说明：若选择多个条件解答，则按第一个选择给分.
17．已知向量，，．
(1)若，求x的值；
(2)记，若对于任意，而恒成立，求实数的最小值．
18．已知是线段外一点，若.
(1)设点是的重心，证明：；
(2)设点是线段的三等分点，及的重心依次为.
①试用向量表示；
②依据①的推理，设点线段的等分点，分别是的重心.请你写出：及(用表示不必证明)；
③若，求．
19．对于常数集合和变量，定义为相对集合的“n元余弦方差”.
(1)若集合，求相对集合的二元余弦方差.
(2)当集合时，求相对集合的三元的余弦方差.
(3)在直角坐标系中，已知为相对集合的一元余弦方差，函数，且，请问在y＝φ(x)的图象上，是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
1．【答案】D
【详解】，，，解得：.
故选D.
2．【答案】B
【详解】因为,所以,
又,所以,
故选B.
3．【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选C.
4．【答案】C
【详解】因为，
所以，
故选C.
5．【答案】C
【解析】利用二倍角的正弦，余弦公式进行化简，再把求值.
【详解】因为终边与单位圆的交点，且是第二象限角，
所以，，则
故选C.
6．【答案】D
【详解】解：因为
所以
所以
所以
因为，所以，即
所以三角形为等腰三角形；
故选D
7．【答案】A
【详解】，
由诱导公式可知：
又
则，即只需把图象向右平移个单位.
故选A
8．【答案】A
【详解】设圆弧所在圆心为O，连接，可知，
设圆的半径为r，依题意，有，即，
所以
所以．
故选A.
9．【答案】AC
【详解】因为，所以选项A正确；
，显然不一定成立，所以选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
因为向量与共线，向量与共线，所以不一定成立，
因此选项D不正确，
故选AC.
10．【答案】BCD
【详解】因为、，则、、、，
对于A选项，
，故，A错；
对于B选项，因为、，，则，
所以，，B对；
对于C选项，、，，则，
且函数在上为增函数，所以，，
故，
因为，则，故，
故，C对；
对于D选项，，
因为，则，故，
故，即，D对.
故选BCD.
11．【答案】AD
【分析】对于选项A：根据正六边形的性质结合向量的线性运算求解；对于选项C：根据结合投影向量的定义分析判断；对于选项BD：建系，根据向量的坐标运算求解.
【详解】对于选项A：因为，故A正确；
对于选项C：由题意可知：，
若P为EF的中点，所以在上的投影向量为，故C错误；
对于选项BD：如图，建立平面直角坐标系，
则，
可得，所以，故B错误；
设，可知，
则，可得，
则，
可知当，即点与点重合时，的最大值为，故D正确.
故选AD.
12．【答案】
【详解】因为，，所以，，
因为与为共线向量，所以，解得：.
13．【答案】/
【详解】因为，
所以，.
14．【答案】3
【详解】因为，，
所以，
因为三点共线，所以，
所以，
当且仅当即时等号成立.
所以的最小值为3.
15．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题可得，
，所以；
（2），
设和的夹角为，
所以.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
若选①，由
得：
若选②，则，
则
若选③，则,
又得
综上：，
.
（2）
，
又由（1）知，
，
.
17．【答案】(1)
(2)的最小值为
【详解】（1）由，则，则，
，，故，
，由于，所以，
所以，则.
（2）==+，
==，
∵，∴，.
∵恒成立，∴，
从而，即.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)①；②，；③
【详解】（1）连，并延长交于，由是的重心，则为的中点．
则．
由是的重心，则，
即：，即：.
（2）①如图：点是线段的三等分点．
由（1）可得：，
，
．
②取的中点为，则
，
故．
．
．
，
故
③
又
由上面得：，
．
19．【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【详解】（1）因为集合，
由余弦方差的计算公式，可得.
（2）因为集合时，
由余弦方差的计算公式，可得
.
（3）当时，可得一元余弦方差为，
则，
可得，
又点在的图象上，故设点，
可得，
由，可得，
即，所以，
可得，
因，，可得，
而，故要成立，当且仅当时，，此时，，
即当点时，.