宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析），共14页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】根据零向量的定义，可判断A项正确；根据共线向量和相等向量的定义，可判断B，C，D项均错.
【详解】模为零的向量是零向量，所以A项正确；
时，只说明向的长度相等，无法确定方向，
所以B，C均错；
时，只说明方向相同或相反，没有长度关系，
不能确定相等，所以D错.
故选：A.
【点睛】本题考查有关向量的基本概念的辨析，属于基础题.
2. 若复数为实数，则复数的虚部为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的乘法运算及虚部概念即可求解；
【详解】，
，
则复数的虚部为2．
故选：B．
3. 已知向量，，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算直接求解即可
【详解】，，∴．
故选：B．
4. 已知，，与的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数量积的定义求出，再根据及向量数量积的运算律计算可得；
【详解】解：因为，，与的夹角为，所以，
所以
故选：B
5. 如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则（ ）

A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量基本定理选择和作为一组基底，表示出，根据列出方程组即可求解.
【详解】由已知可得
,
由图可知,所以，解得,
所以，
故选：.
6. 已知向量，，若向量满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设向量，根据、的坐标运算可得答案.
【详解】设向量，则，，
因为，，
所以，，解得，，
则.
故选：A.
7. 在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形面积为，得到，利用余弦定理得到，最后根据正弦定理求.
【详解】由，得，
因为，，所以.
由余弦定理得，解得，
所以.
故选：C.
8. 在中， ，，，点满足 ，则（ ）
A. 0B. 2C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】用，，表示和，最后代入进行数量积运算即可。
【详解】由题可得：，
，
所以
由于，，，
则，，
所以，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题以三角形为背景，把平面向量的线性运算以及数量积运算巧妙的结合在一起，用基底，，表示和是解题的关键，属于中档题.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ）
A. 复数z的虚部是B.
C. 复数z的共轭复数是D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限
【答案】CD
【解析】
【分析】根据复数的四则运算可得，再利用复数的概念、复数的模、共轭复数的概念以及复数的几何意义逐一判断即可.
【详解】，
对于A，复数z的虚部是，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，复数z的共轭复数是，故C正确；
对于D，，在复平面内，对应点的坐标为，
复数z的共轭复数对应的点位于第四象限，故D正确.
故选：CD
10. 已知向量，，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则与的夹角为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示判断A，根据向量平行和数量积的坐标表示判断B，根据向量模长的坐标表示判断C，根据向量夹角的坐标表示判断D.
【详解】选项A，若，则，解得，故A项错误；
选项B，若，则，解得，
则，故B项正确；
选项C，若，则，所以，故C项正确；
选项D，，则，，，
所以，所以与的夹角不是，故D项错误，
故选：BC
11. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A B.
C. 面积的最小值为D. 的取值范围为
【答案】BD
【解析】
【分析】由三角形内角和，根据正弦定理以及二倍角公式，可得A的正误；利用余弦定理整理等式，可得B的正误；由正弦定理可得角与边的等量关系，三角形面积与的函数解析式，利用整体思想，结合正弦函数的单调性，可得CD的正误.
【详解】由，且，则，即，
由正弦定理可得，则，由，则，
即，可得，解得，故A错误；
由，根据余弦定理，则，解得，故B正确；
由，则，，
所以的面积，由，
则
，
，
由，则，即，
易知当时，取得最大值，为，故C错误；
，
，
，
由，则，即，
可得，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则实数_________．
【答案】.
【解析】
【分析】利用复数相等则实部和虚部都相等，得到方程组求解即得.
【详解】由已知得,解得,
故答案为：.
13. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量公式进行计算.
【详解】由题意得：在上的投影向量的坐标为
故答案为：
14. 在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，，解三角形时有两解，则边b的取值范围是_______
【答案】
【解析】
【分析】利用作图法，根据三角形解的个数分析即可求解.
【详解】
如图，当时，，此时，三角形有唯一解；
当时，三角形无解；
当时，三角形有两解；
当时，三角形有唯一解；
当时，三角形有唯一解.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 已知复数.
（1）若是纯虚数，求；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）或1-2i.
【解析】
【详解】分析：（1）根据纯虚数的定义得到，解不等式组即得a的值.(2)由题得，解之得a的值，再求.
详解：（1）若是纯虚数，
则，
所以
（2）因，
所以，
所以或.
当时，，
当时，.
点睛：（1）本题主要考查复数的概念、复数的模和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数为纯虚数不要把下面的b≠0漏掉了.
16. 已知，是两个不共线的向量.
（1）若，，，证明：三点共线；
（2）若向量，共线，求实数的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由平面向量共线定理，根据已知条件构造，得到，且直线与直线有公共点，因此三点共线；
（2）由向量，共线，且向量为非零向量，所以存在实数，使得，进而变形求解出即可.
【小问1详解】
因为，
，
所以，且直线与直线有公共点，
因此三点共线.
【小问2详解】
因为，不共线，所以向量为非零向量，
因向量，共线，
所以存在实数，使得，即，
必有，由，不共线，
所以 解得 ，
因此，当向量，共线时，.
17. 平面向量，．
（1）若，求；
（2）若，求与所成夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据共线向量的坐标表示，可得答案；
（2）根据向量线性运算以及垂直向量数量积的坐标表示，求得参数，利用向量夹角的坐标公式，可得答案.
【小问1详解】
由，则，解得.
【小问2详解】
由题意可得，由，则，解得，
所以与所成夹角的余弦值.
18. 已知，，与的夹角为．
（1）求，值；
（2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围．
【答案】（1）1；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积运算及向量的运算性质即可求解；
（2）由题意得，且与不共线，即可求解.
【小问1详解】
；
.
【小问2详解】
向量与的夹角是锐角，
所以，且与不共线，
所以，
所以，即，解得，
与不共线，即，
解得，
所以实数的取值范围为.
19. 缉私船在处测出某走私船在方位角为30°（航向），距离为10海里的处，并测得走私船正沿方位角150°的方向以海里/时的速度沿直线方向航行逃往相距25海里的陆地处，缉私船立即以海里/时的速度沿直线方向前去截获.（方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）
（1）若，，求缉私船航行方位角的正弦值和截获走私船所需的时间；
（2）在走私船到达陆地之前，若缉私船有两种不同的航向均恰能成功截获走私船，求与满足的条件.
【答案】（1）小时
（2）
【解析】
【分析】（1）设缉私船在处截获走私船，在中，由余弦定理建立方程，即可求解；
（2）在由余弦定理整理可得，由于需在走私船到达陆地之前被截获，即截获需在小时之内，设，转化问题为关于的方程在上有两个不同的实根，设，转化问题为直线与抛物线在有两个不同的交点，结合二次函数的性质得到的范围，即可求解.
【小问1详解】
设缉私船在处截获走私船，所需的时间为小时，
依题意，得，
在中，由余弦定理得，，
即，解得（负值舍），
答：截获走私船所需时间为小时.
【小问2详解】
由余弦定理得，，
即，因为走私船距离陆地25海里以海里/时的速度航行，
所以要能截获需在小时之内，
令，，若缉私船有两种不同的航向均能成功截获走私船，
则关于的方程在上有两个不同的实根，
设，
则等价于直线与抛物线在有两个不同的交点，
因为抛物线开口向上，对称轴，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
故当且仅当，即时，
直线与抛物线在上有两个不同的交点，
答：当时，缉私船有两种不同的航向均恰能成功截获走私船.