宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

这是一份宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题，共2页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，已知i为虚数单位，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题： (本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.下列事件是必然事件的是( )
A.连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上B.异性电荷相互吸引
C.在标准大气压下水 在1℃时结冰 D.任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数
2.设z(1-i)=2, 则z=( )
A.1-i B.-1-i C.1+i D.-1+i
3.已知l，m是两条不同的直线，a，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若l//m, m//α, 则l//α B. 若a⊥β, α∩β=l, m⊥l, 则m⊥β
C. 若l⊥m, m⊂α, α∥β, 则l⊥β D. 若α∥β, m⊂α, 则m∥β
4.已知△ABC按照斜二测画法画出它的直观图△A'B'C'(如图所示)，其中 A'B'=B'C'=1,AC=2,则AB的长为( )
A.2 B.22
C.3 D.4
5.若x₁, x₂, ……, x₁₀的方差为2, 则 3x1+1,3x2+1,⋯,3x10+1的方差是( )
A.18 B.7 C.6 D.2
6.“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为 2,则其体积为()
A.4023 B.5
C. 173 D. 203
7.在锐角三角形中, a,b,c分别是内角A,B,C的对边, 设B =2A, 则 06的取值范围是( )
A.3322 B.( 2,2) C.23 D.(0,2)
8.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 PA⋅PB+PC的最小值是( )
A.-2 B.−32 C.−43 D.-1
二、多项选择题： (本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分、)
9.已知i为虚数单位，则( )
A.复数z=2-3i在复平面内对应的点位于第四象限
B.i+i2+i3+⋯+i2023=−1
C.|1-2i|=5
D.z=1−3i, 则z·z=4
10.已知样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的6个样本如图所示，甲绘制折线图时忘记标注样本数据, 则( )
A.样本A的极差小于样本B的极差
B.样本A的70%分位数小于样本B的30%分位数
C.样本A的平均数小于样本B的平均数
D.样本A的方差小于样本B的方差
11.如图，在棱长为1的正方体 ABCD−A1B1C1D1中，下列结论中正确的有( )
A.异面直线AC与BC₁所成的角为60°
B.直线AB₁与平面 ABC1D1所成的角为45°
C.二面角 A−B1C−B的正切值为2
D.四面体 D1−AB1C的外接球的体积为 32π三、填空题： (本题共3小题，每小题5分，共15分.)
12.已知一组数据6,7, 8, 8, 9, 10, 则该组数据的方差是 .
13.定义 a∗b=d−ba⋅b,若 a=12,b=3−2,则与 a∗b方向相同的单位向量的坐标为 .
14.如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,已知AB=4, AD=3,AA₁=2,E是线段AB上的点, 且EB =1,则二面角(C-DE-C₁的正切值为 .
四、解答题: (本题共5小题, 其中第15题13分, 第16,17题15分, 第18,19题17分,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
15.已知向量 a=21,b=x3,c=y2,且đ∥b, đ⊥c
(1)求b与c;
(2)若 m=2a−b,n=a+c,求向量元，元的夹角的大小.
16.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100 份作为样本，将样本的成绩(满分100 分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50),[50,60),…,[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的第75 百分位数；
(3)已知[50,60)的平均成绩是51, 方差是 7, [60,70)的平均成绩为63, 方差是4，求两组成绩的总平均数∑和总方差s².
17.在△ABC中, 角A, B, C的对边分别是a, b, c, 且2ccs B= acs B+ bcs A.
(1)求角B的大小；
(2)若 b=13,3a=4c,求△ABC的面积.
18.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,△PCD为等边三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2, AD=3.
(1)设G, H分别为PB, AC的中点, 求证: GH//平面PAD;
(2)求证: PA⊥平面PCD;
(3)求直线AD与平面PAC所成角的余弦值.
19.如图,在平面五边形ABCDE中, AB=5,BC=CD=1,∠BCD=∠CDE=2π3,BE=23,△ABE的面积为 6.现将五边形ABCDE沿BE向内进行翻折，得到四棱锥A-BCDE.
(1)求证: BC⊥BE
(2)求四棱锥A-BCDE的体积的最大值；
(3)当二面角A-BE-C的大小为135°时，求直线AC与平面BCDE所成的角的正切值.