宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了答卷前，考生务必将自己的姓名等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（ ）
A. 3种B. 24种C. 48种D. 504种
2. 若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为，记该同学在本次期中考试中数学成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量，则（ ）
A. B. C. D.
3. 口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（ ）
A. 0．4B. 0．5C. 0．6D. 0．7
4. 已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为（ ）
附：若随机变量，则，，
A. 0.1359B. 0.7282C. 0.8641D. 0.93205
5. 已知随机变量的分布列如下表：
若，离散型随机变量满足，则（ ）
A. B. C. D.
6. 由数字0、1、2、3、4、5可以组成能被5整除，且无重复数字的不同的五位数有（ ）
A. －个B. 个
C. 个D. 个
7. 习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ）
A. 第十行中第5个数最大
B. 第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等
C.
D. 第20行中第8个数与第9个数之比为
8. 运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ）
A 72B. 96C. 114D. 124
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知随机变量服从正态分布，即，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列说法正确的有（ ）
A 已知事件，且，，，则
B. 设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为，则
C. 若从名男生､名女生中选取人，则其中至少有名女生的概率为
D. 设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.3､0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6､0.8，则甲正点到达目的地的概率为0.58
11. 某机构组织举办经验交流活动，共邀请了八位专家，以区分，现安排专家发言顺序，则（ ）
A. 专家和专家发言中间必须间隔1个人，共有种排法
B. 专家和专家发言不相邻，共有种排法
C. 三位专家的发言必须相邻，共有720种排法
D. 专家不第一个发言，专家不最后一个发言，共有种排法
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设随机变量的分布列，则______.
13. 的展开式中的系数为______．
14. 已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或向负方向移动一个单位.若移动n次，则当n＝6时，质子位于原点的概率为___________；当n＝___________时，质子位于5对应点处的概率最大.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 计算下列各式．
（1）；
（2）；
（3）解方程：.
16. 已知的二项展开式有7项．
（1）求，并求出所有二项式系数之和；
（2）求展开式中含项的系数；
（3）求展开式中有理项．
17. 甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球．
（1）若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率；
（2）若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出球是白球的概率．
18. 随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下：
在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：
用频率估计概率.
（1）从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率；
（2）从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、D中）的教师中，随机选出3人，记使用B的有人，求的分布列及其数学期望；
（3）从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种数分别为，比较的数学期望的大小．（结论不要求证明）
19. 2023年10月7日，杭州第19届亚运会女子排球中国队以3：0战胜日本队夺得冠军，这也是中国女排第9个亚运冠军，她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏女排精神，某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手2人，副攻手2人，接应手1人，二传手1人，自由人1人．现从这7人中随机抽取3人参与传球训练
（1）求抽到甲参与传球训练的概率；
（2）记主攻手和自由人被抽到的总人数为，求的分布列及期望；
（3）若恰好抽到甲，乙，丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为，假设球一直没有掉地上，求经过n次传球后甲接到球的概率．
石嘴山三中2024-2025学年第二学期高二第一次月考数学试卷
命题人：杨小琴
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（ ）
A. 3种B. 24种C. 48种D. 504种
【答案】B
【解析】
【分析】由分类加法计数原理即可求解.
【详解】从书架上取一本书，由分类加法计数原理可知，不同的取法共有种．
故选：B
2. 若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为，记该同学在本次期中考试中数学成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两点分布的方差公式计算.
详解】由题意得服从两点分布，故，，
所以.
故选：B.
3. 口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（ ）
A. 0．4B. 0．5C. 0．6D. 0．7
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：用缩小样本空间的方法求解；方法二：用条件概率公式求解.
【详解】方法一：在第一次取得红球后，口袋中还剩5个球，2个红球，3个白球，
所以第二次取得白球的概率为；
方法二：设第一次取得红球为事件，设第二次取得白球为事件，
则第一次取得红球第二次取得白球为事件，
则，，
所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率
.
故选：C
4. 已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为（ ）
附：若随机变量，则，，
A. 0.1359B. 0.7282C. 0.8641D. 0.93205
【答案】A
【解析】
【分析】根据正态分布密度曲线的对称性，可求出阴影部分的面积，
【详解】根据题意，随机变量满足正态分布，
得，，则对称轴为，且，
根据正态分布密度曲线的性质，可得阴影部分的面积
．
故选：A
5. 已知随机变量的分布列如下表：
若，离散型随机变量满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用离散型随机变量的分布列及期望、方差公式计算一一判定选项即可.
【详解】由题意可知，解方程得，故A、B错误；
因为，所以，故C错误；
由条件可知，
所以，故D正确.
故选：D
6. 由数字0、1、2、3、4、5可以组成能被5整除，且无重复数字的不同的五位数有（ ）
A. －个B. 个
C. 个D. 个
【答案】A
【解析】
【分析】排好个位数后有种排法，去掉首位为0即可得解.
【详解】能被5整除，则个位须为5或0，有个，
但其中个位是5的含有0在首位的排法有个，故共有－个．
故选：A
7. 习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ）
A. 第十行中第5个数最大
B. 第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等
C.
D. 第20行中第8个数与第9个数之比为
【答案】D
【解析】
【分析】结合“杨辉三角”和二项式系数及组合数的性质逐一对各个选项进行分析即可.
【详解】对于A，由“杨辉三角”和二项式系数的性质可知，第行共有个数，
正中间即第个数最大，故A错误；
对于B，由“杨辉三角”和二项式系数的性质可知，第行共有个数，
中间两项的数相等，即第个和第个数相等，故B错误；
对于C，由组合数的性质可知，
，故C错误；
对于D，由“杨辉三角”可得第行第个数为，
所以第行中第个数与第个数之比为，故D正确.
故选：D.
8. 运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ）
A. 72B. 96C. 114D. 124
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求解.
【详解】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，
则不同的安排方法有种.
将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，
则不同的安排方法有种.
故不同的安排方法共有种.
故答案为：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知随机变量服从正态分布，即，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正态分布，期望，方差可判断AB，根据正态分布的对称性可判断CD.
【详解】对于A，根据正态分布，期望，可得，故A错误；
对于B，根据正态分布，方差，可得，故B正确；
对于C，对于正态分布，图象关于对称，
所以，即，故C正确；
对于D，根据图象关于对称，可得与对称，
根据正态分布图象的特点，离对称轴越远概率越小，比离对称轴远，
所以，即，故D错误；
故选：BC.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 已知事件，且，，，则
B. 设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为，则
C. 若从名男生､名女生中选取人，则其中至少有名女生的概率为
D. 设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.3､0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6､0.8，则甲正点到达目的地的概率为0.58
【答案】ABD
【解析】
【分析】由条件概率判断出选项A正确，由二项分布即可判断选项B正确，由超几何分布求解概率即可判断选项C错误，由全概率公式求解判断选项D正确．
【详解】A．由条件概率公式知：，
则，故A正确，符合题意；
B．因为，故，故B正确，符合题意；
C．至少有一名女生的概率，故C错误，不符合题意；
D．设事件表示甲正点到达目的地，事件表示甲乘动车前往目的地，事件表示甲乘汽车前往目的地，
由题意知，，，．
由全概率公式得，故D正确，符合题意．
故选：ABD．
11. 某机构组织举办经验交流活动，共邀请了八位专家，以区分，现安排专家发言顺序，则（ ）
A. 专家和专家发言中间必须间隔1个人，共有种排法
B. 专家和专家发言不相邻，共有种排法
C. 三位专家的发言必须相邻，共有720种排法
D. 专家不第一个发言，专家不最后一个发言，共有种排法
【答案】BD
【解析】
【分析】根据插空法即可判断AB；根据捆绑法即可判断C；分成排在第一、排在除第一位和最后一位之外的某一位置两类情况分析即可判断D.
【详解】A：先排剩下的六人，有种，两人之间必须间隔一个人，有种，总共有种，故A错误；
B：若不相邻，剩余6类排列方法为形成7个空，
则填入7个空的方法为，所以共有种排法，故B正确；
C：先排列三位专家则有6种排列方法，三人形成整体与剩余5人再进行全排列，
则方法有种排列方法，所以共有种方法，故C错误；
D：分成两类情况，一是排在第一，则此类情况下排法有种，
二是排在除第一位和最后一位之外的某一位置，有种方法，
则共有种排法，故D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设随机变量的分布列，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分布列的性质，求得，结合，即可求解.
【详解】因为，可得，解得，
因此.
故答案为：.
13. 的展开式中的系数为______．
【答案】
【解析】
【分析】由的通项公式，通过和求解即可；
【详解】依题意，的二项展开式的通项为．
当时，；
当时，．
所以的展开式中含的项为，
故的系数为．
故答案为：
14. 已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或向负方向移动一个单位.若移动n次，则当n＝6时，质子位于原点的概率为___________；当n＝___________时，质子位于5对应点处的概率最大.
【答案】 ①. ##0.3125 ②. 23或25
【解析】
【分析】根据独立重复试验的概率公式求n＝6时质子位于原点的概率，再求质子位于5对应点处的概率表达式并求其最值.
【详解】设第n次移动时向左移动的概率为，
事件n＝6时质子位于原点等价于事件前6次移动中有且只有3次向左移动，
所以事件n＝6时质子位于原点的概率为,
事件第次移动后质子位于5对应点处等价于事件质子在次移动中向右移了次，
所以第次移动后质子位于5对应点处的概率，
设，
则，
令可得，
化简可得，
所以，，所以
令可得，，所以，
又，
所以m=9或m=10，即或时，质子位于5对应点处的概率最大.
故答案为：；23或25.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 计算下列各式．
（1）；
（2）；
（3）解方程：.
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）由排列数的定义即可算得；
（2）由排列数的定义即可算得，注意提取公因式约分；
（3）组合数的性质可知可知或，由此解得.
【小问1详解】
由排列数的定义可得；
【小问2详解】
由排列数的定义可得；
【小问3详解】
由组合数的性质可知或，解得或，
验证发现其满足，故原方程的解为或.
16. 已知的二项展开式有7项．
（1）求，并求出所有二项式系数之和；
（2）求展开式中含项的系数；
（3）求展开式中的有理项．
【答案】（1）；64
（2）1215 （3），，，
【解析】
【分析】（1）由二项展开式有7项，可得，所有二项式系数之和为；
（2）先求出二项展开式的通项为，再令，解得，代入通项计算即可；
（3）分析得出要得到有理项，必须让为整数，从而得到，再代入通项计算即可.
【小问1详解】
因为的二项展开式有7项，所以，
所以所有二项式系数之和为；
【小问2详解】
由（1）知，所以的二项展开式的通项为
，
令，解得，
所以展开式中含项的系数为；
【小问3详解】
因为的二项展开式的通项为，
因为，且，所以能使为整数的，
所以展开式中的有理项分别为
，，
，.
17. 甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球．
（1）若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率；
（2）若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）先求出从甲箱中任取2个小球的事件数，再求出这2个小球同色的事件数即可得出；
（2）先求出从从甲箱中取出的2个小球的各种情况的概率，再利用条件概率公式求解.
【小问1详解】
从甲箱中任取2个小球的事件数为，
这2个小球同色的事件数为，
所以这2个小球同色的概率为．
【小问2详解】
设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”，
事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”，
事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”，
事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”，
则事件，，彼此互斥．
，，，
，，，
所以
，
所以取出的这个小球是白球的概率为．
18. 随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下：
在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：
用频率估计概率.
（1）从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率；
（2）从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、D中）教师中，随机选出3人，记使用B的有人，求的分布列及其数学期望；
（3）从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种数分别为，比较的数学期望的大小．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
（3）
【解析】
【分析】（1）用样本频率估计总体概率即可求解；
（2）用样本频率估计概率，求出“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型B”的概率为，则被抽取的人数，由二项分布概率公式即可求解；
（3）求出随机变量对应的概率，利用期望公式分别求出的数学期望，再比较大小即可.
【小问1详解】
记事件M为“从该地区教师中随机选取一人，至少使用两种AI大模型”，
则估计.
小问2详解】
记事件为“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型B”，
根据题中数据，.
的可能取值为，
，
，
．
.
的分布列为
.
【小问3详解】
由题意可得该地区男，女教师人数分别为：80和120，
则易求，
，故.
19. 2023年10月7日，杭州第19届亚运会女子排球中国队以3：0战胜日本队夺得冠军，这也是中国女排第9个亚运冠军，她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神，某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手2人，副攻手2人，接应手1人，二传手1人，自由人1人．现从这7人中随机抽取3人参与传球训练
（1）求抽到甲参与传球训练的概率；
（2）记主攻手和自由人被抽到的总人数为，求的分布列及期望；
（3）若恰好抽到甲，乙，丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为，假设球一直没有掉地上，求经过n次传球后甲接到球的概率．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）利用选取组合数公式，立即可得到；
（2）其的可能取值为0，1，2，3，并且满足超几何分布列，利用超几何分布的概率公式求解即可；
（3）解法一：假设经过n次传球后，排球被甲、乙、丙接到的概率分别为，，，结合题意得到，从而构造成是等比数列，再用累加法可求得通项，即求得结果；解法二：利用递推数列思想，假设经过次传球后，排球被甲接到球的概率为，从而可得递推关系，然后构造等比数列求出概率通项公式.
【小问1详解】
设“抽到甲参与传球训练”记为事件，则.
【小问2详解】
由题意知的可能取值为0，1，2，3，
，
，
所以的分布列为：
即.
【小问3详解】
解法一：设经过n次传球后，排球被甲、乙、丙接到的概率分别为，，，
易得：，，
当时，，，，
则，
由，得，，
代入，得，
则，即，
所以是首项为，公比为的等比数列，
，
则时：，，，
由累加法得：
，可得，
又令时，，满足，
所以.
解法二：经过次传球后，排球被甲接到球的概率为．
则，即
而，
所以是首项为，公比为的等比数列，
则，则
【点睛】关键点点睛：第三问构造递推关系，即先假设经过n次传球后，排球被甲、乙、丙接到的概率分别为，，，然后根据要传给某一个人，则必须由前一次球传给另两个人的事件概率，再利用全概率公式就可得到传给这个人的概率如：，，；如果是假设经过次传球后，排球被甲接到球的概率为，则有，只有找到递推关系，再利用构造成等比数列来研究通项，还可以利用累加法来研究通项.
0
1
2
0.4
使用AI大模型的种数
性别
0
1
2
3
4
男
4
27
23
16
10
女
6
48
27
24
15
AI大模型种类
A
B
C
D
人次
32
30
30
28
0
1
2
0.4
使用AI大模型的种数
性别
0
1
2
3
4
男
4
27
23
16
10
女
6
48
27
24
15
AI大模型种类
A
B
C
D
人次
32
30
30
28
0
1
2
3
0
1
2
3