宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，不定项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由复数的乘法运算及模长公式即可求解.
【详解】,
所以，
故选：D
2. 已知复数z满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数除法运算法则化简计算复数，从而得的虚部.
【详解】由题意，化简得，所以复数的虚部为.
故选：B
3. 已知向量，则（ ）
A. (4，3)B. (5，1)
C. (5，3)D. (7，8)
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算即得.
【详解】∵，
∴．
故选：B.
4. 已知平面向量，且，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算及向量共线的坐标表示求出.
【详解】向量，则，
由，得，所以.
故选：A
5. 在中，内角的对边分别为，已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用余弦定理解三角形即可.
【详解】，
所以.
故选：D.
6. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合向量的运算法则，求得，结合向量的投影向量的计算方法，即可求解.
【详解】由向量和满足，，，
可得，解得，
所以向量在向量上的投影向量.
故选：A.
7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则一定是
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出．
【详解】由余弦定理得，则，即，所以.
∵
∴是等边三角形.
故选D.
【点睛】本题考查了余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，熟练掌握余弦定理是解答本题的关键．
8. 如图在梯形中，，，设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题中，由向量的线性运算，直接求解，即可得出结果.
【详解】因为，，
所以，
又，，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于基础题型.
二、不定项选择题：本大题共3小题，共18分.
9. 已知向量，，则（ ）
A. 若与垂直，则B. 若，则的值为-5
C. 若，则D. 若，则与的夹角为60°
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，由向量垂直得数量积为0，列方程即可验算；对于B，先由向量平行列方程得参数，再由数量积验算即可；对于C，由向量线性运算、模的坐标运算公式验算即可；对于D，由向量模的夹角的余弦坐标公式验算即可.
【详解】对于A，若与垂直，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得，此时，故B正确；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则，注意到此时，
与的夹角的余弦值为，故D错误.
故选：ABC.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 已知，若与共线，则
B. 若，则
C. 若，则一定不与共线
D. 若为锐角，则实数的范围是
【答案】AD
【解析】
【分析】A由向量共线的坐标表示列方程求参数；B注意的情况；C由不能确定方向不同；D利用向量夹角的坐标表示求参数范围.
【详解】A：若与共线，则，正确；
B：当时，，但不一定成立，错误；
C：，无法确定两个向量方向，两个向量可能共线，错误；
D：由题设有，解得，正确；
故选：AD
11. 如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A. 船头方向与水流方向垂直B.
C. D. 该船到达对岸所需时间为分钟
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知，当船的航程最短时，，利用平面向量数量积可判断ABC选项的正误，利用路程除以速度可得航行时间，可判断D选项的正误.
【详解】由题意可知，，当船的航程最短时，，而船头的方向与同向，
由，可得，，A选项错误，B选项正确；
，C选项错误；
该船到达对岸所需时间为（分钟），D选项错误.
故选：B.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设是虚数单位，是实数，若是实数，则__．
【答案】1
【解析】
【分析】根据复数的标准式，结合复数的乘法，建立方程，可得答案.
【详解】因为是实数，所以，所以．
故答案为：.
13. 在中，若，，，则_________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据同角三角函数关系得，最后利用正弦定理即可解出.
【详解】因为，为三角形内角，则，
则由正弦定理得，即，解得.
故答案为：.
14. 在中，，且三点共线，若，则的最小值是______．
【答案】8
【解析】
分析】利用共线定理求出定值，再用基本不等式即可求解.
【详解】因为，，
所以，
又因为三点共线，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，此时.
故答案为：8.
四、解答题：本题共5小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知平面向量，的夹角为，且，，．
（1）当时，求；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）先得到，然后展开计算即可；
（2）由条件知，使用向量内积的坐标表示即可得到关于的方程，进而求出.
【小问1详解】
，故．
【小问2详解】
由条件知，故，
所以．
16. 为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得，两点的距离为海里.
（1）求的面积；
（2）求，之间的距离.
【答案】（1）平方海里；（2）海里
【解析】
【分析】（1）在△ABD中，由题可知∠BAD=，∠ADB=，利用正弦定理，即可求得AD，代入三角形面积公式即可求得三角形ABD的面积；（2）由题可知∠ABC=，又知所以∠BCA=，所以AB=AC=，在△DBC中，利用余弦定理即可求出CD.
【详解】（1）如图所示,在中
由正弦定理可得，，
则的面积
（平方海里）
（2），
在中，由余弦定理得，
即（海里）
答：的面积为平方海里，，间的距离为海里.
17. 已知
（1）当为何值时，与垂直
（2）若，且三点共线，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）与垂直，即与的数量积为，利用坐标计算可得值；
（2）因为三点共线，所以，利用平面向量共线的坐标公式计算可得的值．
【详解】解：（1），
因垂直，所以，
即，得.
（2）
因为三点共线，所以．
所以，即，所以.
18. 在中，角，，的三边长分别为，，，已知，．
（1）求角；
（2）求周长的取值范围．
【答案】（1）
（2）周长
【解析】
【分析】（1）由正弦定理得，可求，即可求得答案；
（2）利用余弦定理及基本不等式可得，结合两边之和大于第三边即可求解.
【小问1详解】
由正弦定理得，
在中，，，
所以，
所以.
【小问2详解】
因为，，
由余弦定理可得：
所以，
所以，
在中，，
所以，
所以周长.
19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定．
（1）分别根据下列已知条件求：
①，；②，；
（2）若向量，求证：；
（3）若A，B，C是以О为圆心的单位圆上不同的点，记，，．
（i）当时，求的最大值；
（ii）写出的最大值．（只需写出结果）
【答案】（1）详见解析；
（2）详见解析； （3）（i）；（ii） ．
【解析】
【分析】（1）由求解；
（2）由证明；
（3）（i）设， 由求解；（ii）求解
【小问1详解】
解：因为，，
且，
所以；
又，，
是 ；
【小问2详解】
因为向量，，
且向量，
则，
所以，
同理，
所以；
【小问3详解】
（i）设，因为，
所以，
所以，
，
当，即时，
取得最大值；
（ii）设不包含的，不包含的，不包含的所对的圆心角分别是.
不妨设，否则适当地将中一点改为其对径点，则不变，但情况变为.
又由于，故
.
当是正三角形时，有，此时.
所以的最大值为．