2024-2025学年宁夏石嘴山三中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年宁夏石嘴山三中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列命题正确的是( )
A. 若|a|=0，则a=0B. 若|a|=|b|，则a=b
C. 若|a|=|b|，则a//bD. 若a//b，则a=b
2.若复数z1=(2−i)(b+i)(b∈R)为实数，则复数z=(b−i)i的虚部为( )
A. −2B. 2C. 2iD. −2i
3.已知向量a=(2,1)，b=(1,−2)，则a−3b的坐标为( )
A. (−1,−5)B. (−1,7)C. (1,−5)D. (1,7)
4.已知|a|=2 10，|b|= 10，a与b的夹角为π3，则|a−2b|=( )
A. 3 10B. 2 10C. 2 30D. 10
5.正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC=λAM+μBN，则λ+μ=( )
A. 2B. 83C. 65D. 85
6.已知向量a=(1,2)，b=(−1,1)，若c满足(c+a)//b，c⊥(a+b)，则c=( )
A. (−3,0)B. (1,0)C. (0,−3)D. (0,1)
7.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，△ABC的面积为 32，b=1，∠A=60°，则b+csinB+sinC的值为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
8.在ABC中，|CA|=1，|CB|=2，∠ACB=23π，点M满足CM=CB+2CA，则MA⋅MB=( )
A. 0B. 2C. 2 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i为虚数单位，在复平面内，复数z=2i2+i，以下说法正确的是( )
A. 复数z的虚部是45iB. |z|=1
C. 复数z的共轭复数是z−=25−45iD. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限
10.已知向量a=(1,−2)，b=(−1,m)，则( )
A. 若a与b垂直，则m=−1B. 若a/​/b，则a⋅b的值为−5
C. 若m=1，则|a−b|= 13D. 若m=−2，则a与b的夹角为60°
11.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinB+C2=asinB，bcsC+ccsB= 3，则下列结论正确的是( )
A. A=π6B. a= 3
C. △ABC面积的最小值为3 34D. b+c的取值范围为(3,2 3]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若4−3a−a2i=a2+4ai，则实数a=______．
13.已知向量a=(2,2)，b=(1,0)，则a在b上的投影向量的坐标为______．
14.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a=18，∠A=45°，解三角形时有两解，则边b的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=a−1+ai(a∈R)．
(1)若z是纯虚数，求a；
(2)若|z|= 5，求z．
16.(本小题15分)
已知a,b是两个不共线的向量．
(1)若OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b，证明：A，B，C三点共线；
(2)若向量b−ta,12a−32b共线，求实数t的值．
17.(本小题15分)
已知平面向量a=(2,2)，b=(x,−1)．
(Ⅰ)若a//b，求x；
(Ⅱ)若a⊥(a−2b)，求a与b所成夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知|a|= 2,|b|=1，a与b的夹角为45°．
(1)求a⋅b，|a+2b|的值；
(2)若向量(2a−λb)与(λa−3b)的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．
19.(本小题17分)
缉私船在A处测出某走私船在方位角为30°(航向)，距离为10海里的C处，并测得走私船正沿方位角150°的方向以v0海里/时的速度沿直线方向航行逃往相距25海里的陆地D处，缉私船立即以v海里/时的速度沿直线方向前去截获.(方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角)
(1)若v=21，v0=9，求缉私船航行方位角的正弦值和截获走私船所需的时间；
(2)在走私船到达陆地D之前，若缉私船有两种不同的航向均恰能成功截获走私船，求v与v0满足的条件．
参考答案
1.A 2.B 3.B 4.B 5.D 6.A 7.C 8.A
9.CD 10.BC 11.BD
12.−4
13.(2,0)
14.(18,18 2)
15.解：(1)若z是纯虚数，
则a−1=0a≠0，
所以a=1．
(2)因为|z|= (a−1)2+a2= 5，
所以a2−a−2=0，
所以a=2或a=−1．
当a=2时，z=1+2i，z=1−2i，
当a=−1时，z=−2−i，z=−2+i．
16.(1)证明：因为a、b不共线，且OA=a+b，OB=a+2b，OC=a+3b，
∴AB=OB−OA=b，BC=OC−OB=b，
所以AB=BC，
即AB、BC共线，且有公共点B，
所以A，B，C三点共线；
(2)解：因为向量b−ta与12a−32b共线，
所以b−ta=λ(12a−32b)，λ∈R；
即−t=12λ1=−32λ，解得λ=−23，t=13，
所以实数t的值为13．
17.解：(Ⅰ)平面向量a=(2,2)，b=(x,−1)
若a//b，则2×(−1)−2x=0，
解得x=−1；
(Ⅱ)若a⊥(a−2b)，则a⋅(a−2b)=a2−2a⋅b=0，
即(22+22)−2(2x−2)=0，
解得x=3，
∴b=(3,−1)，
∴a与b所成夹角的余弦值为
csθ=a⋅b|a|×|b|=2×3+2×(−1) 22+22× 32+(−1)2= 55．
18.解：(1)由|a|= 2，|b|=1，a与b的夹角为45°，
则a⋅b= 2×1× 22=1，
所以(a+2b)2=a2+4a⋅b+4b2=2+4× 2×1×cs45°+4×1=10，
所以|a+2b|= 10；
(2)由(2a−λb)与(λa−3b)的夹角是锐角，
所以(2a−λb)⋅(λa−3b)>0，且(2a−λb)与(λa−3b)不能同向共线；
即2λa2+3λb2−(λ2+6)a⋅b>0，且2a−λb≠k(λa−3b)，k>0；
所以λ2−7λ+60；
解得1