山西省太原市2023-2024学年高一下学期期中学业诊断考试 数学试卷（含解析）

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一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是（ ）
A B. C. D.
2. 已知，且∥，则实数（ ）
A. B. 1C. D. 4
3. 下列结论不正确是（ ）
A. 三棱锥是四面体B. 长方体是平行六面体C. 正方体是直四棱柱D. 四棱柱是平行六面体
4. 在中，，则（ ）
A. B. 2C. 6D.
5. 已知正方形ABCD的边长为2，则正方形ABCD用斜二测画法画出的直观图的面积为（ ）
A. B. C. 23D.
6. 在中，点在线段BC上，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知一个圆锥的底面半径为，母线长为23，则其内切球的体积为（ ）
A. 43π27B. 43π9C. 4π3D. 4π
8. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知AB=2，点在弧AC上，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 已知非零复数，其共轭复数为，则下列结论正确是（ ）
A. B.
C. 若，则是纯虚数D. 若，则是纯虚数
10. 已知单位向量a,b,c，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 若，则
11. 已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b=2，则下列结论正确的是（ ）
A. 若是直角三角形，则
B. 若是锐角三角形，则的取值范围是
C. 若，则有一解
D. 若有两解，则的取值范围是(0,2)
12. 如图，在直三棱柱中，与A1C相交于点，点是侧棱BB1上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直三棱柱的体积是6B. 三棱锥的体积为定值
C. AE+EC1的最小值为13D. 直三棱柱的外接球表面积是
三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 复数，则__________．
14. 已知三棱台的高为3,△ABC和分别是边长为2和4的等边三角形，则该棱台的体积为____________．
15. 已知向量，是单位向量，且，则向量在上的投影向量的坐标为__________．
16. 已知满足，则的最大值为________．
四、解答题（本题共5小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知复数满足．
（1）求的共轭复数；
（2）若是关于的方程的一个根，求实数p，的值．
18. 已知四边形中，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
19. 已知单位向量的夹角是．
（1）证明：点A，B，C共线；
（2）求OA与OB夹角的余弦值．
20. 如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶3分钟后，到达处，此时测得仰角，且．
（1）求此山的高OP的值；
（2）求该车从A到行驶过程中观测点仰角正切值的最大值．
21. 如图，在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，且m⊥n．
（1）求的大小；
（2）设平分线AD交BC于点，若，求周长的最小