山西省太原市2023−2024学年高一下学期期中学业诊断考试数学试卷（含解析）

这是一份山西省太原市2023−2024学年高一下学期期中学业诊断考试数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．在复平面内，复数对应的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，且∥，则实数（ ）
A．B．1C．D．4
3．下列结论不正确的是（ ）
A．三棱锥是四面体B．长方体是平行六面体C．正方体是直四棱柱D．四棱柱是平行六面体
4．在中，，则（ ）
A．B．2C．D．
5．已知正方形ABCD的边长为2，则正方形ABCD用斜二测画法画出的直观图的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，点在线段上，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（ ）

A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知非零复数，其共轭复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．若，则是纯虚数D．若，则是纯虚数
10．已知单位向量，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
11．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若是直角三角形，则
B．若是锐角三角形，则的取值范围是
C．若，则有一解
D．若有两解，则的取值范围是
12．如图，在直三棱柱中，与相交于点，点是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．直三棱柱的体积是6B．三棱锥的体积为定值
C．的最小值为D．直三棱柱的外接球表面积是
三、填空题（本大题共4小题）
13．复数，则 ．
14．已知三棱台的高为3,△ABC和分别是边长为2和4的等边三角形，则该棱台的体积为 ．
15．已知向量，是单位向量，且，则向量在上的投影向量的坐标为 ．
16．已知满足，则的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
17．已知复数满足．
(1)求的共轭复数；
(2)若是关于的方程的一个根，求实数，的值．
18．已知四边形中，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
19．已知单位向量的夹角是．
(1)证明：点A，B，C共线；
(2)求与夹角的余弦值．
20．如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶3分钟后，到达处，此时测得仰角，且．
(1)求此山的高OP的值；
(2)求该车从A到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值．
21．如图，在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，且．
(1)求的大小；
(2)设的平分线AD交BC于点，若，求周长的最小值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标是.
故选：B.
2．【答案】C
【详解】因为，且∥，
所以，得，
故选：C
3．【答案】D
【详解】对于A，三棱锥是四面体，故A正确；
对于B，长方体是平行六面体，故B正确；
对于C，正方体是直四棱柱，故C正确；
对于D，四棱柱的底面不一定是平行四边形，
四棱柱不一定是平行六面体，故D错误．
故选：D．
4．【答案】A
【详解】由正弦定理可得：.
因为，
所以.
故选：A.
5．【答案】B
【详解】正方形ABCD的边长为2，
则原图面积S原=2×2=4，
由原图与直观图的面积关系得S直=24S原=24×4=2.
故选：.
6．【答案】D
【详解】因为，所以，
.

故选：D.
7．【答案】C
【详解】因为圆锥的底面半径为，所以圆锥的底面直径为，
如图圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆半径，
设内切球半径为，内切球球心为I，连接IP,IQ,IS.
三角形PQS是边长为的等边三角形，
由等面积法有，12×23+23+23×r=12×23×23×32，即33r=33，解得，
故所求为V=43π×13=43π.
故选：C.
8．【答案】A
【详解】以为原点，为轴，点在第一象限，建立如图所示的平面直角坐标系，

则有，，,为弧上的点且，则，
，
.
故选：A.
9．【答案】BC
【详解】对于A，取，则，故A错误；
对于B，设，则，故B正确；
对于C，设，则，故，而复数是非零复数，所以，则是纯虚数，故C正确；
对于D，设，则，故，而复数是非零复数，所以，则是实数，故D错误.
故选：BC.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，当时，不一定共线，所以不一定相等，故B错误；
对于C，若，则，即，故C正确；
对于D，，解得，故D正确.
故选：ACD.
11．【答案】BC
【详解】对于A，当为直角时，，当为直角时，，
所以A错误，
对于B，，是锐角三角形，若为最大角时，则，
所以，所以，
当为最大角时，则，所以，
综上，的取值范围是，所以B正确，
对于C，，因为，所以，
因为，所以是唯一的，所以有一解，所以C正确，
对于D，，有两解，则，所以，
由余弦定理得，
所以，所以，解得，且，
所以的取值范围是，所以D错误.
故选：BC
12．【答案】ABD
【详解】A选项，直三棱柱中，，
所以，直三棱柱的体积是，A正确；
B选项，矩形的面积为，
当是侧棱上运动时，为定值，
又点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，B正确；
C选项，将矩形与矩形展开到同一平面内，如图所示，
连接，与相交于点，
故的长即为的最小值，故最小值为，
的最小值为5，C错误；
D选项，将直三棱柱补形为长方体，
则长方体的外接球即为直三棱柱的外接球，
故外接球的半径为，
表面积为，D正确,
故选：ABD
13．【答案】
【详解】复数，则.
故答案为：.
14．【答案】
【详解】由题意得S△ABC=34×22=3,S△A1B1C1=34×42=43，
因为棱台的高为3，
所以棱台的体积为13×(3+43+3×43)×3
=53+23=73.
故答案为：
15．【答案】
【详解】设，则，①，
因为，所以，
可得，，②，
由①②解得，或，所以，或，
当，向量在上的投影向量的坐标为
，
当，向量在上的投影向量的坐标为
，
综上，所以向量在上的投影向量的坐标为.
故答案为：.
16．【答案】
【详解】因为，所以，得，
因为，所以，
设，以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，则，
设，则，
因为，所以，
所以，即，
令，则点在以为圆心，为半径的圆上，
令，则,
因为，所以，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，
由图可知当共线，且四点顺序依次为时，最大，
最大值为，
即的最大值为.
故答案为：
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）．
则，
, .
（2）由（1）得，
是关于的方程的一个根，
则，，
，解得.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，则，
，
，
．
（2）由（1）得，
∵，
或，
当时，则不是四边形，此时不符合题意，如图所示：
当时，则是四边形，此时符合题意，如图所示：
．
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意得，
，
，且向量起点相同，故点A，B，C共线；
（2）
与夹角的余弦值为
20．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，在中，因为，所以，
同理，在中，，
在中，由余弦定理得，
所以，得，
所以此山的高为．
（2）由（1）得，
设是线段AB上一动点，连结OC，PC，
则在点处观测点的仰角为，
当时，OC最短，
由得，
所以，
所以该车从到行驶过程中观测点仰角正切值的最大值为．
21．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
由正弦定理可得，
即，
，
．
（2）由（1）得，
，
，
，
，
即，
，
当且仅当，即当时，取最小值为
此时，周长取得最小值为．