2023-2024学年福建省莆田四中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省莆田四中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a=(1,−1)，b=(−1,3)，则a⋅(2a+b)=( )
A. 0B. 1C. −1D. 2
2.已知复数z=(1−i)+m(1+i)是纯虚数，则实数m=( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
3.已知平面向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a⋅b=1，则a与b的夹角是( )
A. π6B. π4C. π3D. 2π3
4.在△ABC中，若a= 2，∠A=π6，csC=−13，则c=( )
A. 33B. 23C. 8 39D. 83
5.在直角坐标系xOy中，已知a=(1,3)，b=(3,1)，若∀t∈R，|a−λb|≤|a−tb|恒成立，则λ=( )
A. 13B. 23C. 25D. 35
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A=π3，b−c= 33a，则△ABC是( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
7.如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PC⋅PD的取值范围为( )
A. (0,16)
B. [0,16]
C. (0,4)
D. [0,4]
8.图1是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥．图2是根据下左图作的简易侧视图(为便于计算，侧视图与实物有区别).在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上．已知AB=8m，BO=16m，PO=12m，PB⋅PC=0.根据物理学知识得12(PA+PB)+12(PC+PD)=2PO，则CD=( )
A. 28mB. 20mC. 31cmD. 22m
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，下列说法正确的是( )
A. AC−AE=BFB. AE+AC=32AD
C. AF⋅AB=CB⋅CDD. AD在AB上的投影向量为AB
10.判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是( )
A. a=1，b= 2，B=45°B. a= 5，b= 15，A=30°
C. a=6，b=20，A=30°D. a=5，B=60°，C=45°
11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且SA⋅MA+SB⋅MB+Sc⋅MC=0.以下命题正确的有( )
A. 若SA：SB：SC=1：1：1，则M为△ABC的重心
B. 若M为△ABC的内心，则BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0
C. 若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA：SB：SC= 3：2：1
D. 若M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则cs∠AMB=− 66
12.已知扇形AOB的半径为1，∠AOB=120°，点C在弧AB上运动，OC=xOA+12yOB，下列说法正确的有( )
A. 当C位于A点时，x+y的值最小B. 当C位于B点时，x+y的值最大
C. CA⋅CB的取值范围为[−12,0]D. OC⋅BA的取值范围[−32,32]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(1,3)，b=(m,−1)，若a⊥b，则m= ______．
14.在△ABC中，若BC=5，AC=7，AB=8，则△ABC的最大角与最小角之和是______．
15.在△ABC中，AD=13AC,AE=14AB.若P为BD，CE的交点，满足AP=xAB+yAC，则x+y的值为______．
16.在△ABC中，BC= 3AC,∠BAC=π3，点D与点B分别在直线AC的两侧，且AD=1，DC= 3，则BD的长度的最大值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数z=(2m2−3m−2)+(m2−3m+2)i，其中i为虚数单位，m∈R．
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若复数z在复平面内对应的点在直线y=x上，求m的值．
18.(本小题12分)
设a,b是不共线的两个非零向量。
(1)若OA=2a−b,OB=3a+b,OC=a−3b，求证：A,B,C三点共线；
(2)若8a+kb与ka+2b共线，求实数k的值；
19.(本小题12分)
△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AC=4，BC=2，AD=λAB(0<λ<1)．
(1)∠ACB=120°，λ=13时，求CD的长度；
(2)若CD为角C的平分线，且CD=2，求△ABC的面积．
20.(本小题12分)
已知向量m=(sinx,1),n=( 3csx,12cs2x)，函数f(x)=m⋅n．
(1)求函数f(x)的最大值及相应自变量的取值；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=12,a=2，求b+c的取值范围．
21.(本小题12分)
已知某商场门前是一块角形区域，如图所示，其中∠APB=120°，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界PA、PB的距离分别为RS=4m，RT=6m，(m为长度单位).现准备过点R修建一条长椅MN(点M，N分别落在PA、PB上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计)，以供购买冷饮的人休息．
(1)求点S到点T的距离；
(2)为优化商场的经营面积，当PM等于多少时，该三角形PMN区域面积最小？并求出面积的最小值．
22.(本小题12分)
在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c，2sinAsinBsinC= 3(sin2B+sin2C−sin2A)．
(1)求A；
(2)奥古斯丁⋅路易斯⋅柯西(AugustinLuisCauchy,1789年−1857年)，法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在(1)的条件下，若a=2，P是△ABC内一点，过P作AB，BC，AC垂线，垂足分别为D，E，F，借助于三维分式型柯西不等式：y1,y2,y3∈R+,x12y1+x22y2+x32y3≥(x1+x2+x3)2y1+y2+y3当且仅当x1y1=x2y2=x3y3时等号成立.求T=|AB||PD|+4|BC||PE|+|AC||PF|的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由已知条件可得a2=1+1=2，a⋅b=1×(−1)−1×3=−4，
因此，a⋅(2a+b)=2a2+a⋅b=2×2−4=0．
故选：A．
利用向量的数量积的运算法则，求解即可．
本题考查向量的数量积的求法，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵z=(1−i)+m(1+i)=(m+1)+(m−1)i是纯虚数，
∴m+1=0m−1≠0，解得m=−1．
故选：B．
把复数z化为a+bi(a,b∈R)的形式，再由实部为0且虚部不为0列式求得m值．
本题考查复数代数形式的基本运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】C
【解析】即：设a与b的夹角为θ，则csθ=a⋅b|a||b|=11×2=12
又因为0≤θ≤π，
所以θ=π3．
故选：C．
利用向量的夹角公式即可求解．
本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：csC=−13，C∈(0,π)，
则sinC= 1−cs2C=2 23，
a= 2，∠A=π6，
由正弦定理可知，c=asinCsinA= 2×2 2312=83．
故选：D．
根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由题意得a⋅b=1×3+3×1=6，|a|= 12+32= 10，|b|= 32+12= 10，
若∀t∈R，|a−λb|≤|a−tb|恒成立，
则∀t∈R，|a|2+λ2|b|2−2λa⋅b≤|a|2+t2|b|2−2ta⋅b恒成立，
即∀t∈R，10+10λ2−12λ≤10+10t2−12t恒成立，
∴∀t∈R,5λ2−6λ≤5t2−6t=5(t−35)2−95恒成立，
又y=5(t−35)2−95≥−95，当t=35时等号成立，
故5λ2−6λ≤−95，即(5λ−3)2≤0，
∴λ=35．
故选：D．
题意转化为∀t∈R,5λ2−6λ≤5t2−6t=5(t−35)2−95恒成立，结合二次函数的最值，可得5λ2−6λ≤−95，即可得出答案．
本题考查平面向量的线性运算，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：由b−c= 33a边化角可得sinB−sinC= 33sinA=12，
因为sinC=sin[π−(π3+B)]=sin(π3+B)= 32csB+12sinB，
所以sinB− 32csB−12sinB=12，即12sinB− 32csB=12，
所以sin(B−π3)=12，
因为A=π3，所以B∈(0,2π3)，所以B−π3∈(−π3,π3)，
所以B−π3=π6解得B=π2，所以C=π6，
所以△ABC是直角三角形．
故选：B．
利用正弦定理和三角恒等变换公式可求出B=π2即可判断求解．
本题主要考查正弦定理和三角恒等变换公式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：建立直角坐标系，如图所示：正方形ABCD的边长为4，
设：A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(4,4)，
取CD的中点E，连接PE，所以PE的取值范围为[AD2,AE]，
即[2,2 5]，
由于PC⋅PD=(PE+ED)⋅(PE+EC)=PE2−CD24，
故PC⋅PD∈[0,16]．
故选：B．
直接利用向量的数量积运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：∵PB⋅PC=0，
∴PB⊥PC，
又PO⊥BC，于是PO2=BO⋅OC，
∵BO=16m，PO=12m，
∴OC=9m，
设线段AB中点为M，线段CD中点为N，
∵12(PA+PB)+12(PC+PD)=2PO，
∴PM+PN=2PO，
∴O为线段MN中点，
∵AB=8m，
∴MO=20m，即ON=20m，
∴CD=22m．
故选：D．
易知PB⊥PC，结合PO⊥BC，可知PO2=BO⋅OC，进而求得OC，设线段AB中点为M，线段CD中点为N，结合题意可得O为线段MN中点，从而容易得到答案．
本题主要考查平面向量的综合运用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
不妨设|OC|=2，
则C(2,0)，D(1, 3)，E(−1, 3)，F(−2,0)，A(−1,− 3)，B(1,− 3)，
对于选项A，AC−AE=EC=(3,− 3)，BF=(−3, 3)，即AC−AE=−BF，即选项A错误；
对于选项B，AE+AC=(0,2 3)+(3, 3)=(3,3 3)，32AD=(3,3 3)，即AE+AC=32AD，即选项B正确；
对于选项C，AF⋅AB=(−1, 3)⋅(2,0)=−2，CB⋅CD=(−1,− 3)⋅(−1, 3)=1−3=−2，即AF⋅AB=CB⋅CD，即选项C正确；
对于选项D，AD在AB上的投影向量为AD⋅AB|AB|AB|AB|=2×2+2 3×04AB=AB，即选项D正确．
故选：BCD．
先建立平面直角坐标系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于A：由正弦定理得sinA=asinBb= 22 2=12，∵b>a，∴B>A，即0°对于B：由正弦定理得sinB=bsinAa= 15×12 5= 32，∵b>a，∴B>A，即30°对于C：由正弦定理得sinB=bsinAa=20×126=53>1，此时B无解，故C错误；
对于D：三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，D正确．
故选：AD．
利用正弦定理解三角形，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，取BC的中点D，连接MD，AM，
由SA：SB：SC=1：1：1，则MA+MB+MC=0，
所以2MD=MB+MC=−MA，
所以A，M，D三点共线，且AM=23AD，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得CM=23CE，BM=23BF，
所以M为△ABC的重心，故A正确；
对于B，由M为△ABC的内心，则可设内切圆半径为r，
则有SA=12BC⋅r，SB=12AC⋅r，SC=12AB⋅r，
所以12BC⋅r⋅MA+12AC⋅r⋅MB+12AB⋅r⋅MC=0，
即BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0，故B正确；
对于C，由M为△ABC的外心，则可设△ABC的外接圆半径为R，
因为∠BAC=45°，∠ABC=60°，
则有∠BMC=2∠BAC=90°，∠AMC=2∠ABC=120°，∠AMB=2∠ACB=150°，
所以SA=12R2⋅sin∠BMC=12R2⋅sin90°=12R2，SB=12R2⋅sin∠AMC=12R2⋅sin120°= 34R2，SC=12R2⋅sin∠AMB=12R2⋅sin150°=14R2，
所以SA：SB：SC=2： 3：1，故C错误；
对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，
由M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则SA：SB：SC=3：4：5，
又S△ABC=SA+SB+SC，则S△ABCSA=4，S△ABCSB=3，
设MD=x，MF=y，则AM=3x，BM=2y，
所以cs∠BMD=x2y=cs∠AMF=y3x，即3x2=2y2，
所以cs∠BMD= 66，所以cs∠AMB=cs(π−∠BMD)=− 66，故D正确；
故选：ABD．
对A，取BC的中点D，连接MD，AM，结合奔驰定理可得到2MD=−MA，进而即可判断A；对B，设内切圆半径为r，从而可用r表示出SA，SB，SC，再结合奔驰定理即可判断B；对C，设△ABC的外接圆半径为R，根据圆的性质结合题意可得∠BMC=90°，∠AMC=120°，∠AMB=150°，从而可用R表示出SA，SB，SC，进而即可判断C；对D，延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E，根据题意结合奔驰定理可得到S△ABCSA=4，S△ABCSB=3，从而可设MD=x，MF=y，则AM=3x，BM=2y，代入即可求解cs∠AMB，进而即可判断D．
本题主要考查了平面向量的数量积运算，考查了三角形的重心、内心、外心和垂心的性质，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：以O为原点，以OA所在直线为x轴，过O作OA的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
设∠AOC=θ，则C(csθ,sinθ)，其中0≤θ≤2π3，A(1,0)，B(−12, 32)，
∵OC=xOA+12yOB，
∴csθ=x−12ysinθ= 32y，即y=2 33sinθx=csθ+ 33sinθ，
∴x+y=csθ+ 3sinθ=2sin(θ+π6)，
∴当θ=π3时，x+y取得最大值2，此时点C为A或B点，故A正确，B错误；
而CA=(1−csθ,−sinθ)，CB=(−12−csθ, 32−sinθ)，
∴CA⋅CB=(−csθ+1)(−12−csθ)+( 32−sinθ)(−sinθ)
=12−12csθ− 32sinθ=12−sin(θ+π6)，
∵0≤θ≤2π3，∴π6≤θ+π6≤5π6，∴12≤sin(θ+π6)≤1，
∴−12≤12−sin(θ+π6)≤0，
∴CA⋅CB的取值范围为[−12,0]，故C正确；
∵OC⋅(OA−OB)=(csθ,sinθ)⋅(32,− 32)
=32csθ− 32sinθ= 3cs(θ+π6)，
∵0≤θ≤2π3，∴π6≤θ+π6≤5π6，∴− 32≤cs(θ+π6)≤ 32，
∴ 3cs(θ+π6)∈[−32,32]，
∴OC⋅(OA−OB)∈[−32,32]，故D正确．
故选：ACD．
建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，转化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解．
本题考查平面向量运算法则、向量数量积公式、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】3
【解析】解：向量a=(1,3)，b=(m,−1)，若a⊥b，
则1⋅m−3×1=0
解得m=3．
故答案为：3．
直接利用向量的数量积运算法则求解即可．
本题考查斜率的数量积的运算，向量创造条件的应用，是基础题．
14.【答案】120°
【解析】解：根据三角形中大角对大边，小角对小边的原则，
所以由余弦定理可知csθ=52+82−722×5×8=12，
所以7所对的角为60°．
所以三角形的最大角与最小角之和为：180°−60°=120°．
故答案为：120°．
直接利用余弦定理求出7所对的角的余弦值，求出角的大小，利用三角形的内角和，求解最大角与最小角之和．
本题考查余弦定理的应用，三角形的边角对应关系的应用，考查计算能力．
15.【答案】511
【解析】解：依题意，得E，P，C三点共线，
所以AP=λAE+(1−λ)AC=14λAB+(1−λ)AC，
同理：由B，P，D三点共线，可得AP=μAB+(1−μ)AD=μAB+(1−μ)3AC，
所以1−λ=1−μ3λ4=μ，解得μ=211，
所以AP=211AB+311AC，
又AP=xAB+yAC，所以x=211，y=311，
故x+y=511．
故答案为：511．
利用平面向量三点共线性质可得AP=14λAB+(1−λ)AC，AP=μAB+(1−μ)3AC，从而求得μ=211，进而得到AP=211AB+311AC，由此得解．
本题考查平面向量的线性运算，属中档题．
16.【答案】3 3
【解析】解：在三角形ABC中，设AC=x，则BC= 3x，且 3−1由正弦定理得ACsinB=BCsinπ3，解得sinB=12，
显然B为锐角，故B=π6．
∴∠ACB=π2．
设∠ACD=α，∴∠BCD=π2+α．
∴在△BCD中，BD2=( 3x)2+ 32−2× 3× 3xcs(π2+α)
=3(x2+1)+6xsinα……①．
又∵在△ACD中，csα=x2+3−12 3x=x2+22 3x．
∴sinα= −x4+8x2−42 3x.代入①式得：
BD2=3(x2+1)+ 3 −x4+8x2−4．
令t=x2+1，则上式可化为y=3t+ 3× −t2+10t−13，(5−2 3∴y′=3+ 3(−2t+10)2 −t2+10t−13，令y′=0得 3=t−5 −t2+10t−13，可见t>5．
即t2−10t+16=0，∴t=8或t=2(舍)
将t=8代入②式得BD2=27，故BD=3 3.(因为开区间内唯一的极值点即为该函数的最值点)
故答案为：3 3．
根据BC= 3AC,∠BAC=π3可分析出△ABC是直角三角形，画出图形，可设∠ACD=α，借助于余弦定理在三角形BCD中表示出BD2，然后再利用三角形ACD借助于余弦定理找到x与α角的关系，代入BD2表达式，利用导数研究函数最值的方法求解．
本题考查了利用正余弦定理解三角形的问题，同时也考查了导数在实际优化问题中的应用．还考查了学生的逻辑推理能力和数学运算能力．难度较大，
17.【答案】解：(1)若z=(2m2−3m−2)+(m2−3m+2)i为实数，
则有m2−3m+2=0，得m=1或m=2．
(2)若复数z在复平面内对应的点在直线y=x上，
则2m2−3m−2=m2−3m+2，得m=±2．
【解析】(1)根据复数的概念列出方程，解方程即可求解；
(2)根据复数的几何意义列出方程，解之即可求解．
本题主要考查实数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
18.【答案】(1)证明：∵OA=2a−b，OB=3a+b，OC=a−3b，
∴AB=OB−OA=(3a+b)−(2a−b)=a+2b，
BC=OC−OB=(a−3b)−(3a+b)=−2(a+2b)=−2AB，
∴A、B、C三点共线；
(2)解：∵8a+kb与ka+2b共线，∴存在实数λ，使得
(8a+kb)=λ(ka+2b)⇒(8−λk)a+(k−2λ) b=0，
∵a与b不共线，
∴8−λk=0k−2λ=0，
⇒8=2λ2⇒λ=±2，
∴k=2λ=±4．
【解析】本题考查了向量的运算和共线定理、向量基本定理，属于中档题．
(1)利用向量的运算和共线定理即可得出；
(2)利用向量共线定理和向量基本定理即可得出．
19.【答案】解：(1)当λ=13时，AD=13AB，
则CD=CA+AD=CA+13(CB−CA)=13CB+23CA，
∴CD2=19CB2+49CA2+49CA⋅CB=19×4+49×16+49×4×2×(−12)=529，
∴|CD|=2 133；
(2)∴S△ABC=S△ACD+S△BCD，即12×4×2×sinC=12×4×2×sinC2+12×2×2×sinC2，
∴csC2=34，
又∵0∴sinC2= 74，则sinC=3 78，
∴S△ABC=3 72．
【解析】(1)根据题意，可得CD=13CB+23CA，然后根据向量的模长计算公式，即可得到结果；
(2)根据题意，可得S△ABC=S△ACD+S△BCD，然后结合三角形的面积公式即可得到csC2，从而得到△ABC的面积．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题知，f(x)=m⋅n= 3sinxcsx+12cs2x= 32sin2x+12cs2x=sin(2x+π6)，
所以当2x+π6=π2+2kπ,k∈Z，
即x=π6+kπ,k∈Z时，f(x)最大，且f(x)最大值为1；
(2)由(1)知，f(x)=sin(2x+π6)，
则f(A)=sin(2A+π6)=12，
解得A=kπ，k∈Z或π3+kπ,k∈Z，
所以△ABC中，A=π3，又a=2，
则csA=b2+c2−a22bc=12，
整理得bc=(b+c)2−43，
则bc=(b+c)2−43≤(b+c2)2，
当且仅当b=c时，等号成立，
整理可得(b+c)2≤16，
又在△ABC中，所以2即b+c的取值范围为(2,4]．
【解析】(1)利用向量坐标运算，二倍角公式和辅助角公式表示出f(x)，即可求出其最大值以及相应自变量的取值；
(2)结合(1)中的f(x)，求出A=π3，再利用余弦定理和基本不等式变形即可求出结果．
本题主要考查了向量的数量积运算，考查了余弦定理的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)连接ST，在△RST中，∵RT⊥PB，RS⊥PA，∠APB=120°，
∴∠SRT=60°，由余弦定理得ST2=RS2+RT2−2RS⋅RTcs∠SRT=16+36−2×4×6×12=28，
即ST=2 7，即点S到点T的距离为2 7m．
(2)由S△PMN=12PM⋅PN⋅sin120°= 34PM⋅PN，
S△PMN=S△PRM+S△PRN=12PM×4+12PN×6=2PM+3PN，
∴ 34PM⋅PN=2PM+3PN≥2 6PM⋅PN，
平方得316(PM⋅PN)2≥4×6PM⋅PN，
即PM⋅PN≥16×8=128，当且仅当2PM=3PNPM⋅PN=128，即PM=8 3时取等号，
∴S△PMN= 34PM⋅PN≥32 3，
故当PM=8 3m时，三角形PMN面积最小，最小值为32 3m2．
【解析】(1)在△RST中，利用余弦定理进行计算即可．
(2)根据三角形的面积公式以及基本不等式进行转化求解即可．
本题主要考查函数的应用问题，利用余弦定理，三角形的面积公式以及基本不等式进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
22.【答案】解：(1)由正弦定理可得2bcsinA= 3(b2+c2−a2)⇒b2+c2−a22bc=1 3sinA=csA，
tanA= 3，∵A∈(0,π)，A=π3；
(2)因为T=|AB||PD|+4|BC||PE|+|AC||PF|
，
当且仅当ccPD=2aaPE=bbPF，即1PD=2PE=1PF时等号成立，
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，可知b2+c2−4=bc，
所以(b+c)2−2bc−4=bc，所以3bc=(b+c)2−4⇒bc=(b+c)2−43，
所以T≥2 3⋅(b+c+4)2(b+c)2−4，令t=b+c+4，则b+c=t−4，
T≥2 3·t2t−42−4=2 3·112t2−8t+1，
又bc=(b+c)2−43≤(b+c2)2=(b+c)24⇒b+c≤4，当且仅当b=c时取等号，
∵b+c>a，∴2令y=112t2−8t+1=112(1t−13)2−13，
当1t=18时，y取得最小值，此时T取得最小值32 33，
此时b=c=2且1PD=2PE=1PF．
【解析】本题考查正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属较难题．
(1)由正弦定理可得2bcsinA= 3(b2+c2−a2)⇒b2+c2−a22bc=1 3sinA=csA，可求A；
(2)利用三维分式型柯西不等式：，结合余弦定理及基本不等式与函数的单调性可求T的最小值．