福建省福州市某校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版）

这是一份福建省福州市某校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，，若，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】若，则，解得.
故选：B.
2. 向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，，
所以，即.
故选：.
3. 在中，角，，所对的边为，，，，，，那么的大小是（ ）
A. B. 4C. D. 3
【答案】D
【解析】因为，，，
所以有，或舍去.
故选：D.
4. 在中，“”是“为等腰三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】为等腰三角形，即充分性成立，
为等腰三角形或或，
不一定得到，即必要性不成立，
“”是“为等腰三角形”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 已知向量，，且．则在方向上的投影向量的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，则，
所以，则，
所以在方向上的投影向量为
.
故选：A.
6. 在△ABC中，若，，△ABC的面积，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知，可得，
，
，
.
故选：D.
7. 在中，为上的中线，为的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】由题意
，
设，，
则
，
所以，，得，
所以（当且仅当时等号成立）.
故选：D.
8. 圆为锐角的外接圆，，点在圆上，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，
又，而，若外接圆半径为r，
则，故，且，即，
由，
对于且在圆上，当为直径时，当重合时，
所以，
综上，，
锐角三角形中，则，即恒成立，
所以，则恒成立，
综上，.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设向量，则下列叙述正确的是（ ）
A. 若，则与的夹角为钝角
B. 的最小值为2
C. 与垂直的单位向量只能为
D. 若，则
【答案】AB
【解析】对，当时，，
因为，所以与的夹角是钝角，故正确；
对，，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故正确；
对，设与垂直的单位向量为，
则，解得或，
与垂直的单位向量为或，故错误；
对，若，可得：，解得，故错误.
故选：AB.
10. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，则
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则是钝角三角形
【答案】ABD
【解析】对于A，由余弦定理得，
得，得，故A正确；
对于B，由及正弦定理，得，解得，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，所以A为锐角，但无法确定B和C是否为锐角，故C错误；
对于D，因为的三个角满足，
所以由正弦定理化简得，
设，，，c为最大边，
由余弦定理得，
所以C为钝角，所以是钝角三角形，故D正确.
故选：ABD.
11. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A.
B. 若，则只有一解
C. 若为锐角三角形，则取值范围是
D. 若为边上的中点，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，因，所以，则，
因为，所以，故A正确；
对于B，因为，则，，故只有一解，故B正确；
对于C，若为锐角三角形，则，，
则，则，即，
由正弦定理可知：，故C错误；
对于D，若D为边上的中点，则，
所以，
由余弦定理知，得，
又，所以，
当且仅当时取得等号，
所以，
即，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，不共线，如果，，，则共线的三个点是________.
【答案】，，
【解析】因为，，
所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线.
13. 已知向量满足，则________．
【答案】
【解析】由，得，有，
则.
14. 如图，某山的高度BC＝300m，一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为__________m．
【答案】200
【解析】根据题意，在RtABC中，∠BAC＝60°，BC＝300m，
所以m，
在ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，
所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°，
由正弦定理，得，即m，
RtAPQ中，PQ＝AQsin45°＝m．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 平面内给定三个向量，，．
（1）求满足的实数m，n．
（2）若满足，且，求的坐标．
解：（1）由题意可得，解得.
（2）设，由题意可得，
因为，则，①
又，所以，②
由①②解得或，
所以的坐标为或.
16. 在中，有.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积.
解：（1）由题意可得，，故.
（2）由三角形的面积公式可得.
因此，的面积为.
17. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，．
（1）求的值；
（2）用，表示和；
（3）证明：．
解：（1）
.
（2），
又为中点，
，
.
（3），
又，
，
，
所以.
18. 已知在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，.
（1）求角；
（2）若，D为中点，，求b；
（3）若，求的取值范围.
解：（1）因为，
根据正弦定理，得，
所以，
所以，
即，
因为，所以，
又，所以.
（2）因为D为中点，所以，
所以，
所以，
所以，解得或（舍去），故.
（3）由正弦定理：，
所以，，
因为，所以，所以，
所以
，
因为锐角三角形，所以，
所以，，
所以，所以，
所以的取值范围为.
19. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且．
（1）求的值；
（2）若为线段上任意一点，求的取值范围．
解：（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，
则、、、，
因为，，，
所以，所以，所以点，
设，则，，
因为，所以，解得，
所以，，则．
（2）由（1）知，，设，其中，
则，
所以，
因为，故当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
故的取值范围为．