甘肃省永昌县第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份甘肃省永昌县第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了 已知向量，若，则， 在中，，则等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
2. 某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试，将不合格、合格、良、优的结果分别用0，1，2，3标记，若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后的数据，下列结论正确的是（ ）
A. 75%分位数为1B. 平均数为1.2
C. 方差为1D. 极差为4
【答案】C
【解析】
【分析】写出测试结果标记后得到数据，再利用极差，平均数，方差，百分位数的定义以及计算公式即可求解.
【详解】将8次测试结果标记后得到数据0，0，0，1，1，1，2，3，
对于A：因为，所以数据的75%分位数为：，故A错误；
对于B：平均数为，故B错误；
对于C：方差为，故C正确；
对于D：极差为，故D错误．
故选：C
3. 平面向量与的夹角为，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用向量数量积公式计算出，再利用完全平方公式及向量模的公式即可得解.
【详解】因为，则，
又向量与的夹角为，，
所以，
所以.
故选：B.
4. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知利用余弦定理可求的值，根据正弦定理可求的值．
【详解】∵，
∴由余弦定理，
则得，
∴解得：，或（舍去），
∴由正弦定理可得：．
故选：B.
5. 在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由求出，即可得解.
【详解】因为，由正弦定理可得.
因为，所以，所以，又，
所以或，
又因为，所以，故为等边三角形.
故选：C
6. 在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得.
【详解】依题意，，而，
所以
故选：D
7. 某学校有男生850人，女生650人，为调查学生在食堂的平均花费，将男女按比例进行同比例分层抽样.通过同比例分层抽样得到样本中男生一天花费在20元左右，女生在15元左右，则该校学生一个月（按30天）在食堂的平均花费约为（ ）
A. 600元B. 450元C. 535元D. 480元
【答案】C
【解析】
【分析】按分层比确定学生一天的平均花费，进而可求解.
【详解】因为同比例分层抽样是按比例分配，
所以根据公式得该校学生一天在食堂的平均花费为（元）.
所以该校学生一个月在食堂的平均花费约为（元）.
故选：C
8. 如右图,“六芒星”是由两个全等正三角形组成,中心重合于点且三组对边分别平行.点, 是“六芒星”（如图1）的两个顶点,动点在“六芒星”上（内部以及边界）,若, 则的取值范围
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】
设，求的最大值，只需考虑图中个顶点的向量即可，讨论如下：
①；
②；
③；
④， ，；
⑤；
⑥，的最大值为，根据其对称性，可知的最小值为，故的取值范围是，故选A.
【方法点睛】本题考查平面向量的几何运算、平面向量基本定理的应用、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 本题通过定义“六芒星”，给出几何图形的特殊性质，进而利用平面向量的几何运算、结合选择题的特点进行解答
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9. 某市为最大限度的吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”，推进了人才引入落户政策.随着人口增多，对住房要求也随之而来，而选择购买商品房时，住户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图调查的所有市民中四居室共户，所占比例为，二居室住户占.如图是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意中，抽取的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（ ）
A. 样本容量为
B. 样本中三居室住户共抽取了户
C. 根据样本可估计对四居室满意的住户有户
D. 样本中对三居室满意的有户
【答案】BC
【解析】
【分析】根据统计图中的数据对各个选项直接进行判断即可.
【详解】A选项，总体容量为，样本容量为，对，
B选项，样本中三居室住户共抽取（户），错，
C选项，对四居室满意的住户共有（户），错，
D选项，样本中三居室住户有（户），
对三居室满意的住户有（户），对，
故选：BC.
10. 已知两个不共线的单位向量的夹角为，则下列结论正确的是（ ）
A. 向量在上的投影向量为；B. ；
C. ；D. .
【答案】ABC
【解析】
【分析】运用向量的投影向量、向量的平方、向量垂直的判定以及向量数量积的相关概念和运算.对每个选项逐一进行分析判断.
【详解】解：，两个单位向量的夹角为，故根据投影向量定义可得，向量在上的投影向量为，故A正确；
向量的平方等于模的平方，所以，故B正确；
是不共线的单位向量，
故利均为非零向量，
，故C正确；
，故不正确.
故选：ABC.
11. 在中，角的对应边分别为．已知，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 外接圆的半径为
C. 面积的最大值为
D. 若为的中线，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由正弦定理角化边，然后结合余弦定理求出角，判断A错误；由正弦定理即可求出外接圆的半径，判断出B正确；由余弦定理结合重要不等式得到，然后由三角形的面积公式即可求出面积的最大值，判断C正确；由，则，判断D正确．
【详解】因为，
所以由正弦定理得，
即，
由余弦定理得，
因为，所以，A错误．
设外接圆的半径为，则，
得，B正确．
由，得，
即，当且仅当时，等号成立，
则，即面积的最大值为，C正确．
根据题意可得，
则，D正确．
故选：BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 正方形的边长是是的中点，则__________.
【答案】3
【解析】
【分析】以为基底向量表示，，再结合数量积的运算律运算求解即可.
【详解】由题意，，，
则，，
所以
.
故答案为：3.

13. 已知.若的夹角为钝角，则的范围为__________.
【答案】且
【解析】
【分析】由已知且与不平行，结合向量坐标运算可得出的取值范围.
【详解】若，的夹角为钝角，则，且与不平行，
即，且，求得且，
故答案为： 且.
14. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若角C的内角平分线，则的最小值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】先根据，结合余弦定理求角C，再根据，再结合面积公式和基本不等式求出的最小值，再根据数量积定义求.
【详解】因为，所以，而角为三角形内角，所以，

由，，
所以，
化简得到，
所以，则，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以的最小值为8.
故答案为：8.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设是不共线的两个非零向量.
（1）若与共线，求实数k的值.
（2）已知向量满足求；
【答案】（1）；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由向量共线的性质即可求得参数；
（2）利用已知可求得，由 ，可求模.
【小问1详解】
由 与 共线，则存在实数 ，
使得 ，
即 ，又 是不共线的两个非零向量，
因此 ，解得 ，或 ，实数 k 的值是 ；
小问2详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
16. 随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范围是至，男性的正常范围是至.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图如图.
（1）求a；
（2）如果女性的体脂率超过属“偏胖”，那么全市“偏胖”女性约有多少万人？
（3）小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁的体脂率更低？
【答案】（1）
（2）10万 （3）小张
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图面积和为1，列出等式求解即可；
（2）由频率分布直方图求得相应频率即可求解；
（3）由中位数、平均数的计算公式求解即可.
【小问1详解】
因为频率和为1，所以由频率直方图可得，，
所以.
【小问2详解】
样本中女性“偏胖”的频率为，
全市“偏胖”女性的人数约为人，即10万人.
【小问3详解】
调查所得数据的平均数为，
设调查所得数据的中位数为，
因为体脂率在的频率为；
体脂率在的频率为；
体脂率在的频率为；
又因为，，
所以，所以，所以，
所以调查所得数据的中位数约为，
所以小王的体脂率约为，小张的体脂率为，所以小张的体脂率更低.
17. 如图，在中，，，点D在线段BC上.
（1）若∠ADC=，求AD的长；
（2）若BD=2DC，△ADC的面积为，求AC的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，由正弦定理即可求解；
（2）由，得到，结合三角形面积公式求得，再由余弦定理即可求解.
【小问1详解】
在中，.
在中，由正弦定理得，
又，
【小问2详解】
.
又.
，
解得：
中，由余弦定理得，
所以.
18. 如图，在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F，设，.
（1）用，表示，；
（2）若在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，求.
【答案】（1）；
（2）5
【解析】
【分析】（1）利用向量加法减法的几何意义即可用，表示，；
（2）利用向量共线充要条件求得的坐标，进而即可求得的值.
【小问1详解】
在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F，
【小问2详解】
在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，
则，，
则
设，则
由，可得，解之得
则，则
19. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C对边，且.
（1）若，求；
（2）若，求的面积的最大值.
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化角为边，得出边关系后，由余弦定理求解；
（2）由余弦定理及数量积的定义求得，再利用基本不等式求得的最大值，最后由面积公式得结论．
【小问1详解】
因为，所以由正弦定理得，
又，所以，，
从而.
【小问2详解】
由余弦定理可知，则，
又，故，
即，故，即，
从而，
当时取等号，即的面积的最大值为3.