广东省广州市第十六中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份广东省广州市第十六中学2024−2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（ ）

A．B．
C．D．
2．在中，，，，则为（ ）
A．B．C．或D．
3．G是的重心，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，则角（ ）
A．90°B．60°
C．45°D．30°
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（ ）
A．3B．
C．D．3
5．已知满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．D．2
6．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ）
A．－1B．C．D．
7．在中，，，最短边的长为，则最长边的长为（ ）
A．B．C．D．5
8．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在中，下列结论中，正确的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，则
C．若，则为锐角三角形
D．若，且结合BC的长解三角形，有两解，则BC长的取值范围是
10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点分别为三角形的外心､重心､垂心，且为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，则下列结论正确的有（ ）
A．面积的最大值为B．
C．周长的最大值为6D．的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．设是单位向量，且，则的最小值为 ．
13．在中，内角所对的边分别为，若，，则的面积为 ．
14．作用于同一点的三个力处于平衡状态，已知，，的夹角为，则与夹角的大小为 .
四、解答题（本大题共3小题）
15．已知，，与的夹角为.
(1)若与共线，求实数的值；
(2)求的值；
(3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16．已知分别为的角所对的边，且满足，．
(1)求；
(2)若外接圆的半径为，求.
17．如图，在中，为 边上一点，且.

(1)求的长及的值；
(2)若，求的周长；
(3)若，求中边上的高.
参考答案
1．【答案】A
【详解】依题意在平行四边形中，，
又是的中点，则，
又与交于点，
所以，则，
所以，
又，
所以
故选A.
2．【答案】B
【详解】在中，因，，，则由正弦定理得：，
因，则，于是得，
所以为.
故选B.
3．【答案】D
【详解】因为G是的重心，所以有.
又，所以a∶b∶c＝1∶1∶1，
设c＝，则有a＝b＝1，由余弦定理可得，csA＝，所以A＝30°，
故选D.
4．【答案】C
【详解】因，，且，
所以，化为.
所以，解得.
所以.
故选C.
5．【答案】C
【详解】在中，令，过作于，，
由向量在向量上的投影向量为，得，
解得，则，由，得
，解得，由，
得，即，因此，
在中，.
故选C.

6．【答案】C
【详解】∵分别表示与方向的单位向量，
∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线，
∵，∴的平分线与垂直，故.
取的中点，连接，则，
由题意得，，
∴.

如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，故.
设，则，∴，
∴，，
∴，
当时，取得最小值，最小值为.
故选C.
7．【答案】D
【详解】由，，
所以，所以，
又，
所以，所以，所以，
故，为最长的边，
由，得，
则，
所以（舍去），
由正弦定理得，所以.
即最长边的长为.
故选D.
8．【答案】B
【详解】在中，，
又，则，设，则，
在中，由正弦定理得，解得，
在中，由余弦定理得，
即，又，解得，则，
所以，
故选B.
9．【答案】AB
【详解】对于A，因为，且，且，
所以，所以是等腰三角形，所以选项A正确；
对于B，由，则，可得，所以选项B正确；
对于C，由，以及余弦定理可得，
又，所以，但不知角的值，
不一定为锐角三角形，所以C错误；
对于D，由，若三角形有两解，则，
所以长的取值范围是，所以D错误.
故选AB.
10．【答案】ABC
【详解】
对于A，由是的中点，又由是外心，是垂心，可知:
所以，根据平行线分线段成比例可知：，
又由欧拉线的性质可知：，所以，即，故A正确；
对于B，由于是重心，所以，
而是的中点，所以，代入上式可得：，故B正确；
对于C，因为是外心，所以，故C正确；
对于D，由向量的加法可知：，故D错误；
故选ABC.
11．【答案】AC
【详解】解：对于A，由余弦定理得：，解得：，
由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，
所以，故，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，由余弦定理得：，解得：，
所以，当且仅当时，等号成立，
解得，当且仅当时，等号成立，
所以，周长，所以周长的最大值为6，故C正确；
对于D，，
因为，所以，
所以，故D错误.
故选AC.
12．【答案】
【详解】，且均为单位向量，
∴，
||=1，,
∴.
设与的夹角为θ，
则.
故的最小值为
13．【答案】
【详解】∵，∴由正弦定理得，
∴，即，
∴，即，
由正弦定理得，
∵，∴，
由余弦定理得，得，
∴的面积．
14．【答案】
【详解】因为，，三个力处于平衡状态，所以，则，
所以，
设夹角的大小为，由得，
所以，所以，又，所以，
即与夹角的大小为.
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为与共线，
所以存在实数使得，
所以，解得，所以；
（2）因为，，与的夹角为，
所以，
所以，
则；
（3）向量与的夹角是锐角，
可得，且与不同向共线，
即为，
即有，解得，
由与共线，可得，
解得，当时，两者同向共线，
则实数的取值范围为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），由正弦定理可得，
，.
，.
（2）由（1）知，.
，，.
由正弦定理可知，.
17．【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求出，根据三角形内角和定理及两角和得正弦公式即可求出；
（2）由，可得，在中，利用正弦定理求出，再在中，利用余弦定理求出，即可得解；
（3）先根据三角形的面积公式求出，再在中，由余弦定理求出，再在中，由余弦定理求出，即可得解.
【详解】（1）因为，，
所以，所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
；
（2）因为，
所以，即，
在中，由（1）结合正弦定理得，
所以，
所以，
在中，由余弦定理得
，
所以，
所以的周长为；
（3），所以，
在中，由余弦定理得
，
所以，
在中，由余弦定理得
，
解得（舍去），
所以中边上的高为.
【方法总结】已知三角形的两边及一角解三角形的方法：
先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解思路有两种：
（1）利用余弦定理求出其它角；
（2）利用正弦定理（已知两边和其中一边的对角）求解.
若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这个问题（在上，余弦值所对的角是唯一的），故用余弦定理较好.