2024-2025学年广东省广州市高一下册3月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省广州市高一下册3月月考数学检测试卷（附解析），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1 若，且，则（ ）
A. B. C. D. 10
【正确答案】A
【分析】由向量数量积的坐标运算可得答案.
【详解】因为，且，所以，所以.
故选：A.
2. 若向量，且A，C，D三点共线，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由题意知，再由向量平行的坐标表示列方程求参数即可.
【详解】由三点共线，得，
又，得，解得.
故选：B
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先计算出，利用向量平行得到方程，求出.
【详解】，，
故，化简得.
故选：C
4. 在中，若，，，则等于（ ）
A. B. 或C. D. 或
【正确答案】D
【分析】由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，在中，由正弦定理可得，
即，
又由，且，
所以或，
故选：D.
本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5. 已知向量，满足，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. 2B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由已知可得，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可.
【详解】由，得.
根据定义可知：在方向上的投影向量为.
故选：C.
6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则为锐角三角形
B. 若为锐角三角形，有，则
C. 若，则符合条件的有两个
D. 若，则为等腰三角形
【正确答案】B
【分析】A，根据余弦定理，只能判定命题A为锐角；
B，移项后，利用正弦函数的单调性和诱导公式即得结论；
C，由已知条件为两边一夹角，可判定错误；
D，据正弦定理把等式的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得，进而推断，或，即可判定．
【详解】对于A，若，则，A为锐角，
不能判定为锐角三角形，故错；
对于B，若为锐角三角形，有，
则，∴,故正确；
对于C，知道两边一夹角，符合条件的三角形有且只有一个，故C错误；
对于D，，，
，或即，
为等腰或直角三角形，故不正确．
故选：B．
本题考查了命题的真假判断，涉及正弦定理、余弦定理、解三角形的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题题．
7. 要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象
A. 向左平移个单位
B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位
D. 向右平移个单位
【正确答案】B
【详解】试题分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），
∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（2x+）的图象，
故选B
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
8. 若函数的图象关于对称，则函数在上的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用辅助角公式化简，根据对称性求得参数，再求函数在区间上的值域即可.
【详解】由辅助角公式可得：，
函数图像关于对称，
则当时，，
即，
由于，故令可得，
函数的解析式为，
，则，故函数在定义域内单调递减，
函数的最小值为.
故选：C.
本题考查三角恒等变化化简解析式，以及由对称性求正弦型三角函数参数，以及正弦型三角函数值域的求解，属综合基础题.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 若，则
C. 若是与共线的单位向量，则D. 当取得最大值时，
【正确答案】AD
【分析】设，，利用向量的减法的几何意义可判定A；利用向量的数量积运算法则转化为，可判定B；根据与共线的单位向量有两个相反的方向，可以否定C；利用向量的数量积等于一个向量的模与另一个向量在第一个向量上的投影的乘积，转化为求何时向量在向量上的投影最大，利用向量共线且方向相同的坐标表示即可判定D.
【详解】∵，∴是单位向量，设，，则，当，方向相反，即时取等号，∴的最大值为，故A正确；
等价于即，即，∴，故B错误；
与共线的单位向量为，故Ｃ错误；
最大，当且仅当向量在向量上的投影最大，即向量与同向，亦即，此时，故D正确.
故选：AD
10. 三角形中，角，，的对边分别为，，，下列条件能判断是钝角三角形的有（ ）
A. ，，B.
C. D.
【正确答案】ABC
【分析】利用余弦定理判断A，根据数量积的定义判断B，利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理判断C，利用正弦定理将边化角，再由两角和的余弦公式判断D.
【详解】对于A，，
，且，故为钝角，故A正确；
对于B，，，则为钝角，故B正确；
对于，，
由正弦定理可得，即，解得，
又，所以，即为钝角，故C正确；
对于D，，
由正弦定理可得，
又，，则，即，
又，所以，则，则为直角三角形，故D错误．
故选：ABC．
11. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ）

A.
B. 当时，函数单调递增
C. 当时，的最大值为
D. 当时，
【正确答案】AD
【分析】根据题意，结合条件可得的值，从而求得函数的解析式，然后根据正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由题意，，，所以，
则，
又点，此时代入可得，解得，
又，所以，故A正确；
因，当时，，
所以函数先增后减，故B错误；
当时，所以，
则，则，故C错误；
当时，，的纵坐标为，横坐标为，
所以，故D正确；
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知, , ，则的形状是______________．
【正确答案】直角三角形
【详解】∵, , ，
∴=（﹣3，3），=（1，1）；
•=0所以⊥．
△ABC为直角三角形；
故直角三角形．
13. 已知非零向量，的夹角为，，，则____________.
【正确答案】6
【分析】根据垂直的向量表示结合数量积的定义，即可求得答案.
【详解】因为，故，
即，
故6
14. 函数的部分图象如图所示，则__；将函数的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则____.
【正确答案】 ①. ②.
【分析】根据图象求得周期，利用周期计算公式求得；根据，即可求得；再求得平移后的函数解析式，根据奇偶性，列出等式，则可得.
【详解】根据函数的图象可得，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
所以，，
所以，，
因为，所以.
所以，
将的图象沿x轴向右移个长度单位得函数
的图象，
因为函数是偶函数，
所以，，
所以，，
因为，所以，.
故；.
本题考查由正弦型函数图像求解析式，涉及图象平移前后解析式的求解，以及根据正弦型函数的奇偶性求参数值，属综合基础题.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知非零向量满足，且．
（1）求与的夹角；
（2）若，求的值．
【正确答案】（1）；（2）1．
【分析】（1）由向量垂直转化为数量积为0求得，再由数量积的定义求得夹角；
（2）把已知等式平方，模的平方转化为向量的平方，即向量的数量积运算可得．
【详解】（1），
与的夹角为，
（2），即，
，又由（1）知
16. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
（1）求B；
（2）若的面积为，求c．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；
（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.
【小问1详解】
由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
【小问2详解】
由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
17. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴与轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为

（1）在斜坐标系中的坐标，已知，求
（2）在斜坐标系中的坐标，已知，，求的最大值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据向量的数量积的运算律求解；
（2）利用平面向量的数量积的坐标表示以及两角差的正弦公式，结合正弦函数的性质求解.
【小问1详解】
由题意可知： ,
,
∴.
【小问2详解】
由题意可知,
∴
由（1）可得：,
令 ,
又因为,
且，所以，
，∴，
又因为函数在单调递增，
即：时，函数取到最大值3，
即，则有，
∴当时，的最大值为.
18. 平面几何中有如下结论：“三角形的角平分线分对边所成的两段之比等于角的两边之比，即．”已知中，，，为角平分线．过点作直线交的延长线于不同两点，且满足，，
（1）求的值，并说明理由；
（2）若，求的最小值．
【正确答案】（1），理由见解析；
（2）
【分析】（1）用表示，再根据三点共线，利用向量共线定理求解即可；
（2）利用结合数量积的运算律和均值不等式“1”的妙用求解即可.
【小问1详解】
根据角平分线定理，所以，
因为，，
所以，
因为三点共线，所以，所以．
【小问2详解】
当且仅当时取等号，即，
所以最小值为．
19. 设内角所对的边分别为，且，．
（1）求角；
（2）如图所示，点是外一点，若，且，记的周长为，求的解析式．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由正弦定理化简等式，结合余弦定理得到，即可求得角；
（2）利用正弦定理得到和，再利用余弦定理结合诱导公式以及二倍角公式得到，写出的表达式.
【小问1详解】
∵，
∴
由正弦定理可得，即，
即，∴
【小问2详解】
在中由正弦定理可知，
∴，
在中由正弦定理可知，
∴，
因为四边形的内角和为，且，
所以，
在中，
所以，
则.
在中，∴，
∴.