广东省广州市广州大学附属中学2024−2025学年高一下学期3月测试 数学试卷（含解析）

这是一份广东省广州市广州大学附属中学2024−2025学年高一下学期3月测试 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知平面向量，，若，则k＝（ ）
A．B．6C．D．－6
2．（ ）
A．B．C．D．
3．若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．已知在△ABC中，，若三角形有两解，则x的取值范围是( )
A．B．
C．D．
5．如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．3
6．已知向量，满足，，且，则，的夹角的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，．若有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设，是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若是纯虚数，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在向量上的投影向量为
C．若，则为的中点
D．若在线段上，且，则的取值范围为
11．已知函数，，，，下列选项中正确的有（ ）
A．函数、、都是偶函数
B．若且，则
C．若且，则+=1
D．若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．在以为顶点的三棱锥中，过的三条棱两两的交角都是，在一条侧棱上有，两点，，，以，为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），则此绳在，之间的最短绳长为 .
13．如图，某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，.则小岛B与小岛D之间的距离为 海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为 平方海里.
14．如图，菱形的边长为6，，，则的取值范围为 ．

四、解答题（本大题共5小题）
15．设两个非零向量与不共线．
(1)若，求证：三点共线；
(2)试确定实数，使和反向共线．
16．已知，复数，.
(1)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围；
(2)设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求.
17．在中，，，，点，在边上且，.
(1)若，用，表示，并求线段的长；
(2)若，，求的值.
18．已知，函数．
（1）求函数的解析式及对称中心；
（2）若且，求的值．
（3）在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，求周长的取值范围．
19．若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“和谐区间”.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
求的解析式；
求函数在内的“和谐区间”；
若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有个元素.若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，，，
所以，解得.
故选A.
2．【答案】D
【详解】
.
故选D．
3．【答案】D
【详解】由，解得，
当时，，解得，
此时，，则共线且同向，
所以要使向量与的夹角为锐角，
则且，
故选D.
4．【答案】C
【详解】因为， 要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，
半径为2的圆与BA有两个交点，
所以只需满足，即，解得.
故选C．
5．【答案】C
【详解】
如图，延长交于点，因点是的重心，
则，①
因三点共线，则，使，
因，，代入得，，②
由①，②联立，可得，，消去即得，，
则，
当且仅当时等号成立，
即时，取得最小值，为.
故选C.
6．【答案】C
【详解】因为，所以，，
，
又因为，
所以，所以，的夹角的最小值为.
故选C
7．【答案】D
【详解】时，，函数在上单调递减，，
令可得，作出函数与函数的图象如图所示：

由上图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，此时，函数有2个零点．因此，实数a的取值范围是．
故选D．
8．【答案】B
【详解】由题意，因为，所以，
即，
又由，所以，
由因为，所以，所以，即，
因为，
由余弦定理可得，解得，
则的面积为.
故选B.
9．【答案】ACD
【分析】对于A代入即可判断正误，对于B取特殊值验证即可，
对于C设，求得即可判断正误，对于D设代入验证即可求得.
【详解】A. ，则，故A正确；
B.当时，，但得不出，故B错误；
C.设，则，，所以，C正确；
D.设则得，又，，
故成立，D正确.
故选：ACD.
10．【答案】BD
【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，
设，
则，整理得到，
，
，，设，
对选项A：，，，错误；
对选项B：，，
，即投影向量为，正确；
对选项C：，
，
，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误；
对选项D：，，，
，，
整理得到，，故，正确.
故选CD.
11．【答案】CD
【详解】因为，，，，
所以，，，
所以的定义域为，不关于原点对称，故不具有奇偶性，故A错误；
当时，，即，即，
同理可得，所以，
当时，，故B错误；
当，即，
所以或，解得，（且），
，故C正确；
设，
因为，
所以，当时，则，，，，
所以，，，则
当时，同理可知，，故D正确.
故选CD.
12．【答案】5
【详解】解：作出三棱锥的侧面展开图，如图，
则A、B两点间的最短绳长就是线段AB的长度.
在中，，
由，得
即此绳在A、B之间的最短绳长为5．
13．【答案】
【详解】圆的内接四边形对角互补，为锐角，
，
在三角形中，由正弦定理得.
在三角形中，由余弦定理得，
整理得,（负根舍去）.
所以平方海里.
14．【答案】
【详解】设，则，
因为，，
所以，
，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围为．
15．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1），
，
,共线，又它们有公共点，
,,三点共线．
（2）与反向共线，存在实数，使，
即，．
,是不共线的两个非零向量，，，，
，．
【思路导引】(1)根据平面向量线性运算表示出，即可得到，从而得到,共线，即可得证；
(2)存在实数，使，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
16．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）依题意，，而在复平面内对应的点位于第三象限，
则，解得，
所以m的取值范围为.
（2）依题意，，，
由，得，解得或，
而时，为原点，不符合题意，因此，，，，
所以．
17．【答案】(1),
(2)
【详解】（1）依题意，，
则，
故，
由，
则
，
故线段的长为：．
（2）因为，
所以，，
则
，
，
，
故．
18．【答案】（1）；
（2）
（3）
【详解】（1）由题意可得，
令，解得，则对称中心为.
（2）由，则，
由，则，可得，
所以
.
（3）由，则，
由，则，解得，即，
由正弦定理可得，则，，
的周长
，
由题意可得，解得，则，所以，
故.
19．【答案】；；存在，.
【解析】利用函数奇偶性的性质写出的解析式；
根据“和谐区间”的定义写出函数在内的“和谐区间”；
设为的一个“和谐区间”，则，即 ，同号，结合分类讨论得出结果.
【详解】解：为上的奇函数，
又当时，，
当时，；
；
设，在上单调递减，
，即，是方程的两个不相等的正根.
在内的“和谐区间”为.
设为的一个“和谐区间”，则，，同号.
当时，同理可求在内的“和谐区间”为.

依题意，抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限.
因此，应当使方程在内恰有一个实数根，并且使方程，在内恰有一个实数根.
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得；
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得.
综上所述，实数的取值集合为.