重庆市渝北中学2024−2025学年度高三下学期3月月考质量检测数学试题（含解析）

这是一份重庆市渝北中学2024−2025学年度高三下学期3月月考质量检测数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知为非负实数，复数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知数列满足，且，则（ ）
A．3B．C．D．
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，设，则（ ）
A．B．C．D．
6．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．棱长为4的正方体中，在平面上，在棱上，且，则的最小值是（）
A．B．5C．D．6
8．已知定义在上的函数满足，当时，，则方程所有根之和为（）
A．10B．11C．12D．13
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．设有一个经验回归方程为，变量增加1个单位时，平均增加2个单位
B．已知随机变量，若，则
C．两组样本数据和的方差分别为.若已知且，则
D．已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）

A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积大于4
三、填空题（本大题共3小题）
12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
13．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为 ．
14．若直线为曲线的一条切线，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求.
16．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求证：.
17．如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥.

(1)若棱的中点为，求的长；
(2)当四棱锥的体积取最大值时，求平面和平面夹角的余弦值.
18．已知中，是角所对的边，.

(1)求角的大小；
(2)已知.
（i）如图①，在的边上分别取两点，若，求长度的最小值；
（ii）如图②，分别在边上，，求面积的最小值.
19．已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)设椭圆的右顶点为，P是椭圆上不与顶点重合的动点．
（i）若点，点在椭圆上且位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，，若，求点的坐标．
（ii）若直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：为定值，并求出此定值（其中，分别为直线和直线的斜率）．
参考答案
1．【答案】D
【详解】
，
故选．
2．【答案】C
【详解】
，解得．
为非负实数，，
故选C．
3．【答案】A
【详解】且
数列 的周期为
，
故选 ．
4．【答案】A
【详解】因为，
所以.
故选
5．【答案】C
【详解】因为，
所以，，
又因为，
所以，
所以，
故选C.
6．【答案】D
【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，
事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则，
又，则，
即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为．
故选D．
7．【答案】A
【详解】∵��在底面上，
点在以为圆心，半径为3的圆上，设该圆分别与交于两点，
取的四等分点F且靠近点E为的四等分点且靠近点，
易知，连接，交弧于点，
在直角三角形中，易求得，所以
所以．
故选A.

8．【答案】D
【详解】由，得函数的图象关于点对称，
由，得，则函数的图象关于直线对称，
且有，则，于是是以4为周期的周期函数，
又当时，，即函数在上单调递增，
又，根据对称性可知，函数在上单调递增，
则在上单调递增，在上单调递减，所以，
由，得，
则方程的根即为函数的图象与直线交点的横坐标，
而直线关于点对称，即函数的图象与直线都关于点对称，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图所示.
观察图象可知，函数的图象与直线在上有6个交点，
由中心对称的性质知，函数的图象与直线在上有6个交点，
因此函数的图象与直线的所有交点横坐标和为，
所以方程所有根之和为13．
故选D.
9．【答案】BC
【分析】根据回归方程可判定A，根据正态分布可判定B，根据数据的方差可判定C，根据回归方程及残差的概念可判定D.
【详解】若有一个经验回归方程，随着的增大，会减小，错误；
曲线关于对称，因为，所以，
所以，B正确；
因为，所以，
所以
，
同理可得:
，
故，C正确；
经验回归方程为，且样本点与的残差相等，
则，D错误.
故选：.
10．【答案】ACD
【详解】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确；
由，知，
因为，所以，所以，，即，，
又，所以，所以，
对于B，当时，，所以，
所以的值域为，故B错误；
对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；
对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确．
故选ACD．
【方法总结】根据图象求函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式:
(1)A=ymax-ymin2:振幅A可以利用图象最高点与最低点纵坐标的差来求;
(2)B=ymax+ymin2:B可以利用图象最高点与最低点纵坐标的和(或对称中心的纵坐标)来求;
(3)ω=2πT:角频率ω可以利用周期T来求,周期T的求法(观察图象):①相邻对称轴(最值)之间相距T2;②相邻对称中心之间相距T2;③相邻对称轴与对称中心之间相距T4;④相邻最高(低)点之间相距T;
(4)φ:初相φ可以通过特殊值(最大值,最小值,零点等)来求.
11．【答案】BCD
【详解】对A，根据题意，开口向右的抛物线的方程为，焦点为，
所以开口向上的抛物线的焦点为，则对应的抛物线方程为，A错误；
对B，联立，解得或，所以,
根据对称性可知，,
所以,B正确；
对C，

如图，直线与开口向右、向上的抛物线在第一象限的交点为，
因为关于直线对称，所以设点，则，
因为，所以，
所以，
因为二次函数在单调递减，单调递增，
且，
所以时，有最大值，最大值为，C正确；
对D，由于对称性，每个象限的花瓣形状相同，
故可以先求部分面积的近似值，
如图，

取开口向上的抛物线上一点，
则点到直线的距离等于，
所以，
所以阴影部分的面积，D正确；
故选BCD.
12．【答案】
【详解】的通项公式为，
令得，，此时，
令得，，此时，
故的系数为.
13．【答案】
【详解】设与渐近线交于，则，
点到直线的距离为，
因为点关于直线的对称点为，则为线段的中点，
又因为为的中点，则，且，
由勾股定理可得，
由双曲线的离心率为，则，
所以，，
则.
14．【答案】/
【详解】设，则，
设切点为，则，
则切线方程为，整理可得，
所以，解得，
所以，所以，
设，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以的最大值为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）①
当时，，即；
当时，②
①－②得
因为时，也满足上式，
故．
（2）记，
则
（常数）
数到为常数列，
16．【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，由，得，由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数的递减区间是，无递增区间；
当时，函数的递减区间是，递增区间是.
（2）由（1）知当时，的最小值为，
，设，
求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，即，
则，所以.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）【小问1详解】
取中点，连接，
因为为中点，所以为的中位线，
所以且，
因为为的中点，四边形为矩形，
所以且，
所以且，
故四边形为平行四边形，
所以；

（2）取的中点，连接，
因为，则，
当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，
此时平面，且，
过点D作z轴平行于，以、分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则,
所以，
设平面的一个法向量为
则，令，则，所以
易知平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则,
故平面和平面夹角的余弦值为.
18．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
而，则，即，又，
因此，解得，所以.
（2）①由（1）知，，而，则是正三角形，设，
当时，与重合，为的中点，；当时，与重合，，
当时，在中，，
由余弦定理，得，
即，因此
，当且仅当时取等号，
而，所以长度的最小值.
②设，则，
在中，由正弦定理得，
则，在中，，
则，，又，
于是∽，，则，
由，得，解得，
因此的面积
，其中锐角由确定，
而，则当时，，，
所以面积的最小值为.
19．【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析，
【详解】（1）由题意得，又∵，解得，
∴椭圆的标准方程为.
（2）（i）由（1）可得，
连接，∵，，
∴，
，
，∴，
∴直线的方程为，联立，
解得或（舍去），.
（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，
又，，直线的方程为，
由，解得，则，
由，得，
由，
则，则，
则，
，
依题意B，P不重合，则，即，
∴，
直线的方程为，
令即，解得，
，
，
为定值.