重庆缙云教育联盟2024届高三高考第一次诊断性检测 数学试卷（含解析）

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数学试卷
考生须知：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共6页，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共7小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. ，则的共轭复数等于（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数满足：，，成立，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，则下列说法正确是（ ）
A. 则B. 则
C. 则D. 则
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A. 0B. 3C. 6D. 12
7. 已知，，，，，则的最大值为（ ）
A. B. 4C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.
8. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
E
9. 已知为坐标原点，抛物线焦点为，、是抛物线上两个不同的点，为线段的中点，则（ ）
A. 若，则到准线距离的最小值为
B. 若，且，则到准线距离为
C. 若，且，则到准线的距离为
D. 若过焦点，，为直线左侧抛物线上一点，则面积的最大值为
E. 若，则到直线距离的最大值为
10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数 的结论中，正确的是（ ）
A. 函数 为偶函数
B. 函数 的值域是
C. 对于任意的 ，都有
D. 在 图象上不存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形
E. 在 图象存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形
三、填空题：本题共4小题.
11. 已知为圆：上一点，则的取值范围是___________.
12. 已知二项式的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为_______．
13. 椭圆上的点P到直线的最大距离是______；距离最大时点P坐标为______.
14. 我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nà）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是________.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角的对边分别为.已知．
（1）求；
（2）若为的中点，且，求．
16. 已知正项数列的前n项和为，且．
（1）求证：
（2）在与间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
17. 已知函数（a为常数）.
（1）求函数单调区间；
（2）若存在两个不相等的正数，满足，求证：.
（3）若有两个零点，，证明：.
18. 在平面直角坐标系xOy中，A，B点的坐标分别为和，设的面积为S，内切圆半径为r，当时，记顶点M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程；
（2）已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为，.
（i）设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数，使得当时，；
（ii）若，当最大时，求四边形EPFQ的面积.
19. 某工厂引进新的生产设备，为对其进行评估，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（1）为评估设备对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量和原料中的该材料含量之间的相关关系，现取了8对观测值，求与的线性回归方程.
（2）为评判设备生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；
①；②；③.
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.
（3）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品．从样本中随意抽取2件零件，再从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数的数学期望.
附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；
②参考数据：，，，.
五、本题分为Ⅰ、Ⅱ两部分，考生选其中一部分作答.若多选，则按照第Ⅰ部分积分.
20. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为上的动点，为上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）．
（1）求证：当为的中点时，平面
（2）若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角分别为，试求出的取值范围．
（3）求三棱锥的体积的最大值．
21. 如图1，已知，，，，，.
（1）求将六边形绕轴旋转半周（等同于四边形绕轴旋转一周）所围成的几何体的体积；
（2）将平面绕旋转到平面，使得平面平面，求异面直线与所成的角；
（3）某“”可以近似看成，将图1中的线段、改成同一圆周上的一段圆弧，如图2，将其绕轴旋转半周所得的几何体，试求所得几何体的体积.
直径/mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100