山东省郓城县实验中学2024−2025学年高二下学期3月检测数学试题（含解析）

这是一份山东省郓城县实验中学2024−2025学年高二下学期3月检测数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数，则（ ）
A．2B．C．4D．
2．下列函数的求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（ ）
A．7B．12C．18D．24
4．甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（ ）
A．36种B．48种C．54种D．64种
5．若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（ ）
A．B．1C．3D．5
6．将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是( )
A．300B．240
C．150D．50
7．设，函数的导函数是，若是奇函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，是的唯一极小值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．函数的导函数的图象如图所示，则（ ）

A．为函数的零点
B．函数在上单调递减
C．为函数的极小值点
D．是函数的最小值
10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法
11．已知函数的导函数为，则（ ）
A．函数的极小值点为
B．
C．函数的单调递减区间为
D．若函数有两个不同的零点，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为 .
13．已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 .
14．2024年春耕期间，某农业局将甲、乙、丙等5位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每人只去一个村庄，且这三个村庄都有人去，甲和乙不去同一个村庄，甲和丙去同一个村庄，则不同的分配方法共有 种（用数字作答）．
四、解答题（本大题共5小题）
15．某医院有内科医生7名，外科医生5名，现选派4名参加赈灾医疗队，其中.
(1)甲、乙有且仅有一人参加，有多少种选法？
(2)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
16．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的极值.
17．已知函数，曲线在处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最值.
18．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围.
19．已知函数（，e为自然对数的底数）．
(1)若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，求证：．
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，则.
故选D.
2．【答案】D
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选D.
3．【答案】B
【详解】从4名男生与3名女生中选两人，其中男女各一人，
由分步计数原理，可得不同的选派方法数为种.
故选B.
4．【答案】A
【分析】利用间接法，先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，结合排列数运算求解.
【详解】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，
所以总数为种，
故选A.
5．【答案】B
【分析】求出函数的导数，根据题意列式求出a的值，结合函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由，得，
由于函数在处取得极值，
故，则，
故，
则当或时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取得极大值，即适合题意，
由此可知在上单调递减，在上单调递增，
故函数在区间上的最小值为，
故选B.
6．【答案】C
【解析】依题意，当按照1，1，3分配时，共有C53A33＝60(种)不同的分配方法；当按照2，2，1分配时，共有C52C32A22·A33＝90(种)不同的分配方法，所以共有90＋60＝150(种)不同的分配方法.故选C.
【易错警示】
当按照2，2，1分配时，2，2为均分，所以有C52C32A22种分组方法，此题易错之处在于忽略均分与非均分的区别.
7．【答案】B
【详解】，
因为是奇函数，只需偶数次幂的项系数为0即可，
所以，
所以，，
所以，即切点为，且，
所以切线方程为，即，
故选B.
8．【答案】D
【解析】求导可得，再根据是的唯一极小值点可得恒成立，再根据恒成立问题求解最小值分析即可.
【详解】求导有.
设，则，
故当时，单调递减；时，单调递增.
故若有两个零点，则必有一根，则此时有时；时，故为的极小值点，与题意不符.
故恒成立，故，即，解得.
故选D.
9．【答案】BC
【详解】由的图象可知，当或时，，
当或时，，
所以在和上单调递增，在和上单调递减，
所以在和处取得极小值，在处取得极大值，
正确，
不一定是最小值，D错误，
由条件不能确定为函数的零点，A错误，
故选.
10．【答案】ABD
【详解】对于A，某学生从中选2门课程学习，共有种选法，A正确；
对于B，课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有种排法，B正确；
对于C，课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有种排法，C错误；
对于D，课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有种排法，D正确；
故选ABD.
11．【答案】BCD
【详解】由，得，当时，，B正确；
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因此函数在处取得极小值，递减区间为，A错误，C正确；
函数在上单调递减，且恒有，在上单调递增，，，
函数有两个不同的零点，即函数的图象与直线有两个公共点，
在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图，
观察图象知，当时，直线与函数的图象有两个公共点，
所以函数有两个不同的零点时，，D正确.
故选BCD.
12．【答案】12
【详解】根据题意，原来3个节目顺序不变，有4个空位，任选2个即可.有种，即有12种安排方法.
13．【答案】
【详解】定义域为，
故有两个不同的根，即，与两函数有两个交点，
其中，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
从而在处取得极大值，也是最大值，
，且当时，恒成立，
当时，恒成立，
画出的图象如下：
显然要想，与两函数有两个交点，
需要满足.
14．【答案】30
【详解】分两类考查：第一类，甲、丙两人去同一个村庄，共有种分配方法；
第二类，甲、丙和除乙以外的某一人去同一村庄，共有种分配方法．
故共有种分配方法．
15．【答案】(1)240
(2)455
【详解】（1）共有种选法；
（2）由总数中减去四名都是内科医生和四名都是外科医生的选法种数即为队中至少有一名内科医生和一名外科医生的选法数，
则共有种选法.
16．【答案】(1)
(2)极小值为，无极大值
【详解】（1）的定义域为，
，所以，
又因为，所以切点为，
所以曲线在处的切线方程为
（2），
当时，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值.
17．【答案】(1)，
(2)最大值为13，最小值为5
【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；
（2）利用导数判断单调性，根据单调性可求出最值.
【详解】（1），
，
又因为曲线在处的切线方程为.
，，即得：，
解得：，
由（1）得：，，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
因为，，所以.
在区间上的最大值为13，最小值为5.
18．【答案】(1)当时，在上单调递增;当时，在上单调递减，在上单调递增．
(2)
【详解】（1）因为，所以，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
由，得，由，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以至多有一个零点；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，，
令，，则，
所以在上单调递减，
又，所以要使，即，则．
又因为，
所以在上有一个零点，
又，
令，，则，
所以在上单调递增，
因为，所以，所以，
所以，
所以在上也有一个零点．
综上所述，要使有两个零点，则的取值范围是．
19．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1），则，
由已知，解得
（2）
（ⅰ）当时，，
所以，，
则在上单调递增，在上单调递减；
（ⅱ）当时，令，得，
①时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②时，，则在上单调递增；
③时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（3）方法一：
等价于
当时，
令
令，则在区间上单调递增
因为，
所以存在，使得，即
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增
所以
所以，故
方法二：
当时，
令，则，
令，则
当时，；当时，
所以在区间上单调递减，上单调递增．
所以，即
所以，
【关键点点睛】解决本题的关键：一是导数几何意义的运用，二是通过导函数等于零，比较方程的根对问题分类讨论，三是隐零点的运用及放缩法的运用.