广东实验中学2024届九年级下学期月考数学试卷(含解析)

这是一份广东实验中学2024届九年级下学期月考数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在四个数π、、0、－1中，是无理数的（ ）
A．πB．C．0D．－1
2．将一个长方体沿四条棱切割掉一个三棱柱后，得到如图所示的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．若在实数范围内有意义，则x的取值范围（ ）
A．x≥2B．x≤2
C．x＞2D．x＜2
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．C．D．
5．将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．设点和是反比例函数图象上的两个点，当时，，则一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
7．如图，在平面直角坐标系中，点，点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
8．5・12汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修米，所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，是半圆的直径，的平分线分别交弦和半圆于和，若，，则长为（ ）
A．2B．C．D．
10．如图，点A、B为直线y＝x上的两点，过A、B两点分别作y轴的平行线交双曲线（x＞0）于点C、D两点．若BD＝2AC，则4OC2﹣OD2的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、填空题
11．最近正值气温骤降感冒高发期，感冒病毒极易传染，同学们注意防寒保暖，其中有一种感冒病毒直径约为毫米，将数据用科学记数法表示为 ．
12．已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“”或“”或“”）
13．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解九年级200名学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如表：根据统计表中的数据估计九年级四月份读书册数不少于3本的人数约有 人．
14．小丽设计了一种测量树高的方法：她将一根细线的一端固定在半圆形量角器的圆心处，在细线的另一端处系一个小重物，制成了一个简单的测角仪（如图；将此测角仪放在眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点（如图2，图；小丽眼睛（即点离地1.5米，现测得，小丽与树的水平距离是5米，则树高是 米．（结果保留一位小数，参考数据：，，
15．如图，中，，，垂足为，点，分别是，边上的动点，，若，，那么与的比值是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为（-1，2）、（1，1）．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于C、D两点，点C在点D左侧，当顶点在线段AB上移动时，点C横坐标的最小值为-2．在抛物线移动过程中，a-b+c的最小值是 ．

三、解答题
17．解方程：3x（x﹣1）=2（x﹣1）．
18．某海边公园一“帆船造型”景点的设计如图所示，其中点，，，在同一条直线上，若，，，那么与平行吗？为什么？
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为多少？
21．2022年虎年新春，中国女足逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军；2022年国庆，中国女篮高歌猛进，时隔28年再夺世界杯亚军，一扫男足、男篮颓势，展现了中国体育的风采！为了培养青少年人才储备，吉安某初中开展了“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：

(1)本次被调查的学生有 名；补全条形统计图；
(2)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是 ；
(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．
22．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为．

(1)求反比例函数的表达式．
(2)观察图象，直接写出不等式的解集．
(3)将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式．
23．如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），．
(1)在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变．
(2)桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大．
①画出此时所在位置的示意图；
②的长度的最大值为 cm．
24．已知抛物线y＝ax2﹣bx．
（1）若此抛物线与直线y＝x只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点（3，0）．
①求此抛物线的解析式；
②以y轴上的点P（0，n）为中心，作该抛物线关于点P对称的抛物线y'，若这两条抛物线有公共点，求n的取值范围；
（2）若a＞0，将此抛物线向上平移c个单位（c＞0），当x＝c时，y＝0；当0＜x＜c时，y＞0．试比较ac与1的大小，并说明理由．
25．如图，在四边形中，，，在上方取点，使得，且．
(1)证明：B，C，E三点共线．
(2)取中点F，连接．
①探究线段，，之间的数量关系，并给出证明．
②延长，相交于点M，若，则四边形面积的最大值为 ．
册数册
1
2
3
4
5
人数人
2
5
7
4
2
《广东省广州市广东实验中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题》参考答案
1．A
解：、是无限不循环小数，属于无理数，故此选项符合题意；
、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
、0是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
、是负整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
故选：．
2．B
解：这个几何体的俯视图为
故选：B．
3．A
∵在实数范围内有意义，
∴x−2≥0，解得x≥2．
故选：A．
4．D
解：A．，故原式不正确；
B．，故原式不正确；
C．，故原式不正确；
D．，正确；
故选D．
5．B
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：B．
小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．D
解：点和是反比例函数图象上的两个点，
当时，，
时，随的增大而增大，
，
一次函数的图象经过的象限是：
第二、三、四象限．
故选：D．
7．D
解：过点作轴于点，则，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点，点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
8．B
解：原来所用的时间为：，实际所用的时间为：．
故所列方程为：．
故选：B．
9．D
解：∵
∴
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴
∵是半圆的直径，
∴
∴
∴
∴
∴，
故选：D．
10．B
延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F，
设A、B的横坐标分别是a，b，
∵点A、B为直线y=x上的两点，
∴A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）．则AE=OE=a，BF=OF=b，
∵过A、B两点分别作y轴的平行线交双曲线（x＞0）于点C、D两点，
∴C（a，），D（b，），
∴AC=a-，BD=b-，
∵BD=2AC，
∴b-=2（a-），
∴，
∴，
在直角△OCE中，OC2=OE2+CE2=，
同理OD2=，
∴4OC2﹣OD2=4（）-（）=6，
故选：B
11．
解：将数据用科学记数法表示为，
故答案为：．
12．
解：由题意得抛物线的对称轴，
又，
∴抛物线开口向上．
∴当时y随x的增大而减小．
∴对于A、B当时，．
故答案为：．
13．130
解：（人，
即估计八年级四月份读书册数不少于3本的人数约有130人．
故答案为：130．
14．4.6
解：如图所示，表示水平地面，表示小丽所占的位置，表示大树，
过点作于，则四边形是矩形，
，，
在中，，，
，
，
树高是米．
故答案为：4.6．
15．/
解：，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
16．-7．
解：点C横坐标最小时，顶点在A点，
则函数的表达式为：y=a（x+1）2+2，
此时点C（-2，0），
则函数的表达式为：y=a（x+1）2+2，
将点C的坐标代入上式并解得：a=-2，
当顶点在B处时，a-b+c值最小
则抛物线的表达式为：y=-2（x-1）2+1，
当x=-1时，y1=a-b+c=-7，
故答案为：-7．
17．x1=1，x2=．
移项得：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，（x﹣1）（3x﹣2）=0，x﹣1=0，3x﹣2=0，∴x1=1，x2=．
18．平行，理由见解析．
答：平行．
理由：，
．
，
．
在和中，，
，
，
．
19．，
解：原式
，
当时，
原式
．
20．cm
解：设圆锥的底面圆的半径为r cm，
根据题意得2πr＝，
解得r＝6，
所以这个圆锥的高＝（cm）．
21．(1)100，补全图形见解析
(2)
(3)甲和乙同学同时被选中的概率为
（1）解：本次被调查的学生人数为（名）．
选择“足球”的人数为（名）．
补全条形统计图如下：
．
（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数为．
（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为．
22．(1)
(2)或
(3)
（1）解：直线与双曲线交于A、B两点，
∴A、B关于原点对称，
，
，
在双曲线上，
，
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）∵，
∴不等式的解集为：或 ；
（3）方法一：连接，作轴于G，
在直线上，
，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直线CD的表达式为．
方法二：
连接BF，作轴于，
在直线上，
，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
∴设直线的表达式为，
在直线上，
，
，
∴直线的表达式为．
23．(1)见解析
(2)①见解析；②
（1）解：设平移到，在地面上形成的影子为．
，
，，，
，，，
，
，
，
沿着方向平移时，长度不变．
（2）解：①以为圆心，长为半径画圆，
当与相切于时，此时最大为．
此时所在位置为．
②，，
，
，
设，则，
在中，
，
，
，
，（舍去），
，
由①，
，
，
即的长度的最大值为，
故答案为：80．
24．（1）①；②n≤0；（2）ac≤1，见解析.
解：（1）①ax2﹣bx＝x，ax2﹣（b+1）x＝0，
△＝（b+1）2＝0，b＝﹣1，
平移后的抛物线y＝a（x﹣1）2﹣b（x﹣1）过点（3，0），
∴4a﹣2b＝0，
∴a＝﹣，b＝﹣1，
原抛物线：y＝﹣x2+x，
②其顶点为（1，）关于P（0，n）对称点的坐标是（﹣1，2n﹣），
∴关于点P中心对称的新抛物线y'＝（x+1）2+2n﹣＝x2+x+2n．
由得：x2+2n＝0有解，所以n≤0．
（2）由题知：a＞0，将此抛物线y＝ax2﹣bx向上平移c个单位（c＞0），
其解析式为：y＝ax2﹣bx+c过点（c，0），
∴ac2﹣bc+c＝0 （c＞0），
∴ac﹣b+1＝0，b＝ac+1，
且当x＝0时，y＝c，
对称轴：x＝，抛物线开口向上，画草图如右所示．
由题知，当0＜x＜c时，y＞0．
∴≥c，b≥2ac，
∴ac+1≥2ac，ac≤1；

25．(1)见解析
(2)①；②
（1）如图所示，过点C作交于点G
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴B，C，E三点共线；
（2）①如图所示，延长至点H，使，连接，，，
∵
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴
∵是等腰直角三角形
∴
∴
∵
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∵点F是的中点，
∴
∴；
②如图所示，过点M作交于点N，
∵
∴
∴四边形面积
∴当最大时，四边形面积最大
∵
∴点A，B，C，D四点共圆
∴
由（2）可得，是的中位线
∴
∴
∴点M的轨迹是以为弦的圆弧
∴当点M运动到点位置时，的长度最大，即的长度，
设以为弦的圆弧的圆心为O
∴
∵
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴的最大值为
∴四边形面积的最大值．