广东省广州市广东实验中学2023_2024学年九年级下学期3月月考数学试卷

这是一份广东省广州市广东实验中学2023_2024学年九年级下学期3月月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了在四个数，中，是无理数的为，下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．在四个数，中，是无理数的为
A．B．C．0D．
2．将一个长方体沿四条棱切割掉一个三棱柱后，得到如图所示的几何体，则该几何体的俯视图是
A．B．
C．D．
3．若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是
A．B．C．D．
5．将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是
A．
B．
C．
D．
6．设点，和，是反比例函数图象上的两个点，当时，，则一次函数的图象经过
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
7．如图，在平面直角坐标系中，点，点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为
A．5B．C．D．
8．“”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修米，所列方程正确的是
A．B．
C．D．
9．如图，是半圆的直径，的平分线分别交弦和半圆于和，若，，则长为
A．2B．C．D．
10．如图，点、为直线上的两点，过、两点分别作轴的平行线交双曲线于点、两点．若，则的值为
A．5B．6C．7D．8
二．填空题（每题3分，共18分）
11．最近正值气温骤降感冒高发期，感冒病毒极易传染，同学们注意防寒保暖，其中有一种感冒病毒直径约为0.00000036毫米，将数据0.00000036用科学记数法表示为 ．
12．已知点，，，在抛物线上，且，则 （填“”或“”或“”
13．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解九年级200名学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如表：根据统计表中的数据估计九年级四月份读书册数不少于3本的人数约有 人．
14．小丽设计了一种测量树高的方法：她将一根细线的一端固定在半圆形量角器的圆心处，在细线的另一端处系一个小重物，制成了一个简单的测角仪（如图；将此测角仪放在眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点（如图2，图；小丽眼睛（即点离地1.5米，现测得，小丽与树的水平距离是5米，则树高是 米．（结果保留一位小数，参考数据：，，
15．如图，中，，，垂足为，点，分别是，边上的动点，，若，，那么与的比值是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为、．抛物线与轴交于、两点，点在点左侧，当顶点在线段上移动时，点横坐标的最小值为．在抛物线移动过程中，的最小值是 ．
三．解答题（共72分）
17．（4分）解方程：．
18．（4分）某海边公园一“帆船造型”景点的设计如图所示，其中点，，，在同一条直线上．若，，，那么与平行吗？为什么？
19．（6分）先化简，再求值：，其中．
20．（6分）如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为多少？
21．（8分）2022年虎年新春，中国女足逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军；2022年国庆，中国女篮高歌猛进，时隔28年再夺世界杯亚军，一扫男足、男篮颓势，展现了中国体育的风采为了培养青少年人才储备，某初中开展了“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 名；补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是 ；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．
22．（10分）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，的横坐标为，的纵坐标为．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）观察图象，直接写出不等式的解集．
（3）将直线向上平移个单位，交双曲线于、两点，交坐标轴于点、，连接、，若的面积为20，求直线的表达式．
23．（10分）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），．
（1）在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变．
（2）桌面上一点恰在点的正下方，且，，，桌面的高度为．在点与所确定的平面内，将绕点旋转，使得的长度最大．
①画出此时所在位置的示意图；
②的长度的最大值为 ．
24．（12分）已知抛物线．
（1）若此抛物线与直线只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点．
①求此抛物线的解析式；
②以轴上的点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线，若这两条抛物线有公共点，求的取值范围；
（2）若，将此抛物线向上平移个单位，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由．
25．（12分）如图，在四边形中，，＝＝90°，在上方取点，使得＝＋45°，且．
（1）证明：B，C，E三点共线．
（2）取DE中点F，连接．
①探究线段，，之间的数量关系，并给出证明．
②延长，相交于点M，若，则四边形面积的最大值为 ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在四个数，中，是无理数的为
A．B．C．0D．
【解答】解：．是无理数，故本选项符合题意；
．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：．
2．将一个长方体沿四条棱切割掉一个三棱柱后，得到如图所示的几何体，则该几何体的俯视图是
A．B．
C．D．
【解答】解：这个几何体的俯视图为，
故选：．
3．若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得．
故选：．
4．下列计算正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项符合题意；
故选：．
5．将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
6．设点，和，是反比例函数图象上的两个点，当时，，则一次函数的图象经过
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
【解答】解：点，和，是反比例函数图象上的两个点，当时，，
时，随的增大而增大，
，
一次函数的图象经过的象限是：第二、三、四象限．
故选：．
7．如图，在平面直角坐标系中，点，点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为
A．5B．C．D．
【解答】解：过点作轴的垂线，垂足为，
，
，
又，
，
．
在和中，
，
，
，．
又，，
，，
所以点坐标为，
则，．
在中，
．
故选：．
8．“”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修米，所列方程正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：原来所用的时间为：，实际所用的时间为：．
故所列方程为：．
故选：．
9．如图，是半圆的直径，的平分线分别交弦和半圆于和，若，，则长为
A．2B．C．D．
【解答】解：如图，连接交于点，
是半圆的直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，，
，
．
故选：．
10．如图，点、为直线上的两点，过、两点分别作轴的平行线交双曲线于点、两点．若，则的值为
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：延长交轴于，延长交轴于．
设、的横坐标分别是，，
点、为直线上的两点，
的坐标是，的坐标是．则，．
、两点在交双曲线上，则，．
，．
又
，
两边平方得：，即．
在直角中，，同理，
．
故选：．
二．填空题（共6小题）
12．最近正值气温骤降感冒高发期，感冒病毒极易传染，同学们注意防寒保暖，其中有一种感冒病毒直径约为0.00000036毫米，将数据0.00000036用科学记数法表示为 ．
【解答】解：将数据0.00000036用科学记数法表示为，
故答案为：．
13．已知点，，，在抛物线上，且，则 （填“”或“”或“”
【解答】解：由题知，
抛物线的开口向上，且以轴为对称轴，
所以在对称轴左侧抛物线上的点，随的增大而减小．
因为，
所以．
故答案为：．
14．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级200名学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如表：根据统计表中的数据估计八年级四月份读书册数不少于3本的人数约有 130 人．
【解答】解：（人，
即估计八年级四月份读书册数不少于3本的人数约有130人．
故答案为：130．
14．小丽设计了一种测量树高的方法：她将一根细线的一端固定在半圆形量角器的圆心处，在细线的另一端处系一个小重物，制成了一个简单的测角仪（如图；将此测角仪放在眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点（如图2，图；小丽眼睛（即点离地1.5米，现测得，小丽与树的水平距离是5米，则树高是 米．（结果保留一位小数，参考数据：，，
【解答】解：如图所示，表示水平地面，表示小丽所占的位置，表示大树，
过点作于，则四边形是矩形，
，，
在中，，，
，
，
树高是．
15．如图，中，，，垂足为，点，分别是，边上的动点，，若，，那么与的比值是 ．
【解答】解：中，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
15．如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为、．抛物线与轴交于、两点，点在点左侧，当顶点在线段上移动时，点横坐标的最小值为．在抛物线移动过程中，的最小值是 ．
【解答】解：点横坐标最小时，顶点在点，
则函数的表达式为：，
此时点，
将点的坐标代入上式并解得：，
当顶点在处时，值最小，
则抛物线的表达式为：，
当时，，
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
17．解方程：．
【解答】解：移项得：，
，
，，
，．
18．某海边公园一“帆船造型”景点的设计如图所示，其中点，，，在同一条直线上．若，，，那么与平行吗？为什么？
【解答】解：，理由如下：
，
．
，
．
在和中，
，
，
．
19．先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
20．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为多少？
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
所以这个圆锥的高．
21．2022年虎年新春，中国女足逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军；2022年国庆，中国女篮高歌猛进，时隔28年再夺世界杯亚军，一扫男足、男篮颓势，展现了中国体育的风采为了培养青少年人才储备，某初中开展了“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 100 名；补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是 ；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．
【解答】解：（1）本次被调查的学生人数为（名．
选择“足球”的人数为（名．
补全条形统计图如下：
故答案为：100；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为．
故答案为：．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
甲和乙同学同时被选中的概率为．
22．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，的横坐标为，的纵坐标为．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）观察图象，直接写出不等式的解集．
（3）将直线向上平移个单位，交双曲线于、两点，交坐标轴于点、，连接、，若的面积为20，求直线的表达式．
【解答】解：（1）正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
、关于原点对称，
的横坐标为，的纵坐标为，
，，
点在反比例函数的图象上，
，
，
反比例函数的表达式为；
（2）观察函数图象，可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象下方，
不等式的解集为或；
（3）方法一：连接，作轴于点，
在直线上，
，解得，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
，
直线为．
方法二：
连接，作轴于，
在直线上，，
直线的表达式为，
，，
，，
，，，
设直线的表达式为，
代入点的坐标得，，解得，
直线为．
23．如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），．
（1）在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变．
（2）桌面上一点恰在点的正下方，且，，，桌面的高度为．在点与所确定的平面内，将绕点旋转，使得的长度最大．
①画出此时所在位置的示意图；
②的长度的最大值为 80 ．
【解答】解：（1）设平移到，在地面上形成的影子为．
，
，
，
，
，，，
，
，
，
沿着方向平移时，长度不变．
（2）①以为圆心，长为半径画圆，
当与相切于时，此时最大为．
此时所在位置为．
②，，
，
，
设，则，
在中，
，
，
，
，（舍去），
，
由①，
，
，
即的长度的最大值为．
24．已知抛物线．
（1）若此抛物线与直线只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点．
①求此抛物线的解析式；
②以轴上的点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线，若这两条抛物线有公共点，求的取值范围；
（2）若，将此抛物线向上平移个单位，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由．
【解答】解：（1）①，，
△，，
平移后的抛物线过点，
，
，，
原抛物线：，
②其顶点为关于对称点的坐标是，
关于点中心对称的新抛物线．
由得：有解，所以．
（2）由题知：，将此抛物线向上平移个单位，
其解析式为：过点，
，
，，
且当时，，
对称轴：，抛物线开口向上，画草图如右所示．
由题知，当时，．
，，
，；
25．（12分）如图，在四边形中，，＝＝90°，在上方取点，使得＝＋45°，且．
（1）证明：B，C，E三点共线．
（2）取DE中点F，连接．
①探究线段，，之间的数量关系，并给出证明．
②延长，相交于点M，若，则四边形面积的最大值为 ．
【解答】解：（1）证明：连接BD，
∵，＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝45°， .
又，∴.
∵＝＋45°，＝＋∠ACB＝＋45°，
∴＝.
∵＝＝90°，∴A，B，C，D四点共圆，
∴＋∠DCB＝180°，∴＋＝180°.
∴B，C，E三点共线．
（2）①＋＝.
②略
册数册
1
2
3
4
5
人数人
2
5
7
4
2
册数册
1
2
3
4
5
人数人
2
5
7
4
2