2025年中考第二次模拟考试卷：数学（青岛卷）（解析版）

这是一份2025年中考第二次模拟考试卷：数学（青岛卷）（解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题请用直尺等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．自2025年1月11日，全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月28日单日下载峰值冲至11040000次，创下全球AI应用单日下载量新纪录．11040000用科学记数法可表示为（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】D
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可．
【详解】解：11040000用科学记数法可表示为，
故选：D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意．
故答案为：B．
3．如图，数轴上点 A 表示的数是（ ）
A．3B．3的相反数C．3的绝对值D．3的倒数
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴，相反数的意义，绝对值的定义以及倒的定义，数轴上点 A 表示的数是，根据相反数的定义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由题可知，数轴上点 A 表示的数是，即3的相反数，
故选：B．
4．若一个机器零件放置位置如图1所示，其主（正）视图如图2所示，则其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由几何体和它的主视图可知，该几何体由一个小长方体和一个大长方体组成，且小长方体位于大长方体上方的中间位置，所以该几何体的俯视图是D.
故选D.
5．下列计算正确的是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据单项式的除法法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则和合并同类项法则依次判断即可．
【详解】解：A、等式左边，故运算正确，符合题意；
B、等式左边，故运算不正确，不符合题意；
C、等式左边，故运算不正确，不符合题意；
D、等式左边，故运算不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了单项式的除法法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则和合并同类项法则，解题关键是牢记运算法则．
6．如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为．将绕点逆时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转变换的图形变化与坐标的关系，根据旋转的性质，旋转前后两图形的大小不变是解题的关键． 根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，可知点C的横坐标的长度等于，纵坐标的长度等于，然后根据点A的坐标进行计算即可求解．
【详解】解：设，
点的坐标为，
，
将绕点逆时针旋转90°，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
7．如图，边长相等的正五边形和正边形（）拼接在一起，则度数可能是（ ）
A．54°B．30°C．24°D．18°
【答案】C
【分析】本题考查了多边形内角和公式，等腰三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．先由内角和公式得出与的度数，再求出的度数，最后根据，可知，即可求出的度数．
【详解】解：根据题意，，
且为整数，
若，则
故选：C．
8．如图，在中，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点E逆时针旋转后得线段，分别以为圆心，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理，扇形的面积公式为．作于H，根据勾股定理求出，根据阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积、利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：作于H，如图所示：
∵，，，
∴，
由旋转，得，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积
．
故选：D．
9．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键．
①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，则，
∵对称轴为直线，则，
∴，故②正确
抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
∵当时，取得小值，
∴，
当m为任意实数，则，故③正确，
④∵抛物线关于对称，
∴和的函数值相同，
即：，
由图象知，当时，函数值大于0，
∴，故④正确；
⑤当关于对称时：即：时，
对应的函数值相同，
即：，
∴
∴若，且，则；故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10． ．
【答案】3
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，正确求解是解答的关键．先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，再加减运算即可．
【详解】解：
，
故答案为：3．
11．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为8.8环，方差分别为，，，，则四人中成绩最稳定的是 ．
【答案】乙
【分析】此题考查了方差的意义，方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的稳定性，方差越小，说明数据越稳定，据此进行判断即可 ．
【详解】∵，即，
∴四人中成绩最稳定的是乙．
故答案为：乙
12．四边形是菱形，E是的中点，连接交延长线于点C，连接．若，，则的长等于 ．
【答案】
【分析】由菱形的性质得，，则，所以，则，所以，由，可证明是等边三角形，则，可求得，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：四边形是菱形，
，，
，
是的中点，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角形函数与解直角三角形等知识，证明是解题的关键．
13．为了喜迎元旦，某区筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块正方形的广场空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为6米，中间空白的面积为216平方米，若设正方形空地的边长为x米，则可列方程 ．

【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的应用．若设正方形空地的边长为x米，则中间空白的长为米，宽为米，根据长方形面积公式即可列出方程．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为：．
14．如图，，，以为直径作半圆O，P为弧上一点，且最大，延长、，交于点D．则的值为 ．
【答案】/0.6
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，切线长定理，根据切线的性质和判定得到，利用切线长定理得到，证明，设，，则，利用相似的性质得到，进而得到，再根据正弦的定义求解，即可解题．
【详解】解：连接，
P为弧上一点，且最大，
，，
，
与圆相切于点，与圆相切于点，
，，
，
，
，
，
设，，则，
，
，，
，
，
，
，
．
15．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧而和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是 ．（填序号）
①2022 ②2021 ③2020 ④2019 ⑤2018
【答案】③
【分析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可．
【详解】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，
根据题意得，
两式相加得，m+n=5（x+y），
∵x、y都是正整数，
∴m+n是5的倍数，
∵①2022、②2021、③2020、④2019、⑤2018五个数中只有2020是5的倍数，
∴m+n的值可能是2020．
故答案为：③．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据未知数系数的特点，观察出所需两种纸板的张数的和正好是5的倍数是解题的关键．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
16．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：和线段a．求作：，使它与的两边相切，半径等于线段a．
【答案】图见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图，根据与的两边相切，得到圆心在的角平分线上，作的角平分线，在上找一点，过点作的垂线，以点为圆心，线段的长为半径，画弧，交垂线于点，过点，作的垂线，交于点，再以点为圆心，线段的长为半径，画圆即可．
【详解】解，如图，即为所求．
三、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（9分）（1）化简：
（2）求不等式组的整数解．
【答案】（1）（2）；
【分析】本题主要考查分式的化简运算，不等式组的解法；
（1）根据分式的混合运算法则进行计算即可；
（2）先求出不等式组的解集，再求整数解即可．
【详解】解：（1）原式
．
（2），
由①得：
解得：，
由②得：
解得：，
该不等式组的解集为：
该不等式组的整数解为：．
18．（6分）为缓解交通高峰期学校周边交通拥堵问题，学校对学生到校方式做了抽样调查，经调查学生主要有步行、乘私家车、乘学生班车、骑自行车等四种到校方式．根据调查结果绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
(1)此次共调查了多少名同学？
(2)将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中骑自行车方式到校部分的圆心角度数；
(3)如果该校共有名学生，学校通过动员希望乘坐私家车到校的有改乘学生班车，从安全考虑，每辆学生班车可以乘坐30名学生，那么估计学校至少需要安排多少辆班车？
【答案】(1)200名
(2)图见解析，
(3)至少需要11辆车
【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图信息关联．
（1）用步行的人数除以对应的百分比即可；
（2）求出骑自行车人数，补全统计图，再用骑自行车的百分比乘以即可得到答案；
（3）求出原来坐班车人和后来私家车改乘班车人数的和，再除以30即可得到答案．
【详解】（1）解：（人）
答：此次共调查了200名同学；
（2）骑自行车人数为：（人）
补全统计图如下：
即扇形统计图中骑自行车方式到校部分的圆心角度数为；
（3）（人）
……15人
答：至少需要11辆车
19．（6分）在一次数学活动中，小明设计了一个配紫色的游戏．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除颜色以外其它均相同的4个小球，其中2个红球，2个蓝球．甲先从袋中随机摸出一个小球，乙再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球的颜色恰好能配成紫色（红色和蓝色可以配成紫色），则甲获胜；否则乙获胜．
(1)用树状图或列表法求出甲获胜的概率；
(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不公平，理由见解析
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据题意先画出树状图，得出一共有12种情况，两个小球的颜色恰好能配成紫色的有8种情况，即可求出甲获胜的概率；
（2）求出乙获胜的概率，再与甲比较即可．
【详解】（1）解：由题意，列表格得：
∵共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中甲获胜的有8种，
∴甲获胜的概率是：；
（2）不公平，理由如下：
由（1）知，
∵，
∴这个游戏不公平．
20．（6分）阿代的数学研学日记
请你回答阿代的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由．
（参考数据：，，；，，）
【答案】；旗杆高度可求，为米
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，相似三角形的应用，解决本题的关键是要熟练掌握解直角三角形的方法．
（1）首先证明出，得到，然后代入即可求出；
（2）如图所示，过点H，作于N，设米，解直角三角形得到的长，进而求解即可．
【详解】（1）解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以；
（2）如图所示，过点H，作于N，
设米，
米，
在中，，
，
在中，，，
，
，
，
解得：，
答：旗杆高度可求，为米．
21．（8分）某校计划组织开展“劳动技能”比赛活动，活动计划评出100名获奖参赛个人，并设立一、二、三等奖，分别奖励一件A、B、C三种价格不同的奖品．已知购买1件A奖品和2件B奖品共63元；购买2件A奖品和3件B奖品共108元．设获一、二、三等奖的人数分别为a，b，c，且，．
(1)求A奖品和B奖品的单价；
(2)因购买数量较多，商家同时给予以下两种优惠：
①每购买1件A奖品赠送2件C奖品；
②购买A奖品15件以内（含15件）按原价，超过15件时，每多购买一件，所有A奖品的单价降低0.2元（单价最多降低4元）．已知C奖品的单价是10元，赠送的C奖品不足以奖励所有获得三等奖的学生，需要再购买一部分C奖品．问：怎样设置一等奖人数使购买方案最省钱？并求出购买奖品费用的最小值．
【答案】(1)A奖品的单价为27元，B奖品的单价为18元
(2)设置一等奖16人可使购买方案最省钱，购买奖品费用的最小值为1140.8元
【分析】本题考查二次函数、二元一次方程组和一元一次不等式的应用，掌握二元一次方程组和一元一次不等式的解法和二次函数最值的求法是解题的关键．
（1）设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元，根据“奖品的单价奖品的数量奖品的单价奖品的数量金额”列方程组并求解即可；
（2）根据题意，得三等奖的人数为人.设购买奖品费用为元，根据“购买奖品费用奖品的单价购买奖品的数量比件多出的件数购买奖品的数量奖品的单价购买奖品的数量奖品的单价购买奖品的数量购买奖品的数量”写出关于的函数关系式，然后求出的取值范围，然后根据函数性质得到最值解题即可．
【详解】（1）解：设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元．
根据题意，得，
解得，
∴A奖品的单价为27元，B奖品的单价为18元．
（2）解：根据题意，得三等奖的人数为人．
设购买奖品费用为w元，则，
，
解得，
∵，
∴，
∵，且a为整数，
∴当时，w最小，，
∴设置一等奖16人可使购买方案最省钱，购买奖品费用的最小值为1140.8元．
22．（8分）如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接．
(1)求k的值；
(2)求的面积；
(3)连接，直接写出的面积．
【答案】(1)6
(2)
(3)
【分析】本题考查反比例函数解析式，反比例函数k的几何意义．掌握反比例函数图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）延长交y轴、x轴分别为A、B，得到，进而得到，求出即可求解；
（3）根据题意得到，由即可求解．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
k的值为6；
（2）解：如图，延长交y轴、x轴分别为A、B，
∵点
∴，
∵点M、点N在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
的面积为；
（3）解：的面积为．理由：
∵点M、点N在反比例函数的图象上，
∴，
∴
，
的面积是．
23．（8分）如图，中，，相交于点，，分别是，的中点．
(1)求证：；
(2)当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，四边形是矩形，理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证；
（2）先根据矩形的判定可得当时，四边形是矩形，再根据线段中点的定义、平行四边形的性质可得，由此即可得出结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
分别是，的中点，
，
四边形是平行四边形，
．
（2）解：由（1）已证：四边形是平行四边形，
要使平行四边形是矩形，则，
，
，即，
，
故当时，四边形是矩形．
24．（10分）如图1，为打造旅游休闲城市，某地在地面上沿绿道旁的母亲河打造喷水景观，喷出的水柱为抛物线，为保持路面干燥，水柱要喷入河中，图2是其截面图，已知路面宽为3.5米，河道坝高为5米，B与A的水平距离为2.5米．当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离路面距离的最大值为3米，以点O为坐标原点，射线为x轴正方向建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少米？
(3)水柱落入水中会荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上，当河水降至离路面距离为多少时，水柱刚好落在水面上？
【答案】(1)
(2)米
(3)米
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能运用待定系数法求解析式是关键．
（1）依据题意得：二次函数的顶点坐标为．故设该二次函数的解析式为：，再结合经过原点，求出a即可得解；
（2）依据题意，由（1）该二次函数的解析式为：，从而可得当时，，进而可以判断得解；
（3）依据题意，可得，B的坐标为，再设的解析式为，建立方程组可得k，b进 而可得直线，再与抛物线解析式建立方程组，进而计算可以判断得解．
【详解】（1）解：由题意得：二次函数的顶点坐标为．
设该二次函数的解析式为：
二次函数经过原点，
解得：
该二次函数的解析式为：；
（2）解： 当时，
答：护栏的最大高度为米．
（3）解：点的坐标为，点的坐标为
设的解析式为
解得：
解得：（不合题意，舍去），
当时，
答：河水降至离路面距离米时，水柱刚好落在水面上．
25．（10分）已知：如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，点P从点C出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向匀速运动，速度为．过点Q作，交于点M，连接，分别交于点E，F．设运动时间为，解答下列问题：
(1)当t为何值时，？
(2)设的面积为，求S与t的函数关系式．
(3)是否存在某一时刻t，使将分成和四边形面积比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(4)延长交于点N，是否存在某一时刻t，使点P在线段的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
(4)
【分析】（1）根据矩形的性质得出，，再根据平行线分线段成比例定理得出，从而得出，然后根据根据平行分线段即可得出答案；
（2）过点作于点，交于点，根据相似三角形的判定及性质得出，从而得出，再根据代入化简即可得出答案；
（3）首先得，然后证明出，得到，然后证明出，得到，然后代数求解即可．
（4）连接，过点作于点，根据垂直平分线的性质得出，再根据平行线分线段成比例定理得出，然后根据勾股定理求解即可得出答案．
【详解】（1）四边形是矩形，
，，
，
，
即，
，
，
若，则，即，
解得：，
即当为时，；
（2）如图1，过点作于点，交于点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
．
与的函数关系式为；
（3）存在某一时刻，使将分成和四边形面积比为，
理由如下：
若和四边形面积比为，则，
∵，
∴，，
∴，
∴与的相似比为，
即，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴存在某一时刻，使将分成和四边形面积比为，t的值为；
（4）如图2，连接，过点作于点，
点在线段的垂直平分线上，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得（舍去），，
答：为时，在线段的垂直平分线上．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质、垂直平分线的性质，二次函数的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
甲
乙
红1
红2
蓝1
蓝2
红1
（红1，红2）
（红1，蓝1）
（红1，蓝2）
红2
（红2，红1）
（红2，蓝1）
（红2，蓝2）
蓝1
（蓝1，红1）
（蓝1，红2）
（蓝1，蓝2）
蓝2
（蓝2，红1）
（蓝2，红2）
（蓝2，蓝1）
课题：测量旗杆的高度
地点：青岛市山海二十六中学操场
时间：2025月3月2日
昨天上午代兴国老师要带我们去操场测量旗杆的高度，昨天我们小组设计了一个方案，方案如下：小亮拿着标杆垂直于地面放置，我和小聪用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所示，标杆，影长，旗杆的影长，则可求得旗杆的高度为_______．
今天测量时阴天就不能用昨天的方案了，如图2所示，张世昌老师将升旗用绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地面的夹角为，然后又将绳子拉到一个0.5米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台，剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为，利用这些数据能求出旗杆的高度吗？