2025年中考第二次模拟考试卷：数学（长沙卷）（解析版）

这是一份2025年中考第二次模拟考试卷：数学（长沙卷）（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．如果与互为相反数，那么的值是（ ）
A．B．C．D．2025
【答案】D
【分析】此题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义．
根据相反数的定义解答即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
故选：D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方，解题的关键是：掌握相关的运算法则．直接利用同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方直接求解即可．
【详解】解：A、，不是同类项，不能合并，选项不符合题意；
B、，选项不符合题意；
C、，选项符合题意；
D、，选项不符合题意；
故选：C．
3．长沙市因地制宜，大力发展新质生产力，眼下长沙跻身“数字经济新一线城市”，数字经济总量达450000000000元，数据450000000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据450000000000用科学记数法表示为．
故选：B．
4．如图，几何体是由一个圆锥和一个长方体组成，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据从正面看长方体和圆锥得到的图形，可得答案．
【详解】解：从正面看，“底座长方体”看到的图形是矩形，“上部圆锥体”看到的图形是等腰三角形，且等腰三角形的底边长度小于矩形的边长，
因此选项A的图形符合题意，
故选A．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】此题考查解一元一次不等式组，求出每个不等式的解集，把解集表示在数轴上，写出不等式组的解集即可.
【详解】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集在数轴上表示为
∴不等式组的解集为，
故选：B
6．湖南是著名的吃货大省，“臭豆腐”、“口味虾”、“酱板鸭”、“茶颜悦色”更是声名远扬。若随机从上面美食中选择两种进行品尝，则选中“臭豆腐”和“茶颜悦色”这个组合的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查画树状图法求概率，先画出相应的树状图，得共有12种等可能结果，小明选中“臭豆腐”和“茶颜悦色”这个组合的结果有2种，再求出相应的概率，即可作答．
【详解】解：依题意，把“臭豆腐”、“口味虾”、“酱板鸭”、“茶颜悦色”分别记为画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，小明选中“臭豆腐”和“茶颜悦色”这个组合的结果有2种，则选中“臭豆腐”和“茶颜悦色”这个组合的概率是．
故选：B
7．如图，，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，，若，，则的长为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】C
【分析】本题考查了平行线截线段成比例，分式的性质，掌握其计算方法是解题的关键．
根据题意可得，，由此代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得，，
当时，原分式有意义，
∴的长为，
故选：C ．
8．如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若．则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键；
首先利用圆的半径相等得，利用三角形的内角和定理求得∠，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得，最后利用圆的内接四边形对角互补求得．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，长沙市某工厂自今年1月开始限产进行技术升级。其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，完成后是一次函数图像的一部分，下列选项正确的是（ ）
A．月份的利润为万元
B．月份该厂利润达到万元
C．技术升级完成前后共有个月的利润低于万元
D．技术升级完成后每月利润比前一个月增加万元
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的综合，根据题意，分别求出一次函数、反比例函数解析式，结合图示中的信息代入求值比较即可求解．
【详解】解：∵技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，设反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
当时，，即，
∵完成后是一次函数图像的一部分，设一次函数解析式为，且点、在一次函数图象上，
∴，
解得，，
∴一次函数解析式为，
∴A、月份的利润为万元，原选项错误，不符合题意；
B、当时，（万元）万元，原选项错误，不符合题意；
C、∵完成后是一次函数图像的一部分，
∴，
解得，，且，
∴5月的利润低于万元；
技术升级完成前利用为100万元时，，则当时，这两个月的利润低于100万元；
∴技术升级完成前后有3月、4月、5月共3个月的利润低于 万元，故原选项错误，不符合题意；
D、技术升级完成后的利润为，
∴（万元），
∴技术升级完成后每月利润比前一个月增加 万元，故原选项正确，符合题意；
故选：D ．
10．将1，2，3 … n这n个数据顺时针排成一圈，从1开始，顺时针方向采取保留一个划去一个的规则，直至只留下一个数，将这个数记为．当n取不同值时，可得到对应情况下的，并将所有形成一组新数据．下列说法中，正确的个数为（ ）
①无论n为多少，一定为奇数；
②；
③记的前n项和为，则；
④当n从1取到18时，将形成的新数据依次顺时针排成一圈，从开始，再进行同一种操作，最后留下来的数为3．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】本题考查的是新定义的含义，运算推理的探究，掌握探究的方法是解本题的关键，先分别求解当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，当时，剩下，再进一步推理探究即可．
【详解】解：当时，剩下，
当时，剩下，
当时，剩下，
当时，剩下，
当时，剩下，
当时，剩下，
当时，剩下，
当时，剩下，
当时，剩下，
归纳可得：第一圈划去的都是偶数，最后剩下的一定是奇数，故①符合题意；
当时，第一圈把偶数都划去了，剩下8个数，最后剩下1，
∴，故②符合题意；
由①的方法可得：
，
∴，故③符合题意；
当n从1取到18时，将形成的新数据依次顺时针排成一圈，从开始，再进行同一种操作，最后留下来的数是，而，故④符合题意；
故选D
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式先提公因式，再用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：
故答案为．
12．已知关于x的方程有增根，则m的值为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了分式方程的增根，掌握增根的定义成为解题的关键．
由题意可知关于x的方程的增根为，再将分式方程化成整式方程，然后将代入求出m的值即可．
【详解】解：∵关于x的方程有增根，
∴是该分式方程的增根，
将分式方程化为整式方程为，
将代入可得：，即．
故答案为1．
13．一个小组共有名学生，在体育课的一次“定位投篮”的测试中，他们分别投了个，这个学生这次测试成绩的方差为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了方差，先求出数据的平均数，再利用方差公式计算即可求解，掌握方差公式是解题的关键．
【详解】解：这组数据的平均数，
∴方差，
故答案为：．
14．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，直线与相交于点，连接，若，则的长是 ．

【答案】
【分析】本题考查了作图基本作图，尺规作图、线段垂直平分线的性质．根据题意可知：是线段的垂直平分线，所以，再判断出，于是．
【详解】解：由已知可得，是线段的垂直平分线，

设与的交点为，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
15．如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题．
如图，连接，，证明，、C、B共线，再根据解题即可．
【详解】解：如图，连接，，
设菱形的边长为，由题意得，，，，
则，
∴，
∵，
∴，
∴、、共线，
在中，
．
故答案为：．
16．琮为内圆外方之器，如图1，此玉琮素面琢磨细腻，色泽温润，两端射口稍露，比例恰到好处．图2是“琮”的横截面示意图，其“外方”是一个正方形，“内圆”圆O的圆心与正方形的中心重合，正方形的四个角上各有一个腰长为的等腰直角三角形，圆O与其斜边相切，若圆O的半径为，则正方形的边长为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了正方形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，三角函数，熟练掌握以上性质是解题的关键；连接，根据正方形的性质，等腰三角形的性质可得，由切线的性质，可得，再由正方形的性质求解即可；
【详解】如图，连接，设与交于点M，
是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在中，，
圆O与正方形的四个角上的等腰直角三角形的斜边相切，
，
，
是正方形，O是正方形的中心，
，
，
故答案为：10
三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分第 22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤)
17．计算：．
【答案】
【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再计算加减法即可．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键．
18．先化简，再求值：，其中，．
【答案】 ；
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案．
【详解】原式
,
当 时,
原式 ．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算二次根式的运算，正确合并同类项是解题关键．
19．如图所示的图案是由正方形和三角形组成的，有着一定的规律，请完成下列问题：
(1)第4个图案中，三角形有______个，正方形有______个；
(2)若用字母分别代替三角形和正方形，则第1、第2个图案可表示为多项式则第5个图案可表示为多项式______；
(3)在（2）的条件下，若第5个图案所表示的多项式值为90，且求的值．
【答案】(1)16，16
(2)
(3)
【分析】本题考查了规律型的图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
（1）观察图形得出规律，即可得出第4个图案中，三角形有16个，正方形有16个；
（2）根据第1、2个图案可表示多项式，，可知第5个图案可表示为多项式；
（3）根据（1）得出的规律，列式计算即可求解．
【详解】（1）观察图形可知：
第1个图案中，三角形有个，正方形有个；
第2个图案中，三角形有个，正方形有个；
第3个图案中，三角形有个，正方形有个；
第4个图案中，三角形有个，正方形有个；
故答案为：16，16；
（2）第1第2个图案可表示为多项式，，可知第5个图案可表示为多项式，
故答案为：；
（3）第5个图案所表示的多项式值为90，
，
又，
，
的值为：2．
20．如图，在中，，是上一点，延长至点，使得，延长至点，使得．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据等式的性质得出，再根据证明与全等即可；
（2）根据等腰三角形的性质得，全等三角形的性质得出，即可作答．
此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是根据证明与全等进行解答．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在与中，
，
；
（2）解：，，
，
∵，，
∴
∴．
21．某中学举行了年奥运会相关知识的竞赛，赛后随机抽查部分参赛同学成绩，并制作成图表如下．
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
(1)表中的数 ；
(2)请在图中补全频数分布直方图；
(3)若绘制扇形统计图，分数段所对应扇形的圆心角的度数是 ；
(4)全校共有名学生参加比赛，估计该校成绩不低于分的学生有多少人？
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
(4)估计该校成绩不低于80分的学生有人．
【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念和计算，掌握频数的计算，根据频数估算总体，圆心角的计算方法是解题的关键：
（1）根据频率的和为，即可求解；
（2）根据频数与频率估算总体的数量可得抽样数量，由此可得m的值，即可补全频数分布直方图；
（3）根据圆心角度数的计算方法即可求解；
（4）根据频数估算总体的数量的方法即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，，
故答案为：；
（2）解：（人），
∴，
补全频数分布直方图如图，

（3）解：，
故答案为：；
（4）解：，
∴估计该校成绩不低于分的学生有人．
22．为庆祝我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在北京时间年月日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花．某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花．已知每个窗花第二次购进的单价比第一次便宜元，且第二次购进的数量是第一次的倍．
(1)求该店两次购进这款窗花各多少个？
(2)第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要便两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，则每个窗花的售价至少为多少元？
【答案】(1)答：第一次购进窗花个，则第二次购进窗花个
(2)答：每个窗花的售价至少为元
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可．
（1）设第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元，根据题意列出方程，，解出，进行解答，即可；
（2）根据利润等于售价减去单价，根据题意，列出一元一次不等式，进行解答，即可．
【详解】（1）解：设第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元，
∵某喜庆店第一次用元购进这款窗花，很快售完，又花元第二次购进这款窗花，第二次购进的数量是第一次的倍，
∴，
解得：，
经检验，是方程的解，
∴第一次购进窗花是数量为：个，第一次购进窗花是数量为：个，
答：第一次购进窗花个，则第二次购进窗花个．
（2）解：由（1）得，第一次购买窗花的单价为元，则第二次购买窗花的单价为元，
设每个窗花的售价为元，
∵两次进的窗花销售完后的总利润不低于元，
∴，
∴，
答：每个窗花的售价至少为元．
23．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)，
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，菱形的性质与判定，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
（1）根据，平分可得到，从而可得，从而可证得四边形是平行四边形，结合可证得平行四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质可知，，，再根据，直角三角形性质可知，最后根据勾股定理即可确定，再由相似三角形的判定和性质即可得出．
【详解】（1）证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
在中，，，
．
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
24．对某一个函数给出如下定义，当自变量x满足（m，n为实数，）时，函数y有最大值，且最大值为，则称该函数为理想函数．
(1)当，时，在①；②中，______是理想函数；
(2)当时，反比例函数是理想函数，求实数m的值；
(3)已知二次函数是理想函数，且最大值为，将该函数图像向左平移个单位长度所得图像记为C，若图像C的顶点为D，与x轴交于A，B（A在B的左侧），与y轴交于点E，点M，G分别为的外心和内心，求以为边长的正方形面积．
【答案】(1)②
(2)
(3)
【分析】由当，时，可得，，再根据一次函数的性质分别求出函数的最大值，判断是等于6即可；
（2）由时，，可得，根据、、时反比例函数的增减性求得y的最大值，再利用y的最大值为列等式求解即可；
（3）由最大值为最大值为，可得，即，再由，可得，从而可得，对称轴为直线，当，即，不符合题意，当，即时，，即时，则当时，y取最大值，，解得：，从而求得图像C：，求出点A、B、E、D的坐标，判断是直角三角形，从而可知点M是的中点，内切圆的半，再利用勾股定理即可求出结果．
【详解】（1）解：当，时，，，
①在函数图像中，y随x的增大而增大，
当时，y的最大值为：，
②在函数图像中，y随x的增大而减小，
当时，y的最大值为：，
∴是理想函数，
故答案为：②；
（2）解：当时，，
∴，即，
当时，，在反比例函数的图像中，y随x的增大减小，
则当时，y的最大值为：，
∴，即，解得：，
当时，，在反比例函数的图像中，y随x的增大而增大，
则当时，y的最大值为：，
∴，即，此方程无根，
当时，，函数y没有最大值，不符合题意，
∴；
（3）解：∵最大值为，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
此时，
∴对称轴为直线，
当，即，
∴当时，时，y的最大值为：，
∴，解得：，
∵，
∴（舍），
当，即，
若，即时，则当时，y取最大值，
∴，解得：，
∵，
∴，此时图像C：，
∴，
当时，，当时，，解得：，，
∴，，，
∴，，，
∴在中，，
∴是直角三角形，
过点G作，过点G作，
又∵点M，G分别为的外心和内心，则点M是的中点，，
∴，，内切圆的半，
∵，
∴，
在中，，
∴以为边长的正方形面积为：．

【点睛】本题考查新定义、勾股定理及逆定理、切线的性质定理、外接圆和内接圆的性质、二次函数顶点式、一次函数的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
25．如图，已知圆O是四边形的外接圆，是直径．连接交于点E．

(1)如图1，D是弧的中点，当，求的度数；
(2)如图2，，将绕点A顺时针旋转90°至，其中与重合，求证：；
(3)如图3，，F是的中点，连接，过D点作交于点M，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用等弧对等弦，等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可；
（2）利用圆周角定理和勾股定理求得，利用等腰直角三角形的性质得到，利用旋转的性质，勾股定理和等腰直角三角形的性质求得；利用等式的性质和等量代换，通过计算即可得出结论；
（3）设，则，利用全等三角形的判定与性质求得，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质求得，计算即可解答 ．
【详解】（1）解：∵D是弧的中点，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵是直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵将绕点A顺时针旋转至，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴ ,
,
．
∴．
（3）解：∵F是的中点，
∴，
设，则
∵是直径，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了垂径定理、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键．