福建省莆田第五中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷（Word版附答案）

这是一份福建省莆田第五中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷（Word版附答案），共5页。
1.现有10元,20元,50元人民币各一张,100元人民币2张，从中取两张，共可组成不同的币值种数是( )
A.20种 B.15种 C.10种 D.7种
2.从:1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取三个数,下列事件为对立事件的是( )
A.恰有一个是奇数和有两个是偶数
B.至少有两个是偶数和至少有两个是奇数
C.至多有一个是奇数和恰有一个是偶数
D:至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
3.已知向量a=(0,0,1),b=(1,−1,1),向量a+b在向量a上的投影向量为( )
A.(0,0,2) B.(0,0,1) C.(0,0,−1) D.(0,0,−2)
4,任意拖掷一次骰子,朝上面的点数记为X，则X∈{1,2,3,4,5,6},定义事件，A={1,2,3},B={1,5,6},
C={1,4,5}则( )
A.P(BC)=58 B.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
C.P(A∪B)=56 D.B,C相互独立
5.在如图所示的电路中,5个格子表示保险匣,格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率,则当开关合上时,电路畅通的概率是( )
A.551720 B.29144
C.2972 D:2936
6.若二项式x23+41xn的展开式中倒数第三项的系数为45,则含有x3项的系数为( )
A.10 B.100 C.210 D.720
7.已知等比数列an中,存在s,t∈N∗,满足asat=a52,则4s+1t的最小值为( )
A.1921 B.13 C.712 D.34
8.在平面直角坐标系xOy中,设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,给定下列三个条件:
①kOAkOB=−2;②OA⋅OB=−4;③直线l过定点(2,0).如果将上面①、②、③中的任意一个作为条件,余下两个作为结论,则构成的三个命题中，真命题的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
二、多项选择题(本运共3小题,每小题6分,共18分.在每小超给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.若(x+2)(2x−1)8=(1−x)5a0+a1x+a2x2+⋯+a4x4+b0+b1x+b2x2+b3x3,其中ai∈R(i=0,1,2,3,4),bi∈R(i=0,1,2,3),则下列说法正确的是( )
A.b0+b1+b2+b3=3 B.a4=256
C. a0+b0=2. D.125a0+124a1+123a2+122a3+12a4=b0+12b1+122b2+123b3
10.2023年旅游市场强劲复苏,7,8月的暑期是旅游高峰期.甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游,每个城市至少有一人选择.事件M为“甲选择北京”,事件N为“乙选择上海”,则下列结论正确的是( )
A.事件M与N互斥 B.P(N∣M)=P(M∣N).
C.P(MN)=3136 D.P(M∪N)=23
11.如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,∠ACB=90∘,AC=BC=CC1=2,E为B1C1的中点,过AE的截面与棱BB1、A1C1分别交于点F、G,则下列说法中正确的是( )
A.存在点F,使得A1F⊥AE
B.线段C1G长度的取值范围是[0,1]
C.当点F与点B重合时,四棱锥C−AFEG的体积为2
D.当G为线段A1C1中点时,三棱雉G−ACF外接球的表面积为41π4
三、填空题:本题共3小题,每小题5分:共15分.
12.有9本不同的书,其中语文书2本,英语书3本,数学书4本,现随机拿出2本.两本书不同类的概率为__.
13.某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉,要求相邻区域布置的花卉种类不同,且每个区域只布置一种花卉,若有5种不同的花卉可供选择,则不同的布置方案有______.
14.“垛积术”在我国古代早期主要用于天文历法,后来用于求高阶等差级数的和.元代数学家朱世杰在沈括(北宋时期数学家)、杨辉(南宋时期数学家)研究成果的基础上,在《四元玉鉴》中利用了“三角垛”求一系列重要的高阶等差级数的和.例如,欲求数列1×n,2×(n−1),3×(n−2),⋯,(n−1)×2,n×1的和,可设计一个正立的n行三角数阵,即正三角形A的区域中所有数的分布规律为:第1行为1个n,第2行为2个n−1,第3行为3个n−2,⋯,第n行为n个1;再选一个数列n2(其前n项和已知),可设计一个倒立的n行三角数阵,即正三角形B的区域中所有数的分布规律为:第1行为n个n,第2行为n−1个n−1,第3行为n−2个n−2,⋯,第n行为1个1.这两个三角数阵就组成一个n行n+1列的菱形数阵.若已知12+22+32+⋯+n2=16n(n+1)(2n+1),则运用垛积术,求得数列1×n,2×(n−1),3×(n−2),⋯,(n−1)×2,n×1的和为___.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行,决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表:
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过12站,且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.
(1)若甲、乙两人共付车费8元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种?
(2)若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种?
16.(15分)已知数列an是各项为正数的数列,前n项和记为Sn,Sn=an2+an−22,n∈N∗,
(1)求数列an的通项公式;
(2)设bn=(−1)nan2,n∈N∗,求数列bn的前n项和Tn.
17.（15分）作为影视打卡基地,都匀秦汉影视城推出了4大影视博物馆:陈情令馆、庆余年馆、大秦馆、双世宠妃馆,馆内还原了影视剧中部分经典场景,更有丰富的、具有特色的影视剧纪念品共游客选择;国庆期间甲、乙等5名同学准备从以上4个影视馆中选取一个景点游览,设每个人只选择一个影视馆且选择任一个影视馆是等可能的,
(1)分别求“恰有2人选择庆余年馆”和“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率;
(2)事件Xi=“5人中选择博物馆物个数为i"(i=1,2,3,4),求PXi(i=1,2,3,4)的值。
18.(17分)如图,在三棱锥A−BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点,△OCD是边长为1的等边三角形,且VA−BCD=36.
(1)求直线CD和平面ABC所成角的正弦值;
(2)在棱AD上是否存在点E,使二面角E−BC−D的大小为45∘?若存在,并求出AEDE的值.
19.（17分）在平面直角坐标系xOy中,动圆C与圆C1:x2+y2+2x−454=0内切,且与圆C2:x2+y2−2x+34=0外切,记动圆C的圆心的轨迹为H.
(1)求轨迹H的方程;
(2)设O为坐标原点,过点C2且与坐标轴不垂直的直线与轨迹H交于P,Q两点.线段OC2上是否存在点N(n,0),使得QP⋅NP=PQ⋅NQ?若存在,求出n的取值范围;若不存在,说明理由;
(3)过点P0(4,0)且不垂直于x轴的直线与轨迹H交A,B两点,点B关于x轴的对称点为E,证明:直线AE过定点.乘坐站数
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