2024-2025学年广东省江门市培英高级中学高二下学期3月阶段考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省江门市培英高级中学高二下学期3月阶段考试数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列1，−34，12，−516，…的一个通项公式为
A. (−1)n+1n+12nB. (−1)n+12n−12nC. (−1)nn+12nD. (−1)n+12n−12n
2.已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2+a3=10，S5=30，则数列an的公差为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则Snan=( )
A. 2n–1B. 2–21–n
C. 2–2n–1 D. 21–n–1
4.已知f′x0=3，limΔx→0f(x0+2Δx)−f(x0)3Δx的值是( )
A. 3B. 2C. 23D. 32
5.下列各式正确的是( )
A. ln2x+1′=12x+1B. x⋅2x′=2x1+xln2
C. csxx′=xsinx+csxx2D. x′=−12 x
6.已知函数fx=x3+3xf′2，则f′1=( )
A. −15B. −3C. 3D. 15
7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了高阶等差数列的概念.如数列1，3，6，10，后前两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有二阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为( )
A. 174B. 184C. 188D. 190
8.已知函数fx=16x3+12bx2+cx的导函数f′x是偶函数，若方程f′x−lnx=0在区间1e,e(其中e为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是
A. −1−12e2,−12B. −1−12e2,−12C. 1−12e2,−12D. 1−12e2,−12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于函数fx=xlnx，以下说法正确的有( )
A. f′e2=3B. fx在−∞,1e单调递减
C. fx在0,e单调递减D. fx在1e,+∞单调递增
10.若函数fx=x3−12x在区间k−1,k+1上不是单调函数，则实数k的可能取值是( )
A. 3B. −3C. 2D. −2
11.已知正项数列an满足an+1=an2,当an为偶数时an+3,当an为奇数时，则下列结论一定正确的是( )
A. 若a1=10，则a2023=2B. 若a3=16，则a1的值有3种情况
C. 若数列an满足an+2=an，则a1=3D. 若an为奇数，则an−1=2an(n≥2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等比数列an中，a1,a17是方程x2−6x+2=0的根，则a2a16a9的值为 ．
13.已知数列an满足a1=12，且an+1=an4an+1，则an= ．
14.已知定义在R上的奇函数fx，设其导函数为f′x，当x∈−∞,0时，恒有xf′xF2x−1的实数x的取值集合是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数fx=2x2−x，
(1)若数列an的前n项和Sn=fn，求数列的通项公式an；
(2)求曲线y=fx在点P1,f1处的切线方程．
16.(本小题15分)
已知等比数列an满足a3=a12a2, a4=128．
(1)求数列an的通项公式；
(2)记bn=1lg2anlg2an+1，Sn为数列bn的前n项和，若Sn=1021，求正整数n的值．
17.(本小题15分)
已知函数fx=ex⋅1x−lnx+a，其中a∈R．
(1)若f′1=e，求a的值；
(2)若函数fx在定义域内单调递减，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知数列an满足：a1=2，且对于任意正整数n，均有nan+1−n+1an=nn+1．
(1)设bn=ann，证明：bn为等差数列；
(2)设cn=bn2bn，Sn为数列bn的前n项和，Tn为数列cn的前n项和，若32−Tn≤kn+3Sn对任意的n∈N∗恒成立，求k的取值范围．
19.(本小题17分)
设函数fx=alnx+2+12x2−1(a为非零常数)
(1)若曲线fx在点0,f0处的切线经过点1,ln2，求实数a的值；
(2)讨论函数y=fx的单调性．
参考答案
1.A
2.B
3.B
4.B
5.B
6.A
7.A
8.B
9.AD
10.CD
11.BD
12. 2
13.14n−2
14.−1,2
15.(1)因为fx=2x2−x，数列an的前n项和Sn=fn=2n2−n，
当n=1时，a1=S1=2×12−1=1，
当n≥2且n∈N∗时，an=Sn−Sn−1=2n2−n−2n−12−n−1=4n−3．
a1=1满足an=4n−3，故对任意的n∈N∗，an=4n−3．
(2)因为fx=2x2−x，则f′x=4x−1，所以，f1=1，f′1=3，
因此，曲线y=fx在点P1,f1处的切线方程为y−1=3x−1，即3x−y−2=0．
16.(1)设数列an的公比为q，则a1q2=a13qa1q3=128，解得a1=2q=4，则an=2×4n−1=22n−1，
所以数列an的通项公式为an=22n−1．
(2)由(1)知bn=1lg222n−1lg222n+1=12n−12n+1=1212n−1−12n+1，
所以Sn=121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=121−12n+1=n2n+1．
由Sn=1021，得n2n+1=1021，解得n=10，
所以满足Sn=1021的正整数n的值为10．

17.(1)已知函数fx=ex⋅1x−lnx+a，则f′x=ex⋅−1x2−lnx+a，
因为f′1=e，则f′1=e⋅(−1+a)=e，解得a=2．
(2)因为函数fx=ex⋅1x−lnx+a在0,+∞上是减函数，
所以f′x=ex⋅−1x2−lnx+a≤0对x∈0,+∞恒成立，
所以a≤1x2+lnx，
令gx=1x2+lnx，
则由g′x=−2x3+1x=1x(1−2x2)=0得x= 2，
当x∈0, 2时，g′x0，
所以g(x)在0, 2上单调递减，在 2,+∞上单调递增，
所以gxmin=g 2=12+12ln2，
故只需a≤g(x)min=12+12ln2
故a的取值范围是−∞,12+12ln2．
18.(1)数列an满足：a1=2，且对于任意正整数n，均有nan+1−n+1an=nn+1．
等式nan+1−n+1an=nn+1两边同时除以nn+1可得an+1n+1−ann=1，
因为bn=ann，则bn+1−bn=1，且b1=a1=2，
所以，数列bn是首项为2，公差为1的等差数列．
(2)由(1)可得bn=2+n−1=n+1，所以，cn=bn2bn=n+12n+1，
Sn=2+n+1n2=nn+32，
Tn=222+323+424+⋯+n+12n+1，
则12Tn=223+324+⋯+n2n+1+n+12n+2，
上述两个等式作差可得12Tn=12+123+124+⋯+12n+1−n+12n+2=12+1231−12n−11−12−n+12n+2
=34−n+32n+2，
所以，Tn=32−n+32n+1，
因为32−Tn≤kn+3Sn对任意的n∈N∗恒成立，即n+32n+1≤kn+3nn+32=2kn，
参变分离可得k≥nn+32n+2，令xn=nn+32n+2，则k≥xnmax，
xn+1−xn=n+1n+42n+3−nn+32n+2=4−n−n22n+3，
当n=1时，x2−x1>0，即x1