广东省广州市第二中学2023−2024学年高二下学期月考（一） 数学试题（含解析）

这是一份广东省广州市第二中学2023−2024学年高二下学期月考（一） 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．在数列中，若，，则下列数不是中的项的是（ ）
A．B．C．D．3
2．数列满足，且，则（ ）
A．1B．C．D．100
3．下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数的单调递增区间是，则（ ）
A．B．C．D．
5．设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若存在，使得成立，则实数m的最小值是（ ）
A．B．C．D．4
8．设函数是奇函数的导函数， ，当时， ，则使得成立的取值范围是（ ）
A． B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知{}是等差数列，其前n项和为，，则下列结论一定正确的有（ ）
A．B．最小C．D．
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在两个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．当时，方程有且只有两个实根
D．若时，，则t的最小值为2
11．已知数列满足，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．是递增数列
C．
D．，，
三、填空题（本大题共3小题）
12．若曲线的一条切线是直线，则实数b的值为
13．已知函数，其中无理数．若函数有两个极值点，则实数m的取值范围是 ．
14．如图数阵中，第一行有两个数据圴为1，将上一行数据中每相邻两数的和插入到两数中，得到下一行数据，形成数阵，则数阵第11行共有 个数，第行所有数据的和 .

四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的前项和为，，点()在直线上.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，的前项和为，求.
16．如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
17．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
18．如图，对于曲线，存在圆C满足如下条件：
①圆C与曲线有公共点A，且圆心在曲线凹的一侧；
②圆C与曲线在点A处有相同的切线；
③曲线的导函数在点A处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆C在点A处的二阶导数（已知圆在点A处的二阶导数等于）；
则称圆C为曲线在点A处的曲率圆，其半径称为曲线在点A处的曲率半径．
(1)求抛物线在原点处的曲率圆的方程；
(2)若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：
19．已知抛物线：，焦点为，过作轴的垂线，点在轴下方，过点作抛物线的两条切线，，，分别交轴于，两点，，分别交于，两点．
(1)若，与抛物线相切于，两点，求点的坐标；
(2)证明：的外接圆过定点；
(3)求面积的最小值．
参考答案
1．【答案】B
【分析】由和，依次求出，即可得出结果.
【详解】因为，，
所以，，，，
所以数列是以4为周期的数列，故不是中的项.
故选B.
2．【答案】B
【分析】根据已知条件可知为等比数列，再根据等比数列的通项公式基本量的计算即可求解.
【详解】依题意，，则，
故是以为公比的等比数列，
所以，
所以.
故选B.
3．【答案】B
【分析】A中，根据正弦函数的单调性即可判断；
B中，利用导数判定在上是增函数；
C中，利用导数判定在上是减函数，在上是增函数；
D中，利用导数判定在上是增函数，在上是减函数．
【详解】对于A，是周期函数，当，即时，函数是减函数，所以不满足题意；
对于B，，，
所以当时，，在上是增函数；
对于C，，，
所以当时，，是减函数；
时，，是增函数；所以不满足题意；
对于D，，，
当时，，是增函数，
当时，，是减函数，所以不满足题意．
综上，在上为增函数的是B．
故选B．
4．【答案】C
【解析】首先求出函数的导函数，再根据函数的单调递增区间为，即可的解集为，即可得到、、的关系，从而得解；
【详解】由题可得，则的解集为，即，，可得，所以，
故选C．
【关键点拨】本题考查函数的单调性，考查运算求解能力及推理论证能力．
5．【答案】C
【分析】应用等比中项的性质，由为等比数列，解出值，即可判断.
【详解】依题，“为等比数列”，所以，
得，化简得，
解得，则“”是“为等比数列”的充要条件.
故选C.
6．【答案】C
【分析】采用叠加法求出，由可得，结合对勾函数性质分析在或6取到最小值，代值运算即可求解.
【详解】因为，所以，，，，式相加可得，
所以，，当且仅当取到，但，，所以时，当时，，，所以的最小值为.
故选C.
7．【答案】D
【分析】分离参数，利用导函数求函数的最值即可.
【详解】由能成立，
问题转化为，
令，
由；由，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，
故m的最小值为4．
故选D.
8．【答案】D
【分析】
根据题意构造函数，由求导公式和法则求出，结合条件判断出的符号，即可得到函数的单调区间，根据奇函数判断出是偶函数，由求出，结合函数的单调性、奇偶性，再转化，由单调性求出不等式成立时的取值范围．
【详解】
由题意设，则
因为当时，有，所以当时，，
所以函数在上为增函数，
因为函数是奇函数，
所以，
所以函数为定义域上的偶函数，
在上递减，
由得，，
因为不等式，
所以或，
即有或，
所以使得成立的的取值范围是：，
故选D.
9．【答案】AC
【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件得到和的关系，然后对选项逐一分析即可.
【详解】根据题意，数列是等差数列，若
即
变形可得
，则故A正确；
不能确定和的符号，不能确定最小，故B错误；
由，
由二次函数图象的性质可知，故C正确；
当公差不为0时，, 则 D 错误.
故选AC.
10．【答案】ABC
【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．
【详解】对于A，由，得，所以，故A正确；
对于B，，
当时，，当时，，
所以在，上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确；
对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；
对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D错误．
故选ABC.
【易错警示】
本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．
11．【答案】ACD
【分析】根据递推关系得，进而得到与同号判断A；由即可判断B；由，再用累加法判断C；由C分析得，进而，应用累加、裂项相消判断D.
【详解】由已知，数列满足，，且，
所以，
所以，
由，有，，故与同号，
因为，则，，…，
以此类推可知，对任意的，，故A正确；
因为，所以，
又，所以，则是递减数列，故B错误；
因为，所以，，…，，
累加得，故C正确；
因为，又，，所以，
所以，则，
所以当，时，，
所以当，时，，
所以，故D正确．
故选ACD.
【关键点拨】对于D，利用递推关系得到，结合放缩、累加、裂项相消证不等式.
12．【答案】
【分析】先设切点为，对函数求导，根据切线斜率，求出切点坐标，代入切线方程，即可得出结果.
【详解】设切点为，对函数求导，得到，
又曲线的一条切线是直线，
所以切线斜率为，所以，
因此，即切点为，代入切线，可得.
故答案为：.
【方法总结】本题主要考查由曲线的切线求参数的问题，熟记导数的几何意义即可.
13．【答案】
【分析】根据题意，求导可得，由函数有两个极值点可得导函数有两个解，通过与1的大小比较，转化求解的取值范围.
【详解】因为，令，，
因为函数有两个极值点，所以有两个不等的正实数根，
且，
当时，，则在上单调递增，不符合题意；
当时，时，，则单调递减，
时，，则单调递增，
又，当时，，
所以，所以，
综上所述，实数m的取值范围是.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】设第行数据有个，根据数阵的规律求得关于的递推关系式，利用构造法求得，进而求得.根据数阵的规律求得关于的递推关系式，利用构造法求得.
【详解】由数阵形成规律，设第行数据有个，
则，
则，
是以1为首项，2为公比的等比数列.
则，
，
设第行数据的和为，
第行数据为，
则第行数据为，
，
，
得从第二项起，是以为第二项，以3为公比的等比数列，
，
，
时，，
.
故答案为：；.
15．【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由条件可得，然后利用与的关系求解即可；
（2），然后利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）∵点()在直线上，
∴，
当时，，
两式相减，并整理得，①
又，且，②
∴由①②可知，对任意都有，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴.
（2）由（1）可得，，
∴，③
，④
③-④得
，
∴.
16．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）连接并延长交于点，连接、，根据三角形全等得到，再根据直角三角形的性质得到，即可得到为的中点从而得到，即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.
【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面.

（2）解：过点作，如图建立空间直角坐标系，
因为，，所以，
又，所以，则，，
所以，所以，，，，
所以，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，所以；
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以；
所以.
设二面角的大小为，则，
所以，即二面角的正弦值为.

17．【答案】（1）详解见解析；（2）.
【分析】（1）先确定函数的定义域，求导后得，根据正负进行讨论，可得函数的单调区间；
（2）中可通过分离参数将问题转化成在区间内恒成立求解，令，结合函数零点存在定理可求得的最值．
【详解】（1）函数的定义域为．
由题意得，
当时，，则在区间内单调递增；
当时，由，得或（舍去），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由，
得，
因为，所以原命题等价于在区间内恒成立．
令，
则，
令，则在区间内单调递增，
又，
所以存在唯一的，使得，
且当时，，单调递增，
当时，，，
所以当时，有极大值，也为最大值，且 ，
所以，
又，所以,
所以，
因为，
故整数的最小值为2．
【方法总结】本题属于导数的综合应用题．第一问中要合理确定对进行分类的标准；第二问利用分离参数的方法解题，但在求函数的最值时遇到了导函数零点存在但不可求的问题，此时的解法一般要用到整体代换，即由可得，在解题时将进行代换以使问题得以求解．
18．【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设抛物线在原点的曲率圆的方程为，求出导数、二阶导数，结合所给定义求出即可；
（2）利用导数的几何意义即两点求直线斜率得到一阶导数，再根据题中二阶导数的公式求得二阶导数，然后等价替换成含的式子，即可求得r，则函数的图象在处的曲率半径，即，设，由的单调性和极值情况，可得，可证，设函数（其中），由，可得单调递增，则 ，故可得，所以．
【详解】（1）记，设抛物线在原点的曲率圆的方程为，其中为曲率半径．
则，，
故，即，
所以抛物线在原点的曲率圆的方程为.
（2）设曲线在的曲率半径为，
则，
由知，，
所以，
所以函数的图象在处的曲率半径，
故.
设，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故有，
所以，
要证，即证，
即证，
下面证明，
当时，有，
设函数（其中），
则，
故单调递增， ，
故，所以．
【方法总结】极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式.
19．【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）由已知可得，两点的坐标，给函数求导可得切线的斜率，利用点斜式表示切线方程，联立方程即可得点坐标；
（2）设过的两条切线分别与抛物线切于，，写出直线，的方程，联立可得点坐标，设外接圆方程，求出圆心，整理变形即可得定点坐标；
（3）由已知设，坐标，表示和到的距离，然后表示,设，，，可得，利用函数的单调性即可求得最小值.
【详解】（1）因为，与抛物线相切于，两点，
设在左侧，则，，
由得，所以，
所以的斜率为，的斜率为，
此时方程：，即．
方程：，即，联立得；
（2）设过的两条切线分别与抛物线切于，，
由（1）知直线的斜率为，所以直线方程为，即，
直线的斜率为，直线方程为，即，
所以且，，
设外接圆的圆心为，则在的垂直平分线上，而的中点为，所以，
设外接圆方程为：过，所以，
所以，所以，
所以，
整理得，
所以，
令即，所以的外接圆过定点.
（3）：，所以，，
所以，
到的距离为，所以，
设，，，由，
，当且仅当时等号成立．
所以，
令，，
在上单调递减，上单调递增，
所以，所以面积的最小值.
【方法总结】利用导数的几何意义可求得切线的斜率，表示切线方程，联立方程可表示点的坐标；通过设，，，由，，当且仅当时等号成立，把三角形的面积表示为关于的函数，利用函数的单调性求解最小值.