2025年中考第二次模拟考试卷：数学（甘肃卷）（解析版）

这是一份2025年中考第二次模拟考试卷：数学（甘肃卷）（解析版），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的相反数是（ ）
A．﹣2025B．
C．D．以上都不是
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：的相反数是．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿立方米，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿用科学记数法表示为（ ）
A．275×102B．2.75×104C．2.75×1012D．27.5×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：27500亿＝2750000000000＝2.75×1012．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．一副三角板如图所示摆放，若∠ABE＝110°，则∠DBC等于（ ）
A．20°B．25°C．15°D．30°
【分析】根据∠ABC＝45°，∠DBE＝90°，∠ABE＝110°，求出∠ABD＝20°，再求出结果即可．
【解答】解：根据图可知：∠ABC＝45°，∠DBE＝90°，
∵∠ABE＝110°，
∴∠ABD＝∠ABE﹣∠DBE＝110°﹣90°＝20°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝45°﹣20°＝25°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了余角和补角，关键掌握三角板中角的计算，几何图形中角的计算．
4．用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x+1）2＝﹣2B．（x+1）2＝2C．（x+1）2＝﹣4D．（x+1）2＝4
【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程移项得：x2+2x＝3，
配方得：x2+2x+1＝4，即（x+1）2＝4．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．某女鞋专卖店在一周内销售了某种女鞋60双，对这批鞋子尺码及销量进行统计，得到条形统计图（如图）．根据图中信息，你认为商店最感兴趣的是这组数据的（ ）
A．众数B．平均数C．中位数D．方差
【分析】利用众数的意义得出答案．
【解答】解：由题意可知，销量最多的是23.5cm，
所以建议下次进货量最多的女鞋尺码是23.5cm．
故选：A．
【点评】此题主要考查了条形统计图以及众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．
6．《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有x只小船，则可列方程为（ ）
A．4x+6（8﹣x）＝38B．6x+4（8﹣x）＝38
C．4x+6x＝38D．8x+6x＝38
【分析】设有x只小船，则有大船（8﹣x）只，由题意得等量关系：大船坐的总人数+小船坐的总人数＝38，然后再列出方程即可．
【解答】解：设有x只小船，则有大船（8﹣x）只，由题意得：
4x+6（8﹣x）＝38，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
7．如图，△AOB与△CDB关于点B位似，其中B（1，1），D（4，4），则△AOB与△CDB的面积之比是（ ）
A．1：4B．1：3C．1：16D．1：9
【分析】根据两点之间的距离，得出OB和BD的长，再根据三角形位似，得出相似比，再根据面积比等于相似比的平方即可求解．
【解答】解：∵B（1，1），D（4，4），
∴，，
∵△AOB与△CDB关于点B位似，且相似比为，
∴△AOB与△CDB的面积比为1：9，
故选：D．
【点评】本题考查了两点之间的距离、位似三角形的性质，熟练掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8．下列关系式中：①y＝4x，②＝5，③y＝﹣，④y＝5x+1，⑤y＝x2﹣1，⑥y＝，⑦xy＝11，y是x的反比例函数的共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据乘积为定值一一判断即可．
【解答】解：③⑦是反比例函数．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的定义，正比例函数的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．定义新运算“*”，规定：a*b＝2a﹣b．若关于x的不等式x*m＞﹣3的解集为x＞﹣2，则m的值为（ ）
A．2B．1C．﹣2D．﹣1
【分析】根据定义的新运算得到x*m＝2x﹣m＞﹣3，得，由不等式的解集得，即可求得m的值．
【解答】解：∵a*b＝2a﹣b，
∴x*m＝2x﹣m＞﹣3，
解得：，
∵不等式x*m＞﹣3的解集为x＞﹣2，
∴，
解得：m＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是将新定义运算转化为所熟悉的不等式．
10．如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（ ）
A．B．2C．D．3
【分析】根据垂直先求出∠ADC＝∠ADB＝90°，在Rt△ADC、Rt△ADB、Rt△EBD中，分别用三角函数求出AD、BD、DE的长，进而求出AE的长．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ADC中，AC＝8，∠C＝45°，
∴∠C＝∠DAC＝45°，
∴AD＝DC＝ACsin45°＝AC＝4，
在Rt△ADB中，AD＝4，∠ABD＝60°，
∴BD＝ADtan30°＝AD＝，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBD＝30°，
在Rt△EBD中，BD＝，∠EBD＝30°，
∴DE＝BDtan30°＝BD＝，
∴AE＝AD﹣DE＝．
故选：C．
【点评】本题考查含30度角的直角三角形，掌握此性质定理的应用，三角函数的应用是解题关键．
11．如图，△ABC内接于⊙O，连接OA、OB、OC，若∠ABC＝100°，∠AOB＝120°，则∠ACO的度数为（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
【分析】根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠BAO＝∠ABO＝（180°﹣120°）＝30°，
∵∠ABC＝100°，
∴∠OBC＝70°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠CAB＝∠BOC＝20°，
∴∠OAC＝∠BAO﹣∠BAC＝10°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO＝10°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
12．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P，Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0＜x＜8）之间的函数图象大致是下列图中的（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①0＜x≤4时，根据四边形PBDQ的面积＝△ABD的面积﹣△APQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；②4≤x＜8时，根据四边形PBDQ的面积＝△BCD的面积﹣△CPQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【解答】解：①0＜x≤4时，
∵正方形的边长为4cm，
∴y＝S△ABD﹣S△APQ，
＝×4×4﹣•x•x，
＝﹣x2+8，
②4≤x＜8时，
y＝S△BCD﹣S△CPQ，
＝×4×4﹣•（8﹣x）•（8﹣x），
＝﹣（8﹣x）2+8，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．若关于x，y的方程组的解满足不等式x+2y＞0，则k的取值范围是 k＜3 ．
【分析】直接把两等式相减，得到x+2y＝﹣3k+9，再由x+2y＞0得出关于k的不等式，解不等式即可．
【解答】解：，
①﹣②，得：x+2y＝﹣3k+9，
∵x+2y＞0，
∴﹣3k+9＞0，
解得k＜3，
故答案为：k＜3．
【点评】本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法．
14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ﹣ab ．
【分析】通过观察数轴可知a＜0＜b，再由＝|a|的绝对值进行运算即可．
【解答】解：由数轴可知a＜0＜b，
∴＝|ab|＝﹣ab，
故答案为：﹣ab．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，＝|a|的性质是解题的关键．
15．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，OB＝4，以O为圆心，OB为半径画弧，分别交OA、AB于点C、D，则阴影部分面积为 4﹣ （结果保留π）．
【分析】过D作DC⊥OA于C，由含30度角的直角三角形和勾股定理求得OA，证得△OBD是等边三角形，△ADO是等腰三角形，进而求出∠DOA＝30°，CD＝2，根据S阴影＝S△AOD﹣S扇形即可求出阴影部分面积．
【解答】解：在△AOB中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，AB＝2OB＝8，
∴OA＝＝＝4，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴∠DOA＝∠AOB﹣∠BOD＝30°，
∴∠DOA＝∠A，
∴DO＝DA，过D作DC⊥OA于C，
∴OC＝AC＝OA＝2，
在Rt△ODC中，
∵∠DOA＝30°，
∴CD＝OD＝OB＝×4＝2，
∴S阴影＝S△AOD﹣S扇形＝×4×2﹣＝4﹣，
故答案为：4﹣．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，证得△OBD是等边三角形，△ADO是等腰三角形是解决问题的关键．
16．仔细观察下列等式：
第1个：52﹣12＝8×3；
第2个：92﹣52＝8×7；
第3个：132﹣92＝8×11；
第4个：172﹣132＝8×15；
…
请你写出第8个等式： 332﹣292＝8×31 ．
【分析】根据前四个等式，可以得出一般规律：第n个等式为（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝8（4n﹣1）2，当n＝8时，即可得出第8个等式．
【解答】解：根据前四个等式，可得：第n个等式为（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝8（4n﹣1）2，
则第8个等式：（32+1）2﹣（32﹣3）2＝8×（32﹣1），
即332﹣292＝8×31，
故答案为：332﹣292＝8×31．
【点评】本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键．
三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算：．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝
＝1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此类问题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．先化简，再求值：，其中a＝1．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算，得到答案．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
当a＝1时，原式＝＝﹣1．
【点评】本题的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19．如图，BD是▱ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN．若BD＝8，MN＝6，求▱ABCD的边BC上的高．
【分析】首先根据垂直平分线的性质得到MB＝MD，NB＝ND，然后利用平行四边形的性质得到∠MDB＝∠NBD，然后证明出△BMN为等腰三角形，进而得到四边形BMDN为菱形，利用勾股定理求出，然后利用菱形面积公式求解即可．
【解答】解：
由作法得MN垂直平分BD，
∴MB＝MD，NB＝ND，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠MDB＝∠NBD，
而MB＝MD，
∴∠MBD＝∠MDB，∴∠MBD＝∠NBD，
而BD⊥MN，
∴△BMN为等腰三角形，∴BM＝BN，∴BM＝BN＝ND＝MD，∴四边形BMDN为菱形，
∴，
设▱ABCD的边BC上的高为h，
∵，∴，
即▱ABCD的边BC上的高为．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质，平行四边形的性质和菱形的性质和判断，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
20．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，∠ADC＝120°，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）先证CD＝AD＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，再由AD＝AB，即可得出结论；
（2）由菱形的性质可得AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠DAB＝60°，∠CAB＝∠DAB＝30°，由直角三角形的性质和勾股定理可求AC，BD的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，
∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴AD＝CD，
∵AB＝AD，∴AB＝CD，
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠DAB＝60°，∠CAB＝∠DAB＝30°，
∴AC＝2CE＝2，AB＝2BO，∴AO＝CO＝，
∵AB2＝AO2+BO2，∴4BO2﹣BO2＝3，∴BO＝1（负值舍去），∴BD＝2，
∴菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝×2×2＝2．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
21．如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面与y轴交于点E（0，﹣10），运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点A的坐标为.运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式及入水处点B的坐标．
（2）在该运动员的入水处点B的正前方有M，N两点，且EM＝6，EN＝8，该运动员入水后的运动路线对应的抛物线的表达式为y＝（x﹣h）2+k．若该运动员的出水处点D在MN之间（包括M，N两点），请求出k的取值范围．
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，当y＝﹣10时，﹣x2+x＝﹣10，求出点B的坐标；
（2）由人水处点B（4，﹣10）得到﹣10＝（4﹣h）2+k，①当抛物线经过点M时，﹣10＝（6﹣h）2+k，②，解得k＝﹣11，h＝5；当抛物线经过点N时，﹣10＝（8﹣h）2+k，③由①③联立方程组，解得k＝﹣14，h＝6．即可得到答案．
【解答】解：（1）设运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式为＝a（x﹣）2+，
∵抛物线经过原点，
∴a+＝0，解得a＝﹣1，
∴运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式为＝﹣x2+x，
当y＝﹣10时，﹣x2+x＝﹣10，
解得解得x＝4或＝﹣（舍去），
点B的坐标为（4，﹣10）；
（2））∵EM＝6，EN＝8，E（0，﹣10），
∵M（6，﹣10），N（8，﹣10）．∵人水处点B（4，﹣10），
∴﹣10＝（4﹣h）2+k，①，
当抛物线经过点M时，﹣10＝（6﹣h）2+k，②，
由①②联立方程组，解得k＝﹣11，h＝5；
当抛物线经过点N时，﹣10＝（8﹣h）2+k，③，
由①③联立方程组，解得k＝﹣14，h＝6
∵出水处点D在MN之间（包括M，N两点），∴﹣14≤k≤﹣11．
【点评】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．如图，小亮、小华两人参加数学实践活动，要测量学校科技楼楼顶标语牌AB的高度，小亮同学在学校广场点O处，测得他到教学楼楼底C处的距离OC为15米，到科技楼楼底D处的距离OD为18米（点C，O与点D在同一直线上），测得科技楼楼顶B处位于点O的北偏东35°方向；小华同学在教学楼五楼窗口E处，从点E处看点A的仰角为22°，看点O的俯角为45°，求标语牌AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，tan55°≈1.43，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70）
【分析】如图中，过点O作OF⊥CD，过点E作EF⊥AD于H，交OF于点F．则△OEF是等腰直角三角形，四边形DOFH，四边形COFE都是矩形．解直角三角形求出OF、BD、AH，可得结论．
【解答】解：如图，过点O作OF⊥CD，过点E作EF⊥AD于H，交OF于点F．
由题意得，四边形DOFH，四边形COFE都是矩形．
∴DH＝OF，OF⊥EH，
∵∠OEF＝45°，∴△OEF是等腰直角三角形，∴EF＝OF，∴四边形COFE是正方形．
∴DH＝OF＝OC＝15米，∵∠AOF＝35°，∴∠BOD＝55°，
在Rt△BOD中，tan∠BOD＝，
∴BD＝18×tan55°≈18×1.43＝25.74（米），
在Rt△AEH中，tan∠AEH＝，
∴AH＝（18+15）×tan22°≈33×0.40＝13.2（米），
∴AB＝AD﹣BD＝AH+DH﹣BD＝13.2+15﹣25.74＝2.46≈2.5（米），
答：标语牌AB的高度约为2.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．2024世界体育舞蹈联合会（WDSF）世界青年霹雳舞锦标赛将在无锡举办，某校从A，B，C，D四名学生中选两名学生参加志愿者服务．
（1）若A一定参加，再从其余三名学生中任意选取一名，恰好选中学生C的概率是 ；
（2）任意选取两名学生参加志愿者服务，求一定选中学生B的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【分析】（1）由概率公式可得答案；
（2）画树状图，用概率公式可得答案．
【解答】解：（1）从其余三名学生中任意选取一名，恰好选中学生C的概率是 ；
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，一定选中学生B的有6种，
∴一定选中学生B的概率是＝．
【点评】本题考查列树状图求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，解题的关键是能从统计图中获取有用的信息．
24．为了解本市的空气质量情况，小王从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查活动采取了 抽样调查 调查方式，样本容量是 60 ；
（2）补全图1的条形统计图，并求出扇形统计图中表示“轻度污染”的扇形的圆心角度数；
（3）请估计2024年（366天）本币空气质量达到“优”和“良”的总天数．
【分析】（1）根据空气质量是良的天数是32天，所占的百分比是64%，即可求得抽查的总天数；
（2）利用360°乘以优所占的比例即可求得；
（3）利用总天数乘以对应的比例即可求解．
【解答】解：（1）本次调查活动采取了抽样调查，
样本容量是：36÷60%＝60（天），
故答案为：抽样调查，60；
（2）空气质量是轻度污染的天数是：60﹣36﹣14﹣3﹣1﹣1＝5天，
扇形统计图中表示轻度污染的圆心角度数是×360°＝18°．
；
（3）∵样本中优和良的天数分别为：36，14，
∴一年（366天）达到优和良的总天数为：×366＝305（天）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
25．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，8）、B（n，﹣2），与x轴交于点D，与y轴交于点C．
（1）求m、n的值；
（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）连接AO，BO，求△AOB的面积．
【分析】（1）把A，B坐标分别代入反比例函数解析式，即可求出m，n的值；
（2）观察函数图象，结合（1）可得不等式的解集；
（3）待定系数法可求出直线AB解析式，从而可得C的坐标，即可得到△AOB的面积．
【解答】解：（1）把A（1，8）代入y＝得：
8＝，∴m＝8，∴y＝，
把B（n，﹣2）代入y＝得：
﹣2＝，解得n＝﹣4，∴m＝8，n＝﹣4；
（2）由（1）知，A（1，8），B（﹣4，﹣2），
观察函数图象可得，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，x＜﹣4或0＜x＜1，
∴不等式的解集为x＜﹣4或0＜x＜1；
（3）如图：
将A（1，8）、B（﹣4，﹣2）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴y＝2x+6，
将x＝0代入y＝2x+6得：y＝6，
∴C（0，6），即OC＝6，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×6×1+×6×4＝15，∴△AOB的面积为15．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法，能求出函数图象的交点坐标及数形结合思想的应用．
26．如图，⊙O与△ABC的AC边相交于点C，与AB相切于点D、与BC边交于点E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD＝2，AC＝3，求⊙O的半径长．
【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质得出∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，根据等腰三角形的性质得出∠OED＝∠ODE，即可得出∠AOC＝∠AOD，进而证得△AOD≌△AOC（SAS），得到∠ADO＝∠ACB＝90°，即可证得结论；
（2）根据切线长定理和勾股定理求出AD＝AC＝3，BC＝4，证明△OBD∽△ABC，根据相似三角形的性质求出OB，即可求解．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC，
∵AB与⊙O相切于点D，∴∠ADO＝90°，
在△AOD和△AOC中，
，
∴△AOD≌△AOC（SAS），∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∵OC是半径，∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB、AC是⊙O的切线，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°，AD＝AC＝3，∵BD＝2，∴AB＝5，BC＝＝4，
∵∠B＝∠B，∴△OBD∽△ABC，∴，∴，
∴OB＝，∴OC＝BC﹣OB＝4﹣＝，
故⊙O的半径长为．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
27．如图1，抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与坐标轴分别交于A、B、D三点，其中A点坐标为（4，0），3OB＝OD．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P是直线AD下方抛物线上的一动点，点Q是x轴上一动点，当四边形OAPD的面积最大时，求的最小值；
（3）在（2）条件下，将抛物线C沿x轴翻折得到C1，则P点的对应点为P1，并将C1沿射线P1B方向平移个单位长度得到C2，记P1在抛物线C2上的对应点为P2，过P2作P2E⊥x轴于点E，F是直线DE上一点，连接AF，则是否存在点F使得∠AFD＝∠AED+∠DAF，若存在，请直接写出点F的坐标．
【分析】（1）先求出B（﹣1，0），再把A（4，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣3得计算即可；
（2）过P作PN⊥x轴于N，交AD于M，先求直线AD解析式为，再设，则，0＜m＜4，根据S四边形OAPD＝S△AOD+S△APD＝，求出面积最大时，再过B在x轴上方找一点E，使BE⊥EQ，EQ＝2BE，连接EP，延长BE交y轴于F，根据，当Q在EP上时，最小，再求出E的轨迹方程，设E（n，2n+2），根据求解即可；
（3）先求出，得到E（﹣6，0），直线DE解析式为，再根据E的位置分情况讨论，分别画出图形求解即可．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝ax2+bx﹣3＝﹣3，∴D（0，﹣3），OD＝3，
∵3OB＝OD，∴OB＝1，∴B（﹣1，0），
把A（4，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣3得，
解得，
∴抛物线解析式；
（2）∵D（0，﹣3），∴设直线AD解析式为y＝kx﹣3，
把A（4，0）代入得0＝4k﹣3，解得k＝，
∴直线AD解析式为，
过点P作PM∥y轴交AD于点M，
设，，
∴，
∴S四边形OAPD＝S△OAD+S△APD
＝+（﹣m2+3m）
＝﹣（m﹣2）2+12，
∵，开口向下，
∴m＝2时，四边形OAPD面积最大，
∴，
过点B作直线BH交y轴与点K，且直线BH解析式为yBH＝x+，
∴K（0，），
∴BK＝，
∴sin∠OBK＝＝，
过点Q作QF⊥BH于点F，过点P作PN⊥BH于点N，则QF＝QB，
∴PQ+QB＝PQ+QF≥PN，
当且仅当P、Q、N三点共线时取等，
方法一：设N（n，n+），
则BN2＝（n+1）2+（n+）2，BP2＝（2+1）2+＝，PN2＝（n﹣2）2+（n+5）2，
∵∠BNP＝90°，
∴BN2+PN2＝BP2，即（n+1）2+（n+）2+（n﹣2）2+（n+5）2＝，
整理得5n2+7n+2＝0，
解答n＝﹣或n＝﹣1（舍去），
∴PN＝＝，
∴（PQ+QB）min＝（PQ+QF）min＝PN＝；
方法二提示：如图，过N作GH∥x轴，过P作PH⊥GH，过B作BG⊥GH，
易证△BGN∽△NHP，利用相似比求出点N坐标，再求PN长度．
（3）∵（x，y）关于x轴翻折得到点（x，﹣y），
∴将抛物线沿x轴翻折得到C1，C1解析式为，整理得，的对应点，
连接P1P交x轴于M，则P1M⊥x轴，M（2，0），
∴，BM＝3，，
∴将C1沿射线P1B方向平移个单位长度得到C2，相当于先向左移动8个单位长度，再向下移动12个单位长度，
∴在抛物线C2上的对应点为，即，
∵过P2作P2E⊥x轴于点E，
∴E（﹣6，0），
∵D（0，﹣3），
∴设直线DE解析式为y＝k2x﹣3，
把E（﹣6，0）代入得0＝﹣6k2﹣3，解得，
∴直线DE解析式为，
当点F在点E左边时，由外角可得∠AED＞∠AFD，不合题意；
当点F在线段DE上时，如图F1，连接AF1交y轴于点N，过N作NG⊥AD于G，
∵∠AF1D＝∠AED+∠DAF1＝∠AED+∠EAF1，
∴∠DAF1＝∠EAF1，即AF1平分∠EAD，
∵∠AON＝∠AGN＝90°，AN＝AN，
∴△AON≌△AGN（AAS），
∴ON＝NG，OA＝AG＝4，
∵，
∴DG＝AD﹣AG＝1，
∵Rt△ODG中，OG2+DG2＝OD2，
∴ON2+12＝（3﹣ON）2，
解得，
∴，
同理可求得直线AN解析式为，
直线AN与DE交点为F1，
∴联立，解得，
∴F1（﹣2，﹣2）；
当点F在点D右边时，如图F2，过N作NH⊥OA交AF2于H，过H作HK⊥y轴于K，
∵∠AF2D＝∠AED+∠DAF2，∠AF2D+∠AED+∠DAF2+∠EAD＝180°，∠EAD＝2∠EAF1，
∴∠AF2D+∠EAF1＝90°，
∴∠AF2D＝∠ANO＝∠DNF1＝90°﹣∠EAF1，
∴180°﹣∠DF1A﹣∠AF2D＝180°﹣∠DF1A﹣∠DNF1，
∴∠EDO＝∠NAF2，
∴，
∵NH⊥OA，HK⊥y轴，
∴∠AON＝∠OKH＝90°，∠ANO＝∠NHK＝90°﹣∠KNH，
∴△AON∽△NKH，
∴，
∴，
解得KH＝，NK＝8，
∴OK＝ON+NK＝+8＝，
∴H（，），
同理可求得直线AH解析式为y＝7x﹣28，
∵直线AH与DE交点为F2，
联立，解得，
∴F2（，）；
综上所述，F（﹣2，﹣2）或F2（，）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及到求抛物线解析式，二次函数面积最值，二次函数线段和最值，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，掌握二次函数的知识是解题的关键．
28．如图，已知菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝4，点E为CD边上一动点，射线AE交∠BCD外角平分线于点F，连接AC、BF．
（1）当点E与D点重合时，∠ABF的度数为 90° ；
（2）当CF＝2时，求△ABF的周长；
（3）当E为CD中点时，连接DF，求DF+EF的和；
（4）若CF＝m，请直接写出的值为 （用含m的式子表示）．
【分析】（1）可推出△CDF是等边三角形，DG是△ABF的中位线，进而得出G是CD的中点，从而得出FG⊥CD，进一步得出结果；
（2）作AQ⊥BC，交CB的延长线于Q，作⊥BC，交BC的延长线于X，作FH⊥AQ于H，解Rt△ABQ求得BQ，AQ的值，解Rt△CXF求得CX和CF的值，解Rt△BFX求得BF，解Rt△AFH求得AF，进而得出结果；
（3）延长AF，交BC的延长线于R，可证得△ADE≌△RCE从而CR＝AD＝CD，进而证得△DCF≌△RCF，从而得出DF＝FR，从而DF+EF＝RF+EF＝ER，进一步得出结果；
（4）连接BD，延长AD，交射线CF于V，BD交AF于W，可证得△CFG∽△DCG，从而，进而表示出CG，可证得△ADW∽△AVF，△DEW∽△CEF，从而，，进而表示出DW，进而表示出DE，进一步得出结果．
【解答】解：（1）如图1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝4，BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝120°，AB∥CD，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝60°，∠CDF＝180°﹣∠ADC＝60°，∠DCT＝∠ABC＝120°，，
∵CF平分∠DCT，
∴∠DCF＝，
∴△DCF是等边三角形，
∴DF＝CD＝4，
∴，
∴FG＝BG，
∴DG＝AB＝2，
∴CG＝DG＝2，
∴FG⊥CD，
∴BF⊥AB，
∴∠ABF＝90°，
故答案为：90°；
（2）如图2，
作AQ⊥BC，交CB的延长线于Q，作FX⊥BC，交BC的延长线于X，作FH⊥AQ于H，
∴∠Q＝∠QHF＝∠FXQ＝90°，
∴四边形QHFX是矩形，
∴HQ＝FX，FH＝QX，
在Rt△ABQ中，AB＝4，△ABQ＝60°，
∴BQ＝4•cs60°＝2，AQ＝4•sin60°＝2，
同理可得，
CX＝CF＝1，FX＝CF＝，
在Rt△BFX中，FX＝，BX＝BC+CX＝5，
∴BF＝，
在Rt△AFH中，AH＝AQ﹣HQ＝AQ﹣FX＝2＝，FH＝QX＝BQ+BX＝7，
∴AF＝＝2，
∴AF+BF+AB＝2，
∴△ABF的周长为：2；
（3）如图3，
延长AF，交BC的延长线于R，
∵BC∥AD，
∴∠R＝∠DAE，
∵CE＝DE，∠REC＝∠AED，
∴△ADE≌△RCE（AAS），
∴CR＝AD＝CD，
∵∠DCF＝∠RCF＝60°，CF＝CF，
∴△DCF≌△RCF（SAS），
∴DF＝FR，
∴DF+EF＝RF+EF＝ER，
从（2）的计算可得：ER＝2，
∴DF+EF＝2；
（4）如图4，
连接BD，延长AD，交射线CF于V，BD交AF于W，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BDC＝，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠DCF＝60°，
∴CF∥BD，△BCD是等边三角形，
∴△CFG∽△DBG，BD＝BC＝4，
∴，
∴，
∴，
∴CG＝，
由（1）知：△CDV是等边三角形，
∴CV＝DV＝CD＝4，
∴FV＝CV﹣CF＝4﹣m，
∵BD∥CF，
∴△ADW∽△AVF，△DEW∽△CEF，
∴，，
∴DW＝，
∴，
∴，
∴DE＝，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形和直角三角形．