2025年河北省沧州市高考数学质检试卷（4月份）（含答案）

这是一份2025年河北省沧州市高考数学质检试卷（4月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知非空集合A，B，C互不相等，且A∩B=A，B∪C=C，则A∪C=( )
A. AB. BC. CD. ⌀
2.已知复数z满足(z+2)i=1−2i，则|z|=( )
A. 5B. 2 3C. 15D. 17
3.已知随机变量X～N(2,4)，若P(X0,ω>0,|φ|0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为______．
14.已知Sn为数列{an}的前n项和，且∀n∈N∗，4an+an+2=4an+1，若a1=1，a2=5，则Sn= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=−|x|+ln(|x|+a)，曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线与直线2x−y=0垂直．
(1)求实数a的值；
(2)求函数f(x)的极值点和极值．
16.(本小题15分)
如图，六面体ABCDEF的侧面ABFE为矩形，BC//AD，AB⊥BC，FB=AD=3，AB=BC=2，FD= 22．
(1)求证：平面ABFE⊥平面ABCD．
(2)线段AE上是否存在点P，使得CP//平面DEF？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．
(3)求平面EFD与平面FDC夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且2b−3asinC=0．
(1)若tanC=1，求cs2B；
(2)若tanA+tanB+tanC>0，求tan2C+tan2A的最小值．
18.(本小题17分)
“你好!我是DeepSeek，很高兴见到你!我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
(1)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？
(2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得−10分，比赛结束累加得分为正数者获胜.两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为35,12．
(i)求比赛结束后甲获胜的概率；
(ii)求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
19.(本小题17分)
“极点与极线”是圆锥曲线的一种基本特征，已知圆锥曲线C：Ax2+By2+2Dx+2Ey+F=0(A2+B2≠0)，点P(x0,y0)(x0y0≠0)，直线l：Ax0x+By0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0，则称点P(x0,y0)和直线l是圆锥曲线C的一对极点和极线.已知E为圆M：(x+ 5)2+y2=16上一点，点N( 5,0)，动点Q满足：(QE+QN)⋅(QE−QN)=0，且Q，M，E三点共线，动点Q的轨迹为Γ．
(1)若P(x0,y0)(x0>0)为Γ上一点．
(i)对于曲线Γ，与极点P(x0,y0)对应的极线与直线y=−12x和y=12x分别交于S，T两点，求证：P为线段ST的中点；
(ii)过P分别作斜率为12,−12的直线l1，l2，与直线y=−12x和y=12x分别交于D1，D2两点，求四边形OD1PD2(O为坐标原点)的面积．
(2)对于曲线Γ，与极点P(1,y0)对应的极线与Γ相交于H，I(H在第一象限)，A(−2,0)，B(2,0)，直线HB，AI在y轴上的截距分别为m，n，求mn的值．
参考答案
1.C
2.D
3.C
4.B
5.D
6.A
7.C
8.C
9.BCD
10.ABD
11.AC
12.3 2
13.3 1313或2 1313
14.(3n−4)⋅2n−1+2
15.解：(1)依题意，当x>0时，f(x)=−x+ln(x+a)，
所以f′(x)=−1+1x+a，
则f′(3)=−1+13+a=−12，解得a=−1．
(2)由(1)可知，f(x)=−|x|+ln(|x|−1)，
函数f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，
当x>1时，f(x)=−x+ln(x−1)，f′(x)=−1+1x−1=2−xx−1，
令f′(x)=0，解得x=2，
当x∈(1,2)时，f′(x)>0，则函数f(x)在(1,2)上单调递增；
当x∈(2,+∞)时，f′(x)0，
即tanA，tanB，tanC∈(0,+∞)，所以△ABC为锐角三角形，
由21tanC+1tanA≤ tan2A+tan2C2，
即 tan2A+tan2C2≥43，所以tan2C+tan2A≥329，
当且仅当tanA=tanC=43时等号成立，故tan2C+tan2A的最小值为329．
18.解：(1)零假设H0：DeepSeek的使用情况与学历无关，
根据列联表中的数据，可得χ2=200×(65×50−35×50)2100×100×115×85≈4.6040，且y1+y2=−8y04y02−1y1y2=34y02−1，
则4y0y1y2=−32(y1+y2)，
直线HB的方程为y=y1x1−2(x−2)，令x=0，解得y=−2y1x1−2，即m=−2y1x1−2，
直线AI的方程为y=y2x2+2(x+2)，令x=0，解得y=2y2x2+2，即n=2y2x2+2，
所以mn=−2y1x1−22y2x1+2=−y1(x2+2)y2(x1−2)=−4y1(1+y0y2)+2y14y2(1+y0y1)−2y2=−6y1+4y0y1y22y2+4y0y1y2=−6y1−32(y1+y2)2y2−32(y1+y2)=−92y1−32y2−32y1+12y2=−3(32y1−12y2)−(32y1−12y2)=3．
学历
使用情况
合计
经常使用
不经常使用
本科及以上
65
35
100
本科以下
50
50
100
合计
115
85
200
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828