河北省沧州市2025年高考数学质检试卷（4月份）（含解析）

这是一份河北省沧州市2025年高考数学质检试卷（4月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知非空集合A，B，C互不相等，且A∩B=A，B∪C=C，则A∪C=( )
A. AB. BC. CD. ⌀
2.已知复数z满足(z+2)i=1−2i，则|z|=( )
A. 5B. 2 3C. 15D. 17
3.已知随机变量X～N(2,4)，若P(X0,ω>0,|φ|0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为______．
14.已知Sn为数列{an}的前n项和，且∀n∈N*，4an+an+2=4an+1，若a1=1，a2=5，则Sn= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=−|x|+ln(|x|+a)，曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线与直线2x−y=0垂直．
(1)求实数a的值；
(2)求函数f(x)的极值点和极值．
16.(本小题15分)
如图，六面体ABCDEF的侧面ABFE为矩形，BC/​/AD，AB⊥BC，FB=AD=3，AB=BC=2，FD= 22．
(1)求证：平面ABFE⊥平面ABCD．
(2)线段AE上是否存在点P，使得CP/​/平面DEF？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．
(3)求平面EFD与平面FDC夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且2b−3asinC=0．
(1)若tanC=1，求cs2B；
(2)若tanA+tanB+tanC>0，求tan2C+tan2A的最小值．
18.(本小题17分)
“你好!我是DeepSeek，很高兴见到你!我可以帮你写代码、读文件、写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
(1)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？
(2)某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得−10分，比赛结束累加得分为正数者获胜.两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为35,12．
(i)求比赛结束后甲获胜的概率；
(ii)求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
19.(本小题17分)
“极点与极线”是圆锥曲线的一种基本特征，已知圆锥曲线C：Ax2+By2+2Dx+2Ey+F=0(A2+B2≠0)，点P(x0,y0)(x0y0≠0)，直线l：Ax0x+By0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0，则称点P(x0,y0)和直线l是圆锥曲线C的一对极点和极线.已知E为圆M：(x+ 5)2+y2=16上一点，点N( 5,0)，动点Q满足：(QE+QN)⋅(QE−QN)=0，且Q，M，E三点共线，动点Q的轨迹为Γ．
(1)若P(x0,y0)(x0>0)为Γ上一点．
(i)对于曲线Γ，与极点P(x0,y0)对应的极线与直线y=−12x和y=12x分别交于S，T两点，求证：P为线段ST的中点；
(ii)过P分别作斜率为12,−12的直线l1，l2，与直线y=−12x和y=12x分别交于D1，D2两点，求四边形OD1PD2(O为坐标原点)的面积．
(2)对于曲线Γ，与极点P(1,y0)对应的极线与Γ相交于H，I(H在第一象限)，A(−2,0)，B(2,0)，直线HB，AI在y轴上的截距分别为m，n，求mn的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意，A∩B=A，则A⊆B；
B∪C=C，则B⊆C，
所以A∪C=C．
故选：C．
根据集合间的关系求解．
本题考查集合间关系的应用，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为复数z满足(z+2)i=1−2i，
所以z=1−2ii−2=(1−2i)(−i)i⋅(−i)−2=−4−i，
故|z|= (−4)2+(−1)2= 17．
故选：D．
根据复数的四则运算求得z，进而求解结论．
本题主要考查复数的四则运算以及复数的模长，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为随机变量X～N(2,4)，P(X0，t(x)单调递增，所以t(x)>t(0)=1>0，所以ex≥ex，
令h(x)=ex−(x+1)，h′(x)=ex−1，x>0，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以h(x)>h(0)=e0−1=0，
所以ex≥x+1，即f(x)−ex≥0，f(x)≥x+1，所以A选项不正确，B选项正确；
则e−x≥−x+1，exe−x≥(−x+1)ex，即(1−x)f(x)≤1成立，所以C选项正确；
又ex≥x+1，当x=0时等号成立，lnx≤x−1，
当x=1时等号成立，则ex−lnx≥(x+1)−(x−1)=2(等号不能同时成立)，
所以ex−lnx>2，即f(x)−lnx>2，所以D选项正确．
故选：BCD．
设点在函数上结合对称性得出函数关系，再构造函数得出不等式恒成立判断A，B，再化简计算判断C，D．
本题主要考查利用导数研究函数的单调，不等式的证明，考查逻辑推理能力，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：依题意，A=2，因为f(−x)=f(2a+x)，
所以f(x)的图象关于直线x=a对称，
又因为f(−π6−x)+f(−π6+x)=0，
所以f(x)的图象关于点(−π6,0)对称，
又|a+π6|的最小值为π4，
所以f(x)的周期为π，
所以ω=2，
又2×(−π6)+φ=kπ+π2，k∈Z，
所以φ=kπ+5π6，k∈Z，
令k=−1，φ=−π6，
满足|φ|