2025年高考第三次模拟考试卷：数学（广东卷02）（解析版）

这是一份2025年高考第三次模拟考试卷：数学（广东卷02）（解析版），共20页。试卷主要包含了已知，则，已知双曲线等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，，
因此，.
故选：A.
2．已知，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【详解】因为，
所以，则.
故选：C.
3．我们把向量 叫做直线 的正交单位方向向量. 设 分别是直线 与直线 的正交单位方向向量，且 ，则 （ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【详解】由题意可知 ，
因为 ，所以 ，解得 .
故选：C.
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，得，
即，所以，所以，
所以.
故选：C
5．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
【答案】B
【详解】对于A，由图可知，，函数的最小正周期，
故A正确；
由，，知，
因为，所以，所以，，
即，，
又，所以，所以，
对于B，当时，，
所以，故B不正确；
对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，
得到的图象，故C正确；
对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到的图象，
因为当时，，
所以得到的函数图象关于点对称，故D正确.
故选：B.
6．已知双曲线（，），为其左右焦点，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线分别交的左右两支于，两点．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【详解】设直线与的切点为，连接，
则，
因为，所以，
而，所以，，
而，所以，
所以，．
因此，所以，
离心率.
故选：B．
7．已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，如图所示：

由的图象知，，则，从而，，
所以，
令，，则，
当时，，当且仅当时，，
所以在上为减函数，所以，
得，即的取值范围是．
故选：A．
8．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高，

因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，
则，，，
因为，故半径最大的球不与上下底面同时相切，
，则，则，
过作正四棱台的截面，截球得大圆，则该圆与等腰梯形两腰和下底相切，则，
则，则更确定最大内切球与四侧面及下底面相切，

即该正四棱台内半径最大的球半径，球的表面积为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到正四棱台内半径的最大的球是与侧面和底面同时相切的，再求出其高，得到侧棱与底面夹角，作出轴截面图形，再求出最大球半径.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．2022年4月15日，因疫情原因，市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：
按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．变量线性负相关且相关性较强
C．相应于点的残差约为0.4D．当时，y的估计值为14.4
【答案】BCD
【详解】对于A，由表格知：，
所以，可得，A错误；
对于B，由相关系数且回归方程斜率为负，
则变量线性负相关且相关性较强，B正确；
对于C，由，故残差为，C正确；
对于D，由，D正确；
故选：BCD.
10．已知点为圆上两动点，且，点为直线 :上动点，则（ ）
A．以为直径的圆与直线相离B．的最大值为
C．的最小值为8D．的最小值为112
【答案】ACD
【详解】对于A，设的中点为，连接，则，
所以，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，
所以点到直线的距离的最小值为，
因为，所以以为直径的圆与直线相离，所以A正确，
对于B，如图，当直线与直线平行，且共线时，则为等腰三角形，
此时，
则，
所以，所以，所以B错误，
对于C，因为,
所以
,
因为，
所以
，当，共线，且在之间时取等号，
所以的最小值为8，所以C正确，
对于D，因为，
所以，
所以
，当，共线，且在之间时取等号，
所以的最小值为112，所以D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积的运算，解题的关键是画出图形，结合图形分析判断，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若有2个零点，则
B．当时，是增函数
C．当时，恒成立
D．当时，若是的零点，则
【答案】ABD
【详解】显然，由，得，
所以直线与函数的图象有2个交点，又，
所以当或时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
从而在处取得极小值.
又时，；当时，；当时，，
在同一直角坐标系中作出的图象以及直线，
由图可见，当且仅当时，直线与的图象有两个公共点，故A正确；
当时，，对求导得.
再对求导得.
令，即，解得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以在处取得最小值，，
即恒成立，所以是增函数，选项B正确.
当时，，，
所以不恒成立，选项C错误.
当时，，，.
因为是增函数，且，
所以由零点存在定理可知，的零点满足，选项D正确.
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在的展开式中，常数项为 .
【答案】
【详解】的展开式通项公式为，
令，得，
故.
故答案为：
13．在正项等比数列中，，则 .
【答案】
【详解】设等比数列首项为，公比为，
则
，
因为正项等比数列，则.
即.
故答案为：10
14．若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】原不等式或，
而是正整数，于是或，
当时，由成立，得；
当，时，由成立，得，
令，函数在上都为增函数，则是上的增函数，
因此要使对，成立，当且仅当时成立即可，
当时，，于是，
所以使不等式对任意的正整数恒成立，的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）如图，四边形为圆的内接四边形，.
(1)若，求；
(2)若，且为等边三角形，求圆的面积.
【详解】（1）∵，，
∴，2分
在中由余弦定理可得，
∴，解得（舍去）或，
∴.5分
（2）设，为等边三角形，设
在中由余弦定理可得，
在中由余弦定理可得，7分
由∵，∴，
即，
则，即①，
又∵正中，∴，
在中，
即，∴，②
由①②可知，，，11
如图，取中点，连接，由对称性可知圆心在中线上，连接，
∴，又∵，
∴半径，
∴圆的面积为：.13分
16．（15分）如图，BCFE是平行四边形，AEFD是梯形，，，，，平面AEFD，二面角的平面角是.
(1)求多面体的体积;
(2)求直线AB与平面ACF的夹角的正弦值.
【详解】（1）平面平面，
又，平面，平面，
又因为平面，，
是二面角的平面角，．2分
又，
.
连接．则，
.4分
是平行四边形，，又，
是正三角形，，
，
同理可证平面，平面，
，
.6分
（2）设中点为，连接，易得，
又因为平面AEFD，面AEFD，则，7分
则两两互相垂直，则以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，9分
设平面的法向量为，
由，得，令，则，则，12分
设直线AB与平面的夹角为，则
，
所以直线与平面的夹角正弦值为.15分
17．（15分）深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率.
(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求；
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.
【详解】（1）依题意，随机变量的可能取值为，
则，，2分
所以的分布列如下表所示：
数学期望为.5分
（2）由这人的合计得分为分，得其中只有1人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，
于是，7分
令数列的前项和为，
则，
于是，
两式相减得
，因此，9分
所以.10分
（3）在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分，
记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件，
则，，，即，
由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列，
，因此，13分
随着的无限增大，无限趋近于0，无限趋近于，
所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数.15分
18．（17分）已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于和（其中在轴上方）．
(1)当垂直于轴，且四边形的面积为，求直线的方程；
(2)当倾斜角互补时，直线与直线交于点，求的内切圆的圆心横坐标的取值范围．
【详解】（1）
设，倾斜角为，由对称性知有两条，且关于对称，
不妨设，那么，
则，则，2分
由于，则，
则，
，4分
则由对称性，另一条直线：，
所以直线的方程为或．6分
（2）设点，
因为，同理：，
所以，化简可得：，
同理可得：，，
，8分
又因为，直线和直线交于点，
所以，且，即，
，且，化简得：，于是，
则，解得，所以点，
由于，则，所以，则轴平分，10分
设的内切圆圆心，则到的距离，
点到的距离，
所以，12分
化简可得：，
由于，当且仅当取等号（舍），
则，
则．
或由化简得到：，15分
令，当且仅当取等号（舍），
则，设，
，
则在单调递减，．17分
19．（17分）数列满足则称数列为下凸数列.
(1)证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；
(2)设，其中，分别是公比为，的两个正项等比数列，且，证明：是下凸数列且不是等比数列；
(3)若正项下凸数列的前项和为，且，求证：.
【详解】（1）设正项等比数列的公比为，
则，即，
所以任意一个正项等比数列为下凸数列.2分
（2）显然，
，
所以正项数列为下凸数列. 5分
下面证明：正项数列不是等比数列.
若是等比数列，则，
所以，7分
因为数列，分别为两个正项等比数列，
所以，，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，与矛盾，
所以数列不是等比数列.9分
（3）假设存在一个常数，使得，但，
因为，所以，
将中的换成得，.
进一步得，.11分
又，由不等式的可加性得，，
同理可得，，
所以，
所以数列从项到项单调递减，从项开始向后单调递增，
所以，
因为该规律是固定的，且，
所以当足够大时，必有，与题设矛盾，
所以不可能从某一项开始单调递增，所以，13分
令，，
由得，，
所以
15分
所以，
即，
进一步得，，
所以，
，
，
，
相加得，
所以.17分
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
2
3
4