2025年高考第二次模拟考试卷：数学（广东卷02）（考试版）

这是一份2025年高考第二次模拟考试卷：数学（广东卷02）（考试版），共5页。试卷主要包含了记等比数列的前项和为，若，则，设，，且，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ），
A．B．C．D．
2．有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．已知向量，，若，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
4．记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．32D．64
5．在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（ ）（参考数据：）
A．8分钟B．9分钟C．10分钟D．11分钟
6．设，，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．某地质勘探队为研究各地区的水是否存在某种矿物质，现从不同地区采集了100个样本，勘探队中的成员甲提议用如下方式进行检测，先将100个样本分为10组，每组再选取部分样本进行混合，对混合样本进行检测，如果不含该矿物质，则检测下一组，若含有该矿物质，则逐个检测；成员乙提议将100个样本分为5组或20组等等．假设每个样本含有该矿物质的概率．且每个样本是否含有该矿物质相互独立．则下列选项中检测次数的期望值最小的是（ ）（参考数据：）
A．5个一组B．10个一组C．20个一组D．逐个检验
8．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为( )
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，，若为实数，则下列说法中正确的有（ ）
A． B． C．为纯虚数D．对应的点位于第三象限
10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当最大 B．使得成立的最小自然数
C． D．中最小项为
11．在正三棱柱中，，的重心为，以为球心的球与平面相切.若点在该球面上，则下列说法正确的有（ ）
A．存在点和实数，，使得
B．三棱锥体积的最大值为
C．若直线与平面所成的角为，则的最大值为
D．若，则所有满足条件的点形成的轨迹的长度为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．
13．我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程，现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为 ．
14．已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求B；(2)设，，求的值.
16．（15分）已知函数.
(1)设，求曲线的斜率为2的切线方程；
(2)若是的极小值点，求b的取值范围.
17．（15分）如图（1）五边形中，，将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面.
(1)求证：；
(2)若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.
18．（17分）定义若椭圆（）的两个焦点和两个顶点四点共圆，则称该椭圆为“完美曲线”．已知：（）为“完美曲线”，且和：，：均相切．
(1)求的表达式和离心率
(2)已知动点在的第一象限上运动，和相切，和交于，和交于．设右焦点为，证明是定值，并求其正切值．
19．（17分）对于给定的数列以及正整数，若，使得成立，则称为“阶可分拆数列”.
(1)设，证明：为“3阶可分拆数列”；
(2)设的前项和为，若为“1阶可分拆数列”，求实数的值；
(3)设，是否存在，使得为“阶可分拆数列”？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由.