2025年高考第三次模拟考试卷：数学（广东卷01）（解析版）

这是一份2025年高考第三次模拟考试卷：数学（广东卷01）（解析版），共16页。试卷主要包含了若函数的两个零点分别为和，则，已知函数，则，一组样本数据等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，
故选：C.
2．已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】z在复平面内对应的点为，则，
由，得，
化简得.
故选：A.
3．已知等差数列的前项和为，且满足，，等比数列的前项和为，且满足，，则的值为（ ）
A．42B．62C．63D．126
【答案】D
【解析】由，得，，故；
由，得，，
故；
故，
故选：D
4．已知直线分别在两个不同的平面内，则“直线和直线平行”是“平面和平面平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】当“直线和直线平行”时，平面和平面可能平行也可能相交，故不充分；
当“平面和平面平行”时，直线和直线可能平行也可能异面，故不必要；
因此“直线和直线平行”是“平面和平面平行”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
5．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则以线段为直径的圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直线，令，可得，即直线过点；
抛物线的焦点，所以，解得，
所以抛物线，由，消去整理得，
设，，显然，则，
所以，则以线段为直径的圆的面积.
故选：C
6．若非零向量，满足，且向量与向量的夹角，则的值为（ ）
A．-24B．24C．D．0
【答案】D
【解析】令，，则，
则由及,
在中，，，，
由正弦定理：,解得,故得为直角三角形，
且，所以.
故选：D
7．若函数的两个零点分别为和，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数，其中锐角由确定，
由，得，而，
因此，即，则，
即，于是，
所以.
故选：B
8．罗尔中值定理是微分学中的一个重要定理，与拉格朗日中值定理和柯西中值定理一起并称微分学三大中值定理.罗尔中值定理：若定义域为的函数的导函数记为，且函数满足条件①在闭区间上连续；②在开区间内可导；③.那么至少存在一个使得.已知函数，在区间内有零点，其中，是自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意设在区间内的零点为，则有,
由罗尔中值定理可知，存在，使，
同理，由及罗尔中值定理可知，存在，使，
故在上至少有两个不等实根，
令，
则，显然在上单调递增,
当，时，，此时在上单调递增，
故在上至多只有一个实根；
同理可知，当，时，，此时在上单调递减，
故在上至多只有一个实根；
当时，令，可得，
易知，且在上单调递减，在单调递增，
故当且时，；
又，
故，
则由零点存在性定理知，故.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．为偶函数
B．的值域为
C．不存在，使得
D．在区间上单调递减
【答案】ABD
【解析】对于A，函数的定义域为R，
，因此为偶函数，A正确；
对于B，令，函数是R上增函数，值域为R，函数的值域为，
因此的值域为，B正确；
对于C，由选项B知，存在唯一使得，则，
且，因此存在，使得，C错误；
对于D，函数在上单调递增，，
而函数在上单调递减，因此在区间上单调递减，D正确.
故选：ABD
10．一组样本数据．其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为、，分布如图所示，且，则（ ）
A． 样本负相关B．
C．D．处理后的决定系数变大
【答案】ABD
【解析】由经验回归方程单调递减，可知样本负相关，故A正确；
由题意样本均值分别为，
由样本中心在经验回归直线上，代入回归直线解得，故B正确：
由图一的数据波动较大可得比更集中，所以，故C错误；
由图一的残差平方和较图二的残差平方和大可知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，故D正确．
故选：ABD
11．已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（ ）
A．若，则的面积为
B．使为直角三角形的点有6个
C．的最大值为
D．若，则的最大、最小值分别为和
【答案】BCD
【解析】A选项：由椭圆方程，所以，，所以，
所以的面积为，故A错误；
B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个，
设椭圆的上下顶点分别为，，则,同理，
知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形，
其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确；
C选项：由于，
所以当最小即时，取得最大值，故C正确；
D选项：因为，
又，则的最大、最小值分别为和，
当点位于直线与椭圆的交点时取等号，故D正确.
故选：BCD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知的展开式中二项式系数最大的项的系数为 ．
【答案】
【解析】由已知可得的展开式中二项式系数最大的项为第五项，
第五项的系数为.
故答案为：
13．在中，角的对边成公差为的等差数列.若，则的面积为 .
【答案】/
【解析】因为成公差为的等差数列，所以；
因为，由正弦定理可得；
解得，，，
由余弦定理可得，
因为，所以，
所以的面积为，
故答案为：.
14．已知函数（），将的图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是某个函数的图象，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】法1：设为的图象上任意一点，
绕原点逆时针旋转后点的对应点为，
设，与正半轴夹角为，
可得：，
化简可得：令，则，
所以，令，
要使函数图像绕原点逆时针旋转后仍为某函数的图象，
则为单调函数，即恒成立，或恒成立.
因为，又，故不恒成立，所以恒成立，
当时，；当时，由，得，
令，则，
易得当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以；
当时，由，得，令，则，
所以在上单调递增，所以当时，的取值范围为，
所以.综上所述，的取值范围为.
法2：，当时，由，得，
由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，
其图象大致如图1所示，绕原点逆时针旋转后，得到的曲线不是任何函数的图象；
当时，，其图象为轴，绕原点逆时针旋转后，为函数的图象，符合题意；
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
其图象大致如图2所示，要使绕原点逆时针旋转后，
得到的曲线为某函数的图象，必有在上恒成立，
所以在上恒成立，令，则，
因为，所以当时，，
当时，，所以在上单调递减，
在上单调递增，所以，所以，
所以.综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
在中，角所对的边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，求外接圆的半径；
(3)若，求的面积.
【解析】（1）因为，
可设，则，
所以； （5分）
（2）由（1）知，，，所以，
设外接圆的半径为，
则由正弦定理，所以,
所以外接圆的半径为；（9分）
（3）因为，由（1）知，，则，
所以.（13分）
16．（15分）
已知双曲线的离心率为，点在上，为的左顶点，为的右焦点．
(1)求的方程并求点到直线的距离；
(2)把直线绕点顺时针旋转得到直线，求的方程．
【解析】（1）依题意，，即，由点在上，得，
解得，，即，，半焦距，因此双曲线的方程为，（5分）
点，，在中，设点到直线的距离为，
由，解得，
所以点到直线的距离为.（7分）
（2）记直线，的倾斜角分别为和，由（1）得直线的斜率，
而，则直线的斜率，
所以直线的方程为.（15分）
17．（15分）
如图，在三棱锥中，底面为等腰三角形，，点为的中点，平面平面，平面平面．

(1)求证：平面平面；
(2)若，求该三棱锥外接球的体积；
(3)在（2）的条件下，若点为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．
【解析】（1）因为平面平面，平面平面，
在平面内过作交于，则平面.
同理，因为平面平面，平面平面，
在平面内过作交于，则平面.
又因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，而平面平面，
所以重合，所以平面.（3分）
因为平面，所以，
因为，点为的中点，所以.
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．（5分）
（2）如图，因为平面，取底面的外心为，，则，
过点做的平行线，在此线上取点，使得，则为三棱锥外接球的球心，
分析可得外接球的半径，
所以三棱锥外接球的体积为．（8分）
（3）如图，以点B为坐标原点，直线AB，BD分别为z轴，y轴，过点B与平面ABD垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
则，（9分）
，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，所以，（11分）
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，所以，（13分）
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．（15分）
18．（17分）
已知函数.
(1)求的极值；
(2)若当时，，求实数的取值范围；
(3)设实数，满足，证明：.
【解析】（1）由题可知，令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值，没有极小值. （4分）
（2）设，根据题意，当时，恒成立.
又，
若，则，令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，不符合题意，（6分）
若，令，得或.
若，则恒成立，所以在上单调递增，
又当时，，不符合题意，
若，则，当时，，所以在上单调递增，（8分）
当时，，不符合题意 ，
若，则，当时，，
当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以在上成立，
要使在上也成立，只需，即，得，
故的取值范围是.（10分）
（3）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，且当时，.
又由（2）知当时，，故可作出，在上的大致图象如下，
除了点，的图象都在的图象的下方，（13分）
当时，直线与曲线有两个交点，横坐标分别为，，
直线与曲线有两个交点，横坐标分别为和，
由图可知.（17分）
19．（17分）
随着中国式现代化高速发展，中华民族伟大复兴事业蒸蒸日上，人民生活的幸福指数节节攀高，事关身体健康的各项指标越来越被国民重视.已知身体某项健康指标的取值，其中为正整数，且可以由关于该健康指标的专门体检数据推算，具体方法为：某人先进行若干次体检，由其体检所有数据构造得到集合，重复的数据只能用一次，且，设集合中最小的元素为，最大的元素为，然后由随机变量u，v的值计算有关的概率或期望等数据，以此推算集合中对应的值，从而对该项健康状况作出评价，以此指导体检人选择有利于该项指标保持正常的健康生活方式，当正整数时，该项健康状况为正常.
(1)若，试用表示符合条件的集合的个数；
(2)若的概率，求值；
(3)①当时，求，的概率；
②记随机变量是随机变量u，v的等差中项.对居民小帅的该项指标体检数据研究后发现，随机变量的期望为12，试问：小帅的该项健康状况是否正常?请说明理由.
【解析】（1）由及知符合条件的集合的个数即为集合的不含元素1且必须含有2的非空子集的个数，
等于；（4分）
（2）依题意
又，故
解之得；（9分）
（3）①当，且，时，集合中一定有5，8，一定没有1，2，3，4，9，10，可有可无的是6，7，
故符合条件的集合的个数为，
所以（11分）
②易知
又的可能取值为，，…，，，，…，，，，…，，…，， （12分）
故
又随机变量是随机变量的等差中项，故 （15分）
所以
依题意，故，则，
所以小帅的该项健康指标不正常. （17分）