辽宁省丹东市2025年高考数学质检试卷（一）（含解析）

这是一份辽宁省丹东市2025年高考数学质检试卷（一）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−2x−3=0}，B={x||x|≤3}，则A∩B=( )
A. {−1,−3}B. {1,−3}C. {1,3}D. {−1,3}
2.已知向量a=( 3,3),b=(1,− 3)，则a与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
3.圆C：x2+y2+2x−4y=0关于x轴对称的圆的圆心坐标为( )
A. (−1,−2)B. (1,2)C. (−1,2)D. (1,−2)
4.已知随机变量X～B(4,p)，且P(X≥1)=1516，则P(X=3)=( )
A. 12B. 14C. 18D. 34
5.已知函数f(x)=2x,x0,|φ|b>0)的左右焦点，直线l：x+y=m与C相切于点P(点P在第一象限)，过F1，F2作F1P1⊥l，F2P2⊥l，垂足分别为P1，P2，O为坐标原点，|OP1|=|P1P2|=2，则|F1F2|= ______，C的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
为调查居民购车倾向与性别的关系，对某地区随机抽查了200名居民进行调查，得到如下表格：
(1)求s，t；
(2)根据小概率值α=0.050的独立性检验，能否认为居民的购车倾向与性别有关？
(3)从倾向燃油车的90人中按性别分层抽样抽取5人，再从这5人中任选2人，求选中男性的人数的分布列和期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)，
16.(本小题12分)
已知函数f(x)=(lnx+2)2−ln(x+1)．
(1)求f(x)在x=1处的切线方程；
(2)证明：当x>1时，2lnx−xx+1+4>0；
(3)若f(x)在[1ea,+∞)上单调递增，求整数n的最大值．
17.(本小题12分)
记Sn为数列{an}的前n项和，an=Snn2,a2=16．
(1)求a1；
(2)求证：数列{n(n+1)an}是常数列；
(3)设bn=2nnan，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC，点G是边长为2 3的等边△ABC的重心，PA=PC=3，PB= 3，点D在棱PC上，且CD=2PD，E是BC的中点．
(1)求证：DG/​/平面PAB；
(2)设过点G，D，E的平面为α，α与此三棱锥的面相交，交线围成一个多边形．
(i)请在图中画出这个多边形(不必说出画法和理由)，并求出α将三棱锥分成两部分的几何体体积之比；
(ii)求α与平面PAC所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
记O为坐标原点，点A在抛物线y2=2px(p>0)上，A在第一象限，B，C两点位于y轴上，已知圆M：(x−p)2+y2=4经过点O，且圆M内切于△ABC．
(1)求抛物线的准线方程；
(2)若∠ABC=120°，求点A的坐标及AC的长；
(3)求△ABC面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意，集合A={3,−1}，B={x|−3≤x≤3}，
则A∩B={−1,3}．
故选：D．
由一元二次方程和不等式解出集合，再求交集即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意可知，向量a=( 3,3),b=(1,− 3)，cs〈a,b〉=a⋅b|a|⋅|b|= 3×1−3× 3 3+32× 1+3=−2 34 3=−12，
又〈a,b〉∈[0,π]，则〈a,b〉=23π．
故选：C．
由向量夹角坐标公式可得答案．
本题考查了向量夹角坐标公式，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：圆C：x2+y2+2x−4y=0，
则(x+1)2+(y−2)2=5，圆心坐标为(−1,2)，
若题干所求圆与圆C关于x轴对称，则所求圆的圆心也与圆C的圆心关于x轴对称，
故所求圆心坐标为(−1,−2)．
故选：A．
首先将圆C化为标准方程，得到圆C圆心坐标，由题意可知所求圆的圆心与圆C圆心关于x轴对称，由此得到所求圆的圆心坐标．
本题主要考查圆的性质，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为随机变量X～B(4,p)，且P(X≥1)=1516，
所以P(X=0)=1−P(X≥1)=1−1516=116，
所以(1−p)4=116，
解得p=12，
所以P(X=3)=C43(12)4=14．
故选：B．
由二项分布的概率公式计算即可．
本题主要考查了二项分布的概率公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，f(x)=2x,x1)，
g′(x)=2x−1(x+1)2=2x2+3x+2x(x+1)2=2(x+34)2+78x(x+1)2>0在(1,+∞)上恒成立，
即g(x)在(1,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(1)=72>0，
即x>1时，2lnx−xx+1+4>0成立；
(3)由f′(x)=1x[2(lnx+2)−xx+1]=1x(2lnx+1x+1+3)，
由(2)可知，当x∈(0,+∞)时，g′(x)>0，则g(x)在(0,+∞)上单调递增，
g(1e)=1+ee+1>0,g(1e2)=e2e2+1−10,g(1e2)0)，则p=2，所以抛物线的准线方程为x=−1．
(2)
因为∠ABC=120°，由题意可知，点B位于点C的上方，则直线AB的倾斜角为30°，
设AB与圆M切于点N，所以由直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半可得AB与x轴的交点为(−2,0)，
设AB：x= 3y−2联立y2=4x，得y2−4 3y+8=0，则y=2 3+2或y=2 3−2(舍)，
所以点A的坐标为(4+2 3,2 3+2)，
过点A作AD⊥x轴，垂足为D，|OM|=2，所以△ADM是等腰直角三角形，
则∠AMD=45°，所以∠BAM=15°，所以∠BAC=30°，且有|AC|= 3|AB|= 3|BC|，
S△ABC=12×|AB|×|BC|×sin∠ABC=12×(|AB|+|AC|+|BC|)×2，
所以 3|AB|=4(2+ 3)，即|AC|=8+4 3．
(3)设A(x0,y0)(x0>4)，B(0,b)，C(0,c)，不妨设b−c>0，
直线AB：y=y0−bx0x+b，圆心M(2,0)到直线AB的距离为2，|2(y0−b)x0+b| (y0−bx0)2+1=2，整理得(x0−4)b2+4y0b−4x0=0，
同理直线AC：y=y0−cx0x+c，得(x0−4)c2+4y0c−4x0=0，
所以b，c是方程(x0−4)x2+4y0x−4x0=0的两个根，则有b+c=−4y0x0−4,bc=−4x0x0−4，
则(b−c)2=(b+c)2−4bc=(4y0x0−4)2+16x0x0−4=16x02(x0−4)2，所以b−c=4x0x0−4，
所以△ABC面积S=12×(b−c)×x0=2x02x0−4，
令x0−4=t(t>0)，x0=t+4，
所以S=2(t+4)2t=2(t+16t+8)≥2(2 t×16t+8)=32，
当且仅当t=16t，即t=4，x0=8时，等号成立，
所以当x0=8时，△ABC面积的最小值为32．
(1)由原点在圆上，代入方程可得p=2，再由抛物线的准线方程可得；
(2)由点斜式设出直线方程联立曲线解出点A坐标即可；过点A作AD⊥x轴，由三角形面积公式可得AC；
(3)设A(x0,y0)(x0>4)，B(0,b)，C(0,c)，不妨设b−c>0，分别由点斜式得到AB，AC方程，然后由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而得到b，c是方程(x0−4)x2+4y0x−4x0=0的两个根，表示出韦达定理，然后由三角形的面积公式结合换元法令x0−4=t和基本不等式求解．
本题考查直线与抛物线的综合，属于中档题．购买倾向
合计
新能源车
燃油车
男
64
36
100
女性
46
54
t
合计
s
90
200
P(χ2≥k0)
0.05
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
P
310
35
110