辽宁省丹东市2025届高三总复习质量测试（一）数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省丹东市2025届高三总复习质量测试（一）数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】由一元二次方程可得
又，
所以.
故选：D
2. 已知向量，则与的夹角为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题，.
又，则.
故选：C
3. 圆关于轴对称的圆的圆心坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】圆的标准方程为，圆心坐标为，
若题干所求圆与圆关于轴对称，则所求圆的圆心也与圆的圆心关于轴对称，
故与圆关于轴对称的圆的圆心坐标为.
故选：A.
4. 已知随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，，
所以，
所以.
故选：B
5. 已知函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递增，所以，
又，所以，
所以实数的取值范围为.
故选：C
6. 已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】设双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距分别为，
由双曲线的定义可知，结合题干条件，
解得，又，，
由勾股定理可得，解得离心率.
故选：A.
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于
，故.
从而.
故选：A
8. 已知圆台的上，下底面的直径分别为2和6，母线与下底面所成角为，则圆台的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，设圆台的上下底面的圆心分别为，半径分别为，
母线为，高为，由题干知，，
因为，所以母线长为，高，
设圆台外接球的半径为，球心到下底面的距离为，
若球心位于下底面的下面，则有，解得（舍去），
若球心位于上下底面之间，则有，解得，
所以圆台的外接球的表面积为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数z，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则的虚部为D. 若，则
【答案】BD
【解析】设复数，其中，为虚数单位，
对于A：，只能得到，有无数组解满足方程，
而不是只有选项A所述的，故A错误；
对于B：为一个新的复数，若，
表示这个新的复数可以和比较大小，故，解得，
此时，故B正确；
对于C：，若，则，
解得，此时，虚部为，故C错误；
对于D：，
由复数的几何意义可知在复平面内复数对应的点的集合为圆心在坐标原点的单位圆，
而表示该单位圆的点到点的距离，
可知单位圆上的点到点的距离最小为，最大为，所以，故D正确.
故选：BD.
10. 已知函数，其中相邻的两条对称轴间的距离为，且经过点，则（ ）
A. B. 在区间上单调递增
C. D. 在上有4个解
【答案】BCD
【解析】由题意，，则，即，
此时，
又，则，
因为，所以，故A错误；
则，
当时，，
因为函数在上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，故B正确；
由，得，
而，
所以，故C正确；
画出函数和在上的图象，
由图可知，函数和在上有4个交点，
所以在上有4个解，故D正确.
故选：BCD.
11. 设正实数满足，则（ ）
A. 有最大值为1B. 有最小值为4
C. 有最小值5D. 有最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A，由基本不等式，，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，，由A，，则，即最小值为2，当且仅当时取等号，故B错误；
对于C，，当且仅当，
则，即时取等号，故C正确；
对于D，，
又，则、当且仅当，即时取等号，则，即有最大值为.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知实数满足，则______．
【答案】1
【解析】由，两边同时取次幂，得，
化简得，可知.
故答案为：.
13. 将5个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的排法有______种．（用数字作答）
【答案】15
【解析】采用插空法，5个1有六个空，将两个0插入其中可得.
故答案：15
14. 已知为椭圆的左右焦点，直线与相切于点（点在第一象限），过作，垂足分别为，为坐标原点，，则______，的方程为______．
【答案】①. ②.
【解析】因为，
所以由两直线垂直斜率关系可设方程为，
所以由可得，
同理可得，
又，即，即，①
又，即，即，
所以.
联立曲线和直线方程可得
，消去可得，
因为直线与椭圆相切，所以，
化简可得，由①得，
又由椭圆的性质可得，所以，
所以椭圆方程为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 为调查居民购车倾向与性别的关系，对某地区随机抽查了200名居民进行调查，得到如下表格：
（1）求；
（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为居民的购车倾向与性别有关？
（3）从倾向燃油车的90人中按性别分层抽样抽取5人，再从这5人中任选2人，求选中男性的人数的分布列和期望．
附：，
解：（1）由表格数据可算得；
（2）由列联表中的数据，可得，
根据小概率值的独立性检验，故可以认为居民的购车倾向与性别有关；
（3）从倾向燃油车的90人中按性别分层抽样抽取人，则男性有人，
女性有人，设选中男性的人数为，则的取值分别为，
所以，，，
则的分布列为
期望.
16. 已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）证明：当时，；
（3）若在上单调递增，求整数的最大值．
（1）解：因为，
所以在处的切线的斜率为，且，
则在处的切线方程为，即；
（2）证明：因为，
令，
在上恒成立，
即在上单调递增，所以，
即时，成立；
（3）解：由，得，
由（2）可知，当时，，则在上单调递增，
，由零点存在定理可知，使得，
则在上单调递减，在上单调递增，
因为，满足，即，所以整数的最大值为.
17. 记为数列的前项和，．
（1）求；
（2）求证：数列是常数列；
（3）设，求数列的前项和．
（1）解：当时，，所以
（2）证明：当时，
得，即
同乘得，
所以
所以数列是常数列．
（3）解：由（2）知，所以，则
所以．
18. 如图，在三棱锥，点是边长为的等边的重心，，，点在棱上，且是的中点．
（1）求证：平面；
（2）设过点的平面为，与此三棱锥的面相交，交线围成一个多边形．
（ⅰ）请在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由），并求出将三棱锥分成两部分的几何体体积之比；
（ⅱ）求与平面所成角的正弦值．
证明：（1）因为点是等边的重心，连接并延长交于点，
所以是的中点，连接，
在中，，
所以，
平面平面，所以平面．
（2）解：（ⅰ）是等边三角形，为重心，是的中点，所以三点共线，连接，所以的三边是与三棱锥的面的交线，
则两部分的几何体分别为三棱锥和四棱锥，
设，三棱锥的高为，
则，
，
所以，即，
所以三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为．
（ⅱ）取的中点，连接，平面，
所以平面平面，则平面平面，
以为坐标原点，方向为轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可知轴在平面内．
，设，
解得，
所以，
由，得，
因为，
设平面的法向量，由，
可得，可取，
设平面的法向量，由，
可得，可取，
所以，设平面与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
19. 记为坐标原点，点在抛物线上，在第一象限，两点位于轴上，已知圆经过点，且圆内切于．
（1）求拋物线准线方程；
（2）若，求点的坐标及的长；
（3）求面积的最小值．
解：（1）圆经过，有，则，所以抛物线的准线方程为．
（2）解法1：
因为，由题意可知，点位于点的上方，则直线的倾斜角为，
设与圆切于点，所以由直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半可得与轴的交点为，
设联立，得，则或（舍），
所以点的坐标为，
过点作轴，垂足为，，所以是等腰直角三角形，
则，所以，所以，且有，
，
所以，即.
解法2：因为，由题意可知，点位于点的上方，则直线的倾斜角为设与圆切于点，所以与轴的交点为，
设联立，得，则或（舍），
所以点的坐标为，
则，
在中，，
则，
因为，所以，且有，
，
所以，即.
（3）设，不妨设，
直线，圆心到直线的距离为2，，整理得，
同理直线，得，
所以是方程的两个根，则有，
则，所以，
所以面积，
令，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，积的有最小值为32．购买倾向
合计
新能源车
燃油车
男
64
36
100
女性
46
54
合计
90
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1
2