辽宁省丹东市2025届高三下学期总复习质量测试（一）数学试卷含解析

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这是一份辽宁省丹东市2025届高三下学期总复习质量测试（一）数学试卷含解析，共19页。
命题：杨晓东孙颖刘巍肖扬郁文笛审核：杨晓东
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试
卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由一元二次方程和不等式解出集合，再求交集即可.
【详解】由一元二次方程可得
又，
所以 .
故选：D
2. 已知向量，则与的夹角为（）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量夹角坐标公式可得答案.
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【详解】由题， .
又，则 .
故选：C
3. 圆关于轴对称的圆的圆心坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先将圆化为标准方程，得到圆圆心坐标，由题意可知所求圆的圆心与圆圆心关于轴对
称，
由此得到所求圆的圆心坐标.
【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，
若题干所求圆与圆关于轴对称，则所求圆的圆心也与圆的圆心关于轴对称，
故与圆关于轴对称的圆的圆心坐标为 .
故选：A.
4. 已知随机变量，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二项分布的概率公式计算即可.
【详解】根据题意，，
所以，
所以 .
故选：B
5. 已知函数在上单调递增，且，则实数的取值范围
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为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由分段函数的单调性结合指数和对数函数的单调性求出，再由单调性解抽象函数不等式即可.
【详解】因为函数在上单调递增，所以，
又，所以，
所以实数的取值范围为 .
故选：C
6. 已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心
率为（）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由双曲线的定义结合题干条件可解得的长度，再利用勾股定理即可算出离心率.
【详解】设双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距分别为，
由双曲线的定义可知，结合题干条件，
解得，又，，
由勾股定理可得，解得离心率 .
故选：A.
7. 已知，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由两角正弦的和差公式可得答案.
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【详解】由于
，故 .
从而 .
故选：A
8. 已知圆台的上，下底面的直径分别为 2 和 6，母线与下底面所成角为，则圆台的外接球表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题干条件求出圆台的母线和高，再分类讨论外接球的球心位于下底面之下还是上下底面
之间，算出外接球的半径即可得圆台外接球的表面积.
【详解】如图，设圆台的上下底面的圆心分别为，半径分别为，
母线为，高为，由题干知，，
因为，所以母线长为，高，
设圆台外接球的半径为，球心到下底面的距离为，
若球心位于下底面的下面，则有，解得（舍去），
若球心位于上下底面之间，则有，解得，
所以圆台的外接球的表面积为 .
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
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目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知复数 z，则下列说法正确的是（）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则的虚部为 D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】设复数，根据复数的模，乘方运算，实部虚部，几何意义等知识逐个对各个选项分析即
可.
【详解】设复数，其中，为虚数单位，
对于 A：，只能得到，有无数组解满足方程，
而不是只有选项 A 所述的，故 A 错误；
对于 B：为一个新的复数，若，
表示这个新的复数可以和比较大小，故，解得，
此时，故 B 正确；
对于 C：，若，则，
解得，此时，虚部为，故 C 错误；
对于 D：，
由复数的几何意义可知在复平面内复数对应的点的集合为圆心在坐标原点的单位圆，
而表示该单位圆的点到点的距离，
可知单位圆上的点到点的距离最小为，最大为，所以，故 D 正确.
故选：BD.
10. 已知函数，其中相邻的两条对称轴间的距离为，且经过点
，则（）
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A. B. 在区间上单调递增
C. D. 在上有 4 个解
【答案】BCD
【解析】
【分析】正弦函数的性质先求出，即可判断 A；结合正弦函数的单调性可判断 B，
结合诱导公式可判断 C；结合图象可判断 D.
【详解】由题意，，则，即，
此时，
又，则，
因为，所以，故 A 错误；
则，
当时，，
因为函数在上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，故 B 正确；
由，得，
而，
所以，故 C 正确；
画出函数和在上的图象，
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由图可知，函数和在上有 4 个交点，
所以在上有 4 个解，故 D 正确.
故选：BCD.
11. 设正实数满足，则（）
A. 有最大值为 1 B. 有最小值为 4
C. 有最小值 5 D. 有最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由基本不等式结合题意可判断选项正误；
【详解】对于 A，由基本不等式，，当且仅当时取等号，故 A 正确；
对于 B，，由 A，，则
，即最小值为 2，当且仅当时取等号，故 B 错误；
对于 C，，当且仅当，
则，即时取等号，故 C 正确；
对于 D，，
又，则、当且仅当，即时取等号，则
，即有最大值为 .
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
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12. 已知实数满足，则 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】对一个等式两边取次幂，由指数的运算法则和指数函数的单调性即可得出答案.
【详解】由，两边同时取次幂，得，
化简得，可知 .
故答案为： .
13. 将 5 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的排法有______种．（用数字作答）
【答案】15
【解析】
【分析】采用插空法计算即可.
【详解】采用插空法，5 个 1 有六个空，将两个 0 插入其中可得 .
故答案：15
14. 已知为椭圆的左右焦点，直线与相切于点（点在
第一象限），过作，垂足分别为，为坐标原点，，则
______，的方程为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由两直线垂直斜率关系设方程，联立直线方程，解出坐标，利用两点间距离公式表示
可得焦距；再联立直线和曲线方程由判别式等于零可得，然后结合椭圆的关
系可得椭圆方程.
【详解】
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因为，
所以由两直线垂直斜率关系可设方程为，
所以由可得，
同理可得，
又，即，即，①
又，即，即，
所以 .
联立曲线和直线方程可得
，消去可得，
因为直线与椭圆相切，所以，
化简可得，由①得，
又由椭圆的性质可得，所以，
所以椭圆方程为 .
故答案为：； .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 为调查居民购车倾向与性别的关系，对某地区随机抽查了 200 名居民进行调查，得到如下表格：
购买倾向
合计
新能源车燃油车
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男 64 36 100
女性 46 54
合计 90 200
（1）求；
（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为居民的购车倾向与性别有关？
（3）从倾向燃油车的 90 人中按性别分层抽样抽取 5 人，再从这 5 人中任选 2 人，求选中男性的人数的分
布列和期望．
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）
（2）与性别有关（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）直接由表格数据可计算得；
（2）根据列联表中的数据算出，若，说明没有充分证据推断假设不成立，
即可以认为居民的购车倾向与性别有关，否则与性别无关；
（3）根据分层随机抽样算出抽到的男性和女性人数，则男性人数的分布符合超几何分布，
利用组合数即可算得男性的人数的分布列，从而算得数学期望.
【详解】（1）由表格数据可算得；
（2）由列联表中的数据，可得，
根据小概率值的独立性检验，故可以认为居民的购车倾向与性别有关；
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（3）从倾向燃油车的 90 人中按性别分层抽样抽取人，则男性有人，
女性有人，设选中男性的人数为，则的取值分别为，
所以，，，
则的分布列为
0 1 2
期望 .
16. 已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）证明：当时，；
（3）若在上单调递增，求整数的最大值．
【答案】（1）
（2）证明见解析（3）1
【解析】
【分析】（1）直接求导得导数数，算出，利用点斜式即可求得切线方程；
（2）根据题干条件构造函数，利用导数求得的单调性和最值，从而证得所
求不等式；
（3）由（2）可知则在上单调递增，注意到，
由零点存在定理可知，使得，所以，从而得出整数的最大值为 .
【详解】（1）因为，
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所以在处的切线的斜率为，且，
则在处的切线方程为，即；
（2）证明：因为，
令，
在上恒成立，
即在上单调递增，所以，
即时，成立；
（3）由，得，
由（2）可知，当时，，则在上单调递增，
，由零点存在定理可知，使得，
则在上单调递减，在上单调递增，
因为，满足，即，所以整数的最大值为 .
17. 记为数列的前项和，．
（1）求；
（2）求证：数列是常数列；
（3）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】（1）由，结合题意可得答案；
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（2）由结合题意可得，然后可完成证明；
（3）由（2）结合错位相减法可得答案.
【小问 1 详解】
当时，，所以
【小问 2 详解】
当时，
得，即
同乘得，
所以
所以数列是常数列．
【小问 3 详解】
由（2）知，所以，则
所以．
18. 如图，在三棱锥，点是边长为的等边的重心，，，点
在棱上，且是的中点．
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（1）求证：平面；
（2）设过点的平面为，与此三棱锥的面相交，交线围成一个多边形．
（ⅰ）请在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由），并求出将三棱锥分成两部分的几何体体积之比；
（ⅱ）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ）作图见解析，；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）由线段成立比得到，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）（i）由面面相交可画出多边形；利用小三棱锥的体积比上大三棱锥的体积减去小三棱锥的体积可得两
部分体积比；
（ii）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，代入空间二面角的余弦公
式再由同角的三角函数关系可得；
【小问 1 详解】
证明：因为点是等边的重心，连接并延长交于点，
所以是的中点，连接，
在中，，
所以，
平面平面，所以平面．
【小问 2 详解】
（ⅰ）是等边三角形，为重心，是的中点，所以三点共线，连接，所以
的三边是与三棱锥的面的交线，
则两部分的几何体分别为三棱锥和四棱锥，
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设，三棱锥的高为，
则，
，
所以，即，
所以三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为．
（ⅱ）取的中点，连接，平面，
所以平面平面，则平面平面，
以为坐标原点，方向为轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可知轴在平面内．
，设，
解得，
所以，
由，得，
因为，
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设平面的法向量，由，
可得，可取，
设平面的法向量，由，
可得，可取，
所以，设平面与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为 .
19. 记为坐标原点，点在抛物线上，在第一象限，两点位于轴上，已知圆
经过点，且圆内切于．
（1）求拋物线准线方程；
（2）若，求点的坐标及的长；
（3）求面积的最小值．
【答案】（1）
（2），
（3）32
【解析】
【分析】（1）由原点在圆上，代入方程可得，再由抛物线的准线方程可得；
（2）解法一，由点斜式设出直线方程联立曲线解出点坐标即可；过点作轴，由三角形面积公
式可得；
解法二，由点斜式设出直线方程联立曲线解出点坐标即可；然后由几何关系和二倍角的正弦公式和三角
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形的面积公式可得；
（3）设，不妨设，分别由点斜式得到方程，然后由
点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而得到是方程的两个根，
表示出韦达定理，然后由三角形的面积公式结合换元法令和基本不等式求解.
【小问 1 详解】
圆经过，有，则，所以抛物线的准线方程为．
【小问 2 详解】
解法 1：
因为，由题意可知，点位于点的上方，则直线的倾斜角为，
设与圆切于点，所以由直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半可得与轴的交点为
，
设联立，得，则或（舍），
所以点的坐标为，
过点作轴，垂足为，，所以是等腰直角三角形，
则，所以，所以，且有，
，
所以，即 .
解法 2：因为，由题意可知，点位于点的上方，则直线的倾斜角为设与圆
切于点，所以与轴的交点为，
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设联立，得，则或（舍），
所以点的坐标为，
则，
在中，，
则，
因为，所以，且有，
，
所以，即 .
【小问 3 详解】
设，不妨设，
直线，圆心到直线的距离为 2，，整理得
，
同理直线，得，
所以是方程的两个根，则有，
则，所以，
所以面积，
令，
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所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，积的有最小值为 32．
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