2025年上海市黄埔区高三二模数学试卷和参考答案

这是一份2025年上海市黄埔区高三二模数学试卷和参考答案，共8页。试卷主要包含了本试卷共21道试题等内容，欢迎下载使用。
（完卷时间：120分钟 满分：150分）
2025年4月
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；
3．本试卷共21道试题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1．设，不等式的解集为_____________．
2．设，集合，，若，则_____________．
3．抛物线的焦点到其顶点的距离为_____________．
4．在△中，若，，，则_____________．
5．为虚数单位，若复数满足且，则_____________．
6．函数的最大值是_____________．
7．已知等比数列为严格增数列，其前项和为，若，，则该数列的公比为_____________．
第9题
8．已知为常数，圆（）与圆有公共点，当取到最小值时，的值为_____________．
9．某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、 、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为_____________米．（结果精确到0.01米）
10．若从2025的所有正约数中任取一个数，则这个数是一个完全平方数的概率为_____________．
11．设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数 _____________．
12．设、为常数，，若对任意的，函数在区间 上恰有4个零点，则的取值范围是_____________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．
13．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明（ ）．
A．两种证券的收益有反向变动的倾向
B．两种证券的收益有同向变动的倾向
C．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的
D．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌
第14题
14．如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基，则可以是（ ）．
A．B．
C． D．
15．设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（ ）．
A．
B．
C．
D．与的大小关系与、、、的取值有关
16．给定四面体．平面满足：①、、、四个点均不在平面上，也不在的同侧；②若平面与四面体的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两个三等分点之一．设、、、四个点到平面的距离分别为（），那么的所有不同值的个数组成的集合为（ ）．
A．B．C．D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知．
（1）若，求的值；
（2）是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
在四面体中，，．
（1）若△为正三角形，平面平面，求四面体的体积；
（2）若，，求二面角的大小．
19．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球（）个，其余为黑球．
（1）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立；
（2）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
椭圆：（）的左、右焦点分别为、（），过点的直线与交于点．
（1）若，点的坐标为，求点到直线的距离；
（2）当时，求满足的点的个数；
（3）设直线与的另一个交点为，（），点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质H，称为该函数的一个下界．
（1）设，，判断函数，是否具有性质H；
（2）设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质H，且是该函数的一个下界；
（3）设，，，若函数，具有性质H，求的取值范围；当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围．
黄浦区2025年高考模拟考
数学试卷参考答案和评分标准（2025.4）
一、填空题
二、选择题
13．B14．B15．A16．B
三、解答题
17．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
解（1）由题设，，即，
解得，负值舍．因此．
（2）函数的定义域为．
记．
若是奇函数，则，即，解得．
当时，，其定义域为．
对任意给定的，都有，并且．
因此，当时，函数是奇函数．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
解 取中点，连接、．
（1）由题设，得，又平面平面，故平面．
在等腰Rt△中，，．
四面体体积．
（2）由题设，得，，故为二面角的平面角．
在等腰△中，．
在△中，．
因此二面角的大小为．
19．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
解（1）由题设，．
，，，故．
因为，所以事件与不相互独立．
（2）从盒子中一次性随机取10个球，设其中恰有3个白球的概率为（）．
由，得（）．
当时，；当时，．
故当时，取到最大值．
又，，且，当时，取到最小值．
因此，当该同学放置6个白球时，参与者获奖的可能性最大；当该同学放置13个白球时，参与者获奖的可能性最小．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
解（1）由题意，直线的方程为．
因此，点到直线的距离．
（2）设点的坐标为．
由，得．
由方程组（*）消，得．
由，得，进而，即．
当时，，，满足的点的个数为两个；
当时，，有两解，方程组（*）有四组不同的解，即满足的点有四个．
（3）设点的纵坐标为，点的坐标为．
由，得，．
代入方程，得．（*）
由点在上，得，进而．
代入（*）式，结合离心率，化简得．
由，得．
因此的取值范围是．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
解（1）当时，函数的值域为．
因为不存在常数，使得对任意的成立，所以函数，不具有性质H．
（2）对求导，得．
令，得，，此函数有两个驻点．
当时，，函数严格增；当时，，函数严格减；当时，，函数严格增．
函数在处取到极大值，在处取到极小值．
令，得为该方程的另一解．
①当时，，此时的取值范围是，不满足是该函数的一个下界；
②当时，，此时该函数具有性质H，且是该函数的一个下界；
③当时，函数在上严格增，不具有性质H．
综上，当且仅当时，函数，具有性质H，且是该函数的一个下界．
（3）对求导，得．
当时，，函数在上严格增，不具有性质H．
因此，当且仅当时，函数，具有性质H．
于是对任意的及任意的成立．
令，其中．
因为当时，，所以函数严格减，当时，函数取到最小值．
于是对任意的成立．
令，求导，得，令，得为该函数的一个驻点．
当时，，函数严格减；当时，，函数严格增．
该函数在处取到极小值．
因此的取值范围是．
1．
2．
2
3．
4．
5．
6．
2
7．
4
8．
1
9．
3.15
10．
11．
15
12．