2025年上海市青浦区高三二模数学试卷和参考答案

这是一份2025年上海市青浦区高三二模数学试卷和参考答案，共15页。试卷主要包含了04， ；14，635等内容，欢迎下载使用。
（时间120分钟，满分150分） 2025.04
学生注意：
本试卷包括试题纸和答题纸两部分．
在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．
可使用符合规定的计算器答题．
填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1．已知集合,则 ．
2．函数的值域是 ．
3．的二项展开式中项的系数是，则实数的值
是 ．
如图是6株果树植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株果数植株
挂果个数的中位数为 ．
向量在向量方向上的数量投影
是 ．
已知△的角、、对应边长分别为，，，
则 ．
7．已知数列满足，，则 ．
8．已知随机变量(),若,则 ．
9．已知复数、满足，（是虚数单位），则的最大值是 ．
10．已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 ．
11．道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标．同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离．为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设：
假设1：车身长度均为米；
假设2：所有车辆以相同的速度(单位：千米/小时)匀速行驶；
假设3：安全距离(单位：米)与车辆速度近似满足．
该城市道路通行能力的最大值为 ．(结果保留整数)
12．如图，正方体绕直线旋转，直线
旋转至直线，则直线与直线所成角的大小
为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．“函数为偶函数”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．若正数均不为，则下列不等式中与“”等价的是 ．
A． B．
C． D．
15．一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字．任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件,事件,事件，则（ ）．
A．事件，，两两独立，事件，，相互独立
B．事件，，两两独立，事件，，不相互独立
C．事件，，不两两独立，事件，，相互独立
D．事件，，不两两独立，事件，，不相互独立
16．数学上用符号表示个实数，，…，的积．设，，…，，，，…，为互不相同的实数，已知(，，…，),则（ ）．
A． B． C． D．
三．解答题（本大题共有5题,满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.
17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
对于函数，其中．
（1）若函数的图像过点，求的解集；
（2）求证：当时，存在使得成等差数列．
18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，已知四棱锥的底面为菱形，，．
（1）求证：平面；
（2）若，，，求四棱锥的体积．
19.(本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分)
某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表：
（1）根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；
（2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为，求的分布和期望；
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值.
参考公式及数据：，其中.
20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
如图，椭圆()与双曲线在第一象限的公共点为()．曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合．
（1）当时，求的值；
（2）已知，直线过点与曲线交于、两点，若,求直线的方程；
（3）已知，斜率为()的直线过点与曲线交于、两点，若,求实数的最大值．
21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数(实数为常数)的导函数为；反之，若函数的导函数为，则(实数为常数) ．
已知函数与定义域都是，导函数分别为和．
若，则称是“自导函数”；若且，则称与是“共轭互导函数”．
（1）请判断函数()是否是“自导函数”，并说明理由；
（2）若函数是“自导函数”，且满足，求证：；
（3）若函数与是“共轭互导函数”，满足，，求证：．进而证明且．
青浦区2024学年第二学期高三年级第二次学业质量调研测试
数学参考答案 2025.04
一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
1．； 2．；
3．；4．；
5．；6．；
7．；8．；
9. ；10. ；
11．； 12. .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. ；14. ； 15． ；16.
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
解：（1）因为的图象过，故，故（负舍），
而在上为增函数，由，
故的解集为；
（2）因为存在使得成等差数列，
所以有解，
即有解，
又，，
所以在上有解，
即在上有解，
解，得
所以，当时，存在使得成等差数列.
18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.
解：（1）记,连结,因为，所以
由于底面为棱形，则
因为
所以 平面.
(2) 由（1）知，平面
所以，
根据题意，得，
又，，
所以
故，
所以
所以，四棱锥的体积为.
．
19.(本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分)
解：（1）零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联；则，
故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立，
因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联；
（2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中，
合格产品有件，不合格产品有2件，
而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有.
则.
故的分布为：
则；
（3）依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为，故，
则
由，
故由可解得，
因，故当时，单调递增；
由可解得，即当时，单调递减.
故当事件“”的概率最大时，.

20.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.
解：(1)根据题意，得，
解得．
(2)由得
于是，曲线的方程为：当时，，当时，．
易得，
由于，故向量在向量方向上得数量投影大小为．
= 1 \* GB3 ①当直线的斜率不存在时，与曲线的两个交点为、，取、两点分别为、，满足条件，此时直线的方程为．
= 2 \* GB3 ②当直线的斜率存在时，设直线方程为，根据对称性，只需考虑当的情况．
因为直线与曲线交于、两点，故．
由得，，解得，
由于
取
又，
因为，，所以
由得，，解得，
取
因为，，所以，
又，，所以，，故
所以向量在向量方向上的数量投影绝对值
即当直线的斜率存在时，满足条件的直线均不存在．
所以，满足条件的直线的方程为．
(3)根据题意，易得直线只能与曲线上时的曲线段相交．
令直线方程为()
由 得，
设， 由韦达定理，得，
由，得，
变形，得，
，
于是，
化简，得，

即

变形，得
，
设，
求导，
由于，
所以，
所以在是严格减函数
故，当时，
所以实数的最大值为．


21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.
解：（1）对函数求导，得
．
当时，是“自导函数”；
当时，不是“自导函数”．
（2）因为函数是“自导函数”，
所以，同时．
记，求导，得
，
即 ．
根据已知条件得
(实数为常数)．
又，
所以，
故 ，
于是．
（3）易得
，
设，
于是．
因为函数与是“共轭互导函数”，
所以且，
于是，
故 (实数为常数)．
而，
所以．
下面证明且．
首先，容易验证和是一对满足条件的“共轭互导函数”．
接着证明满足条件的函数只有和．
用反证法．假设除了和外，还存在满足条件的一对“共轭互导函数”与，即
，，同时满足，．
令，则
，
于是(实数为常数)．
又，
所以．
故 ，……………………………… (1)
再令，则
，
于是(实数为常数)．
又，
所以，
故 ．……………………………… (2)
由(1)(2)，得
与．
由此，满足条件的“共轭互导函数”只有一对，
所以且．
产品
合格
不合格
合计
调试前
45
15
60
调试后
35
5
40
合计
80
20
100
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828