2025年上海市金山区高三二模数学试卷和参考答案

这是一份2025年上海市金山区高三二模数学试卷和参考答案，共11页。
（满分：150分，完卷时间：120分钟）
（答题请写在答题纸上）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合，，则__________．
2．已知复数满足（为虚数单位），则_________．
3．已知向量，，若//，则实数__________．
4．已知角在第二象限，且，则__________．
5．在展开式中的系数为，则实数的值为__________．
6．若直线是曲线在处的切线，则的斜率为__________．
7．已知圆锥底面半径为，高为，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为__________．
8．已知是等差数列，若、分别是函数的两个零点，则______．
9．体育课上需要进行投篮测试，规定每人投次，至少投中次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率均为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为______．
10．已知函数的图像是折线段，且、、，则函数的图像与轴围成的图形面积为______．
第11题 图
11．如图，现对某景区一长，宽的矩形空地进行建设．规划在边、上分别取点、修建人行步道（不考虑宽度），且满足点关于步道的对称点在边上．在△内种植花卉，在△内搭建娱乐设施，其余区域规划为露营区，则人行步道的最短距离为______．(结果精确到)
12．设、、、、均是正整数，且
，则的值为________．
二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知，则下列结论不恒成立的是 ( )．
A．B．C．D．
14．某人统计了甲、乙两家零售商店在周一到周五的营业额（单位：百元）情况，得到了如下的茎叶图（其中茎表示十位数，叶表示个位数），关于这天的营业额情况，下列结论正确的是 ( )．
A．甲、乙两家商店营业额的极差相同
B．甲、乙两家商店营业额的中位数相同
第14题 图
C．从营业额超过元的天数所占比例来看，甲商店较高
D．甲商店营业额的方差小于乙商店营业额的方差
15．已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意、都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为 ( )．
①；②；③函数有最小值．
A．0B．1C．2D．3
16．已知点在圆上，点在圆上，且，为坐标原点．对于以下两个命题，判断正确的是 ( )．
①在坐标平面内存在点，使得恒成立；
②三角形面积的最小值为．
①是真命题，②是真命题B．①是假命题，②是真命题
C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是假命题
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求的值；
（2）若，，求函数的值域．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
如图，在四棱锥中，平面，，，，．
（1）证明：平面平面;
（2）若，求点到平面的距离．
第18题 图
19．（本题满分14分）本题共有3个小题， 第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．
为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下：
（1）完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率；
（2）是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？
附：；
从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布和期望．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆：，左右焦点分别为、，上下顶点分别为、，左右顶点分别为、，、是上异于椭圆顶点的两点．
（1）求的周长；
（2）若点在第一象限且满足的面积比的面积大，求点的横坐标的取值范围；
（3）记点在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的倍，试判断：过点、、(为坐标原点)三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”．
（1）已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”；
（2）设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合．试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”；
（3）记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值．
高三数学试卷
（满分：150分，完卷时间：120分钟）
（答题请写在答题纸上）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．2．3．4．5．6．
7．8．9．/10．11． 12．
二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．B
14．C
15．C
16．A
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．
（1）因为是定义在上的奇函数，所以． ……2分
又时，，故当时，，
所以，即所求值为. ……6分
（2）由题意：．..8分
令，问题等价于求，的值域． ……10分
又函数图像开口向上，对称轴为直线．
故在上严格减，在上严格增． ……12分
又，，，
故，．
即函数的值域为． ……14分
18．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分
（1）由平面，平面，则， ……2分
又，由且都在平面内，则平面， ……4分
又面，所以平面平面． ……6分
（2）法一：由（1）易知，又，过作于，
由平面平面，平面平面，平面，
所以平面，过作，易知， ……8分
故建立如下图示空间直角坐标系，又，，，
则，
所以， ……10分
设是平面的一个法向量，则，
令，则， ……12分
所以点到平面的距离． ……14分
法二：由（1）易知，又，过作于，
由平面平面，平面平面，平面，
所以平面 ……8分
过作于，连接易得//,
因为，平面，
所以，又，所以，，，,
, ……10分
设到平面的距离为，
，
即，
所以点到平面距离为. ……14分
19．（本题满分14分）本题共有3个小题, 第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．
（1）填表如下 ……2分
每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率. ……4分
（2）提出原假设：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关． ……5分
确定显著性水平，即
计算， ……7分
所以原假设不成立，即有99%的把握认为数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关． ……8分
（3）不是每天都整理数学错题的学生中数学成绩总评优秀的有5个，不优秀的有15个，
恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，
，
， ……12分
故的分布为：……13分
所以的期望为． ……14分
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
（1）解：由题意：，，，
得：，， ……2分
因此的周长为. ……4分
（2）设,
，，，，
； , ……6分
，解得,
即点的横坐标取值范围为． ……10分
（3）过点、、(为坐标原点)三点的圆是定圆． ……11分
法一：
设：,
得,
=,
设，,
，， ……13分
由题意，即,
. ……14分
即．
,
,
,
,
,
即过定点. ……16分
设,
过原点,
即过点、、(为坐标原点)三点的圆是定圆．……18分
法二：设:，:, ……12分
联立’
消元得：,
则得 , ……13分
同理联立,
,
得． ……14分
①当即时，
，
:，
即，过 . ……15分
②当即时，
此时，也过,
故过定点, ……16分
设,
过原点,
即过点、、(为坐标原点)三点的圆是定圆．……18分
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
解：(1) 的“函数”为 ， ……2分
“点”为. ……4分
(2) (ⅰ) (充分性) 当时，存在，则，，
故.
又为的“函数”，为的“函数”，
则对任意，都有，
故函数为的“函数”. ……7分
(ⅱ) (必要性) 当函数为的“函数”时，
存在，使得.
又为的“函数”，为的“函数”，
则对任意，都有，从而，
故，，即，从而. ……10分
(3) 令，则
因为为的“函数”，且“点”为，
所以对于任意，均有函数，且，进而，
所以， ……12分
得，
当时，设，则，与恒成立矛盾.
所以. ……14分
令()，则，
当时，，从而在上是严格增函数，
于是，即. ……16分
当时，，，，
所以当时，为的“函数”，的最大值为. ……18分
数学成绩总评优秀人数
数学成绩总评非优秀人数
合计
每天都整理数学错题人数
不是每天都整理数学错题人数
合计
0.10
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
数学成绩总评
优秀人数
数学成绩总评
非优秀人数
合计
每天都整理
数学错题人数
14
6
20
不是每天都整理
数学错题人数
5
15
20
合计
19
21
40
1
-
0
+
严格减
有极小值
严格增