2025年上海市宝山区高三二模数学试卷和参考答案

这是一份2025年上海市宝山区高三二模数学试卷和参考答案，共11页。试卷主要包含了可使用符合规定的计算器答题等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；
2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；
4．可使用符合规定的计算器答题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分）．
1. 已知是虚数单位，则__________.
2. 设集合，则 .
3. 抛物线的准线方程为 .
4.已知函数则= .
5. 已知为常数，函数为奇函数，则 .
6. 的二项展开式中，项的系数为_______ .
7. 已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为
8. 已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为_______ .
9. 已知中，，，点在线段上，且，则的值为 .
10. 有件商品的编号分别为，它们的售价（元），且满足，则这件商品售价的所有可能情况有 种.
11. 某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为 元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元）
空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且,若,且,则二面角平面角的余弦值最小为 .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）.
13. 已知向量，，若，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
14. “”的一个必要非充分条件是 （ ）
A. B. C. D.
15. 甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（ ）

A. 甲得分的极差小于乙得分的极差
B. 甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数
C. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数
D. 甲得分的方差小于乙得分的方差
16. 若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列. 则下列选项中正确的是 （ ）
A. = 1 \* GB3 ①是真命题， = 2 \* GB3 ②是真命题； B. = 1 \* GB3 ①是真命题， = 2 \* GB3 ②是假命题；
C. = 1 \* GB3 ①是假命题， = 2 \* GB3 ②是真命题； D. = 1 \* GB3 ①是假命题， = 2 \* GB3 ②是假命题.
解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）．
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在四面体中，是边长为的正三角形，
且.
（1）证明：；
（2）若是的中点，且二面角的大小为，求与平面所成角的大小.
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数
（1）若，求方程的解；
（2）已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值.
19.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
某游乐园的活动项目共有三类，分别是“过山车”等10个体验类项目、“海豚之舞”等4个表演类项目、“智力闯关”等3个互动类项目. 因设备维护需要，项目并非每日都全部开放.以下数据是项目开放的数量（个）和游客平均等待时间（分钟/个）的关系：
（1）体验类项目中，若关于波动的回归方程为，请计算的值，并依据该模型预测所有体验类项目均开放时的平均等待时间（精确到整数）；
（2）小王游玩当日，体验类、演出类、互动类项目分别开放了8个、4个、3个，他计划随机游玩其中的3个项目，已知他选择的项目中至少包含1个互动类项目，求他的等待总时间恰为120分钟的概率；
（3）为提高游客的参与度，园方在互动类项目“智力闯关”中设计了两关.通过第一关的游客奖励20个游园币，游客可以选择结束或继续闯关.若继续闯关，则必须完成第二关的所有题目.第二关包含2道相互独立的选择题，每答对1题可再奖励20个游园币，每答错1题则要扣除10个游园币.每个游园币可兑换园区内任意一个项目的1分钟等待时间.
小王已通过第一关，假设他在第二关中每道题答对的概率均为，为了获得更多项目等待时间的兑换奖励，小王是否应该继续闯关？请你帮他做出决策.
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点.
当直线过点，且时，求的周长；
已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积；
已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知.
（1）若,，求的值及的固着点；
（2）若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值；
（3）若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：.
2025年上海市宝山区二模数学试卷
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10. 11. 12.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）
14. 15. 16.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1）取中点，连接
由已知条件是边长为的正三角形，得
分
所以分
所以分
（2）二面角的大小为，即平面
由，且由（1）知，
所以分
从而即为与平面所成角分
在中,,从而
在中，
因为，且，所以
所以在中，，且分
易求得 即与平面所成角的大小为分
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1）即解得，于是分
方程即为
令，则有即
求得（舍负）分
所以方程的解为分
（2）由已知得
整理得分
因为,所以分
从而对任意恒成立
因为（当且仅当取等号）分
所以
即实数的最大值为分
19.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
解：（1），分
代入回归方程,得：
解得分
时
即开放所有体验类项目时的平均等待时间约为51分钟分
（2）事件：等待总时间恰为120分钟；
事件：选择的3个项目中至少包含1个互动类项目
全部的项目数为15个，其中互动类项目有3个，则事件共包含了种；
分
在事件的条件下，等待总时间恰为120分钟，此时的可能情况是：
①一个互动类项目,一个体验类项目，一个演出类项目，此时共有种情况；
②两个互动类项目，一个体验类项目，此时共有种情况.
分
由条件概率公式得
分
（3）事件表示“小王参加决赛获得的游园币”，则
分
所以分
所以，当时，,不建议小王继续闯关;
当时，,小王可根据自己的情况随机选择;
当时，,建议小王继续闯关.
分
（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
解：(1)根据双曲线定义得：, 分
两式相加得
即
由已知得
所以的周长为分
设直线的倾斜角分别为，
由已知得，分
不妨设
则
则可求得，分
所以直线解得
直线解得
所以的面积为分
（3）设，由知
若直线斜率不存在，则，此时与点重合，不符题意，舍.
分
设直线方程为：
与双曲线联立化简得
显然成立
设交点
由韦达定理：分
由得
从而，即
将韦达定理代入
化简得 （※）
分
因为，即
由已知在双曲线上，得
从而得代入（※）式
化简得，即
解得分
点的坐标为分
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
解：（1）由题得，所以分
因为，所以，
所以，固着点分
（2）由题得，分
所以
因为是上的严格增函数，
所以在上恒成立分
由于不等式的解是
所以分
所以
因此的最大值是分
（方法一）由题得，，
所以.
因为且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解
分
记，则，所以在是严格减函数，
从而
又当时，，故的值域是，
所以，即分
记,则由上述可知是的严格减函数且
，
因为，所以，所以 ①分
记，则
因为，所以，所以
所以是上的严格增函数，
故，从而 ②分
由①②可知，，即
又是的严格减函数，所以分
所以.
（方法二）
由题得，，所以
因为且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解
分
求导得
当时，,是上的严格减函数，
所以，所以方程（*）无解；
当时，
ⅰ.当时，在恒成立，故是上的严格增函数.
所以，所以方程（*）无解；
ⅱ. 当时，如下表
可知在严格减，在严格增
又，，当时，
所以方程（*）在无解，在有唯一解
满足题意的的取值范围分
因为是的唯一解，所以
又
令，
则，所以是上的严格减函数
所以，即分
又当时，，所以
又在上有唯一的零点，则分
综上，，此时.
项目类别
体验类
演出类
互动类
开放数量（个）
4
5
6
7
8
2
4
2
3
平均等待时间（分钟/个）
76
73
67
60
53
30
46
30
-
0
+
严格减
极小值
严格增