2025年上海市崇明区高三二模数学试卷和参考答案

这是一份2025年上海市崇明区高三二模数学试卷和参考答案，共8页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】
1．不等式的解为 ．
2．已知复数（i为虚数单位），则 ．
3．已知全集，集合，，则 ．
4．直线与直线的夹角为 ．
5．已知，，则 ．
6．函数的最小正周期是，则 ．
7．某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为 ．
8．在中，若，，其面积为，则 ．
9．已知，则 ．
10．已知若函数有两个极值点，则实数a的取值范围
是 ．
11．已知双曲线的左、右焦点为、． 以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则 ．
12．已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数a,且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为
．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】
13．若，，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
14．已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为
A．B．C．D．
15．抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件表示“次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为
A．5B．4C．3D．2
16．数列是等差数列，周期数列满足．若集合中恰有三个元素，则数列的周期T的取值不可能是
A．4B．5C．6D．7
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】
17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，，点分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点P到平面的距离．
18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
已知．
（1）是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由；
（2）若且，解关于x的不等式．
19．（本题满分14分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分6分）
某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示．
（1）从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率；
（2）根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9℃．温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17℃，最低温度为9℃，当天的温差为8℃.
记4月1日至4日这4天温差的方差为，4月11日至14日这4天温差的方差为，
若，求4月14日天气预报的最高气温；
（3）从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9℃的天数，
求X的分布列及期望．
20．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
已知抛物线，过点的直线l与抛物线交于点A、B，与y轴交于点C．
（1）若点A位于第一象限，且点A到抛物线的焦点的距离等于3，求点A的坐标；
（2）若点A坐标为，且点B恰为线段AC的中点，求原点O到直线l的距离；
（3）若抛物线上存在定点D使得满足题意的点A、B都有，求满足的关系式．
A
D
P
B
O
x
y
第（3）小题图
21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
已知函数，P为坐标平面上一点.若函数的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线是函数图像在点处的切线，则称点具有性质．
（1）若，判断点是否具有性质，并说明理由；
（2）若，证明：线段上的所有点均具有性质；
（3）若，证明：“点具有性质”的充要条件是“”
2024学年第一学期高三第一次模拟考试参考答案及评分标准（高中数学）
一、填空题
1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. 2；
7. 7； 8. ； 9. ； 10. ； 11. ； 12..
二、选择题
13. D； 14. A； 15. C； 16. D.
三、解答题
17. （1） 证明：由题意，，又平面，
于是平面，
而平面，则，分
同理，
又平面，
所以平面分
（2）解 由（1）得，
在中，点为的中点，，同理，
在中，，因此，
在直角中，，分
由（1）知平面，则平面，
于是点到平面的距离为
设点到平面的距离为，
由，得，解得，
所以点到平面的距离为分
18.解 （1）存在实数，使得函数是偶函数
由题意，显然，函数的定义域
当时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在且，
因此，函数不是偶函数分
当时，，
函数的定义域为，对于任意的，都有，
并且
因此函数是一个偶函数
综上所述，存在实数，使得函数是偶函数分
（2）由，得
所以，且 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①分
由 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①得，，因为且，
所以当时，，当时，分
19.解 （1）设“从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，这三天中至少有两天是阵雨”为事件A，连续统计三天共有12个样本点，事件A共有4个样本点，所以分
（2）4月1日至4日这4天温差分别为、、、，
因此，设4月14日的温差为，
则4月11日至14日这4天温差分别为、、、，
因此，
解得，因此，4月11日这天最高气温是分
（3）从3月31日至4月13日，一天温差不超过的共有11天，
随机变量的分布列是
随机变量的期望分
20.解 （1）设，因为点在抛物线上，所以点到抛物线的焦点的距离等于它到抛物线的准线的距离，所以，，所以，
故点的坐标是分
（2）设，则，由题意，，所以，分
所以点坐标为，直线的方程为：分
所以原点到直线的距离分
（3）设，由题意，直线斜率必然存在，设其方程为：
代入中，得：
设，则，分
因为，所以
所以
故，即分
由题意，得，因此分
21.解 （1）点具有性质，理由如下：
设，因为，
所以曲线在点处的切线方程为：，
将点坐标代入，得：，所以或
即函数的图像上存在与不同的一点，使得直线是函数图像在点处的切线，故点具有性质分
（2）证明：
设，
函数的图像在处的切线方程为： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
当时，点在函数的图像上，
将代入 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，得： = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
令，则，
所以关于的方程 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②必有实数解，且
故函数的图像上存在与不同的一点，使得直线是函数图像在点处的切线，即点具有性质分
当时，点不在函数的图像上，
将代入 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，得： = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③
令，则
所以当时，关于的方程 = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③必有解，
故函数的图像上存在与不同的一点，使得直线是函数图像在点处的切线，即点具有性质
综上所述，线段上的所有点均具有性质分
（3）证明：设，
函数的图像在处的切线方程为：
必要性：若点具有性质，则点应满足方程
令，则由，得：
当时，，当时，，
故函数在时取得最小值
因为与是不相同的点，所以点的横坐标，因此
即分
充分性：当时，令
对于函数，当趋向时，趋向
又，故关于的方程必然有解
即存在点使得直线是函数的图像的切线，
所以点具有性质
综上所述，“点具有性质”的充要条件是“”分